直線驅動型并聯機器人反向動力學分析與驗證

吳超宇 錢小吾 余 偉 于 今 程 敏

(1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044； 2.鎮江高等專科學校基礎部， 鎮江 212002)

引言

并聯機器人結構的特殊性，使其與串聯機器人相比，具有剛度大、承載能力強、精度高、自重負荷比小及動態響應性能好等一系列優點，近年來已成為機器人研究領域的主要熱點之一[1-2]。并聯機器人整體結構簡單、緊湊，驅動部分均布于固定平臺，這些特點使它具有良好的運動學和動力學特性。由于并聯機器人機構是由多關節、多連桿組成，具有多個輸入和輸出，通常是一個多自由度、高度非線性、多參數耦合的復雜系統[3-5]，因此其運動學和動力學數學模型的建立是復雜的，求解比較困難。國內外學者對各類型并聯機器人的運動學和動力學作了大量的研究[6-15]，ROMDHANE[8]提出了一種解析法求解位置正解。ZENEBE[10]通過螺旋代數理論對平移類并聯機器人進行了速度與加速度的研究，提出了一種用于加速度分析的海塞矩陣關系。建立雅可比矩陣和海塞矩陣是目前比較常用的方法，并且只與行位有關，不需要求導。動力學常用的方法是牛頓-歐拉法、拉格朗日法、虛功原理法、Hamilton法等,NABAT等[13]和PIERROT等[11]、HUANG等[15]分別就各自的類Delta機構建立了簡化動力學模型，并通過仿真和試驗驗證其模型。

本文在借鑒前人研究的基礎上，根據直線驅動型并聯機器人的幾何結構模型，利用矢量法建立機器人的運動學模型，推導出運動學逆解、速度和加速度模型；利用虛功原理建立并聯機器人的動力學模型 ，分析機器人機械系統中各運動部件在虛位移下對應的廣義力，并通過Matlab和ADAMS聯合仿真和負載特性試驗驗證所建立的動力學理論模型的正確性。

1 機構簡介與坐標系建立

如圖1所示，本文研究的直線驅動型并聯機器人由靜平臺、動平臺、同步帶電缸、滑塊、U型虎克鉸、3組平行四邊形支鏈桿件組成，每組支鏈分別通過2個虎克鉸(U副)連接動平臺與滑塊，滑塊通過平移副(P副)由同步帶電缸驅動。3組電缸的投影是120°，均勻分布，3組電缸與水平面呈一個固定的角度，下端交于一點，3個電機安裝在同步電缸的上方，直線驅動3個滑塊，平行四邊形支鏈結構采用炭纖維制造，質量輕，體積比較小，具有比較好的動態響應性能。

圖1 直線驅動型并聯機器人三維模型Fig.1 Three dimensional model of linear driven parallel robot1.靜平臺 2.交流伺服電機 3.同步帶電缸 4.滑塊 5.U型虎克鉸 6.平行四邊形支鏈 7.動平臺

圖2 直線驅動型并聯機器人原理圖Fig.2 Schematic of tripod parallel robot

圖3 單支鏈原理圖Fig.3 Schematic of single typical chain

圖2是直線驅動型并聯機器人的原理圖，圖3是單個支鏈的原理圖，設笛卡爾直角坐標O{x,y,z}在靜平臺△A1A2A3的中心O點處并且在動平臺△B1B2B3的中心P處建立一個移動的動笛卡爾坐標P{x′,y′,z′}，由于動平臺與靜平臺平行，并且這個并聯機構只有3個平移自由度，所以x軸與x′軸平行，并且x軸沿著OA1方向，向量OA1平行于PB1，z軸均朝上，3條運動直線DiEi相交于M點，并且與靜平臺相交于Ai(i=1,2,3),并且靜平臺的半徑為a。3個長度為l的桿與動平臺相交于Bi,半徑

為b,P關節的滑塊在限定的Di與Ei之間移動，角度α是靜平臺與DiEi導軌的夾角。角度φi是x軸與靜平臺向量OAi的夾角，因為靜平臺與動平臺平行，所以夾角也適用于動平臺。

圖3中，Di為同步帶輪的中心點，Ci是經過同步帶輪中心Di沿電缸軸向直線與過滑塊與連桿的虎克鉸中心Fi的垂直電缸導軌直線的交點，Fi是滑塊與連桿的連接虎克鉸的中心，Bi是連桿與動平臺的虎克鉸的中心，P是動平臺的幾何中心，Ei是選定的驅動軸的原點，滑塊到同步帶輪中心Di的距離是di(i=1,2,3)。H為滑塊的高度，也就是虎克鉸到滑塊的距離。

2 運動學分析

2.1 位置逆解模型

位置逆解模型解決了動平臺的位置與驅動變量的關系問題。如圖3所示，點Ai與Bi關于O與P的位置向量可以寫成

(1)

(2)

lei=Li-disi-Hi

(3)

其中

Li=P+bi-ai

(4)

這里ei是FiBi的單位向量，di代表第i個滑塊的線性位移，si代表相應的DiEi的單位向量，Hi是滑塊的高度，它的模長可以表示為|h|是個定值，si與Hi可以表示成

(5)

l2=(Li-disi-Hi)(Li-disi-Hi)T

(6)

(7)

其中si與Hi是垂直的2個向量，所以si與Hi的乘積是0。式(7)可以簡化成

(8)

其中

所以可以得到

(9)

因為E為負值，并且坐標系中z軸是朝上的，所以這里取負根號的結果。

由式(3)可以求出從動桿的單位向量ei為

ei=(Li-disi-Hi)/l

(10)

2.2 速度模型

對式(3)關于時間求導，可以得到

(11)

(12)

ωi——從動桿FiBi的角速度

式(12)左右兩端分別點乘ei，可以得到

(13)

將3個從動桿的式(13)分別寫出，這3個標量方程可以寫成矩陣形式，為

(14)

其中

Jx——正向運動學雅可比矩陣

Jd——逆向運動雅可比矩陣

當驅動器不在奇異點時，可以得到并聯機器人的雅可比矩陣

(15)

其中

(16)

式(16)是直線驅動型并聯機器人的3×3的雅可比矩陣，它表示了動平臺的速度與驅動器的關系。

(17)

由式(17)可以看出，當e1、e2、e3中間的2個向量線性相關時，也就是并聯機構的從動桿會出現2個相互平行、或者3個都平行以及共面的情況時，會有det(Jx)=0，這時機構出現多自由度，當從動桿與電缸方向垂直時，會出現det(Jd)=0，此時機構沿一個方向剛化，也就是死點。所以這兩類奇異位都與并聯機器人的參數與位置相關。

將式(12)兩邊分別叉乘ei，可以得到第i個從動桿的角速度

(18)

由于桿件不會繞它的軸線轉動，可以得到桿件相對于靜平臺的角速度

(19)

其中

(20)

式中E3——3×3的單位矩陣

從動桿在靜坐標系的中心速度是

(21)

將式(19)代入式(21)并且簡化可以得到

(22)

(23)

Jvωi是從動桿的連接雅可比矩陣，反映的是從動桿在靜坐標系的線速度與角速度。

2.3 加速度模型

對速度模型式(12)關于時間求導，可以得到加速度

(24)

式中a——動平臺加速度

式(24)兩邊分別點乘ei可以得到滑塊的加速度為

(25)

將滑塊的加速度寫成標準形式

(26)

(27)

分別代表整個并聯機器人滑塊的加速度與動平臺的加速度。

式(24)左右兩邊分別叉乘ei，可以得到第i個從動桿的角加速度

(28)

對式(21)關于時間求導可以得到從動桿相對于靜平臺的中心加速度為

(29)

將滑塊的加速度式(25)與從動桿的角加速度式(28)代入式(29)，可以得到簡化的從動桿的線性加速度

(30)

3 動力學分析

并聯機器人的動力學表述了機構與關節力之間的聯系。并聯機器人的正向動力學是已知機構驅動關節的時間變化規律去求解末端知悉機構在工作空間的軌跡和速度加速度，并聯機器人的逆向動力學是已知執行機構的運動軌跡去求解驅動器的運動規律，正向動力學對于系統的仿真實驗意義重大，而逆動力學則是系統優化的基礎。本文采用達朗貝爾形式的虛功原理來進行計算。虛功原理表明一個靜態平衡的系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總和等于零。當整個系統受到保守力或者非保守力以及慣性力產生的虛位移時，系統的每個部分一直處于動態平衡狀態。假設機械系統的每個零部件都是剛性的，也就是不會在外力狀態下產生形變，摩擦力可以被忽略不計，唯一產生變化的虛功與輸入輸出力與力矩的運動有關。

3.1 各運動部件的動力學模型

(1)動平臺：作用在動平臺質量中心的外力與慣性力可以表示成

(31)

式中fe——作用在動平臺質量中心的外力

ne——作用在動平臺質量中心的力矩

OIP——動平臺中心在靜平臺坐標系下的慣性張量

g——重力加速度

(2)從動桿：假設重力是唯一作用于從動桿的外力，在靜平臺坐標系下，從動桿的外力與慣性力分別是

(32)

式中OIi——靜平臺坐標系下從動桿的慣性張量

iIi——從動桿在自身局部坐標系Cxyz中的慣性張量

由圖4可知，從動桿的局部坐標系可以認為先關于靜平臺的固定坐標系的z軸旋轉φi角，再關于新得到的坐標系(x′i,y′i,z′i)的y′i軸進行φi角度旋轉，得到新的局部坐標系。mi是從動桿的質量。這樣可以得到2個坐標系的旋轉關系

(33)

圖4 局部坐標系表示原理圖Fig.4 Schematic representation of local coordinate system

(3)滑塊：由于滑塊只有平移運動，外力和慣性力作用于從動桿相對于靜平臺Oxyz的中心處

(34)

式中mqi——從動桿的質量塊

(4)電機上的作用力：作用在電機的外力與慣性力

(35)

式中IMi、ICi、ILi——電機、聯軸器、滑塊慣性力矩

τi——電機輸入扭矩

電機與滑塊之間的關系是

(36)

(37)

式中r——帶輪半徑

3.2 動力學模型

根據虛功原理，可以得到

(38)

其中

δd=[δdδd2δd3]T

(39)

(40)

式中Fi——作用在靜平臺坐標系的從動桿廣義力

δdi、δθi——滑塊和電機轉子對應的虛位移

根據描述的連接雅可比矩陣式(23)，可得到δxi和δxp的關系

(41)

根據式(17)的雅可比矩陣，可以得到δdi和δxp的關系

(42)

將式(40)～(42)代入式(38)，簡化得到

(43)

(44)

(45)

其中

(46)

IMCL=diag(IMCL1,IMCL2,IMCL3)

(47)

IMCLi=IMi+ICi+ILi

(48)

簡化式(45)，可以得到動力學方程的一般形式

(49)

其中

(50)

(51)

(52)

G(d)——重力項

(53)

設定機器人動平臺中心按式(53)的圓錐曲線運動，利用Matlab將動力學方程程序化，進行仿真實驗，仿真結果如圖5所示。

圖5 動力學仿真結果Fig.5 Dynamic simulation results

由圖5可知，速度項引起的力矩基本可以忽略，重力項引起的力矩的變化基本趨于恒定，各個伺服電機的力矩主要由慣性項所引起的力矩決定。

4 ADAMS與Matlab聯合仿真

在Inventor中將機器人三維模型保存為(*.x_t)格式，然后將保存好的文件導入到ADAMS中，由于導入的模型的各部件的質量、材料屬性以及各部件間的連接和約束都沒有，所以需要完成以下幾個步驟[16-20]：

(1)設置一下虛擬樣機的環境：對虛擬模型的坐標系、重力方向、單位、工作網格進行設置。并且對模型的材料等固有特性進行設置。

(2)簡化模型和修改特性：將一些不太影響結構的結構件刪除，減小仿真的復雜度，將螺絲等固定件進行刪除。

(3)給機構添加運動副：由于直線驅動型機器人包含3個平移副和12個球形副，通過工具箱進行添加。

通過以上3個步驟的設置，可以得到如圖6所示ADAMS軟件中的機器人模型。

圖6 ADAMS模型Fig.6 Simulation model of ADAMS

為了驗證所建立的直線驅動型并聯機器人動力學理論模型的正確性，通過Matlab與ADAMS的聯合仿真來驗證模型的正確性，如圖7所示。在Matlab中，將并聯機器人的運動學逆解、速度、加速度和動力學程序化，并編寫為一個函數，函數所需參數有機器人結構參數和軌跡方程；在ADAMS中，除了前面已完成的步驟，還需輸入機器人的軌跡方程。

圖7 Matlab與ADAMS聯合仿真圖Fig.7 Co-simulation diagram of Matlab and ADAMS

仿真前先設定好直線驅動型并聯機器人的各項結構參數，如表1所示。

將式(53)給定的末端的螺旋曲線，作為末端動平臺的軌跡方程，[x0,y0,z0]=[0,0,900 mm]是初始位置，由Matlab仿真得到伺服電機的驅動力矩，同時將末端軌跡作為ADAMS的輸入量，通過仿真也得到伺服電機的驅動力矩，仿真結果如圖8、9所示。

表1 直線驅動型并聯機器人結構參數Tab.1 Structural parameters of linear drivenparallel robot

圖8 Matlab力矩仿真Fig.8 Torque simulation diagram of Matlab

圖9 ADAMS力矩仿真Fig.9 Torque simulation diagram of ADAMS

通過仿真結果對比，得知Matlab與ADAMS中的結果是一致的，并且驅動器力矩曲線是平滑的，說明直線驅動型并聯機器人不僅具有良好的動力學性能，而且建立的動力學模型是正確的，也驗證了運動學逆解、速度和加速度模型的正確性。

5 負載特性試驗

為了進一步地驗證直線驅動型并聯機器人的動力學理論模型的正確性，進行機器人負載試驗，讓機器人負載0.1 kg的鋁塊(圖10)，在X和Y方向上沿著設定的軌跡進行運動，流程如圖11所示，將軌跡函數輸入到工控機，工控機將控制量輸入到控制卡，控制卡將模擬量傳給并聯機器人的3個交流伺服電機并驅動動平臺按給定的軌跡進行試驗，期間可以采用采集卡從交流伺服電機的輸出端口采集信號，觀察3個電機轉矩的曲線變化規律。

圖10 0.1 kg負載Fig.10 Load of 0.1 kg

首先，測試機器人負載0.1 kg的鋁塊沿X方向運動下的伺服電機轉矩，X=-100tcos(10t)，初始位置為[x0,y0,z0]=[0,0,980 mm]，將X軌跡函數和初始位置信息輸入到工控機，控制卡獲取工控機的控制量來控制伺服電機，測試結果如圖12a所示。

然后采用同樣方法來測試機器人在負載情況下Y方向上的伺服電機轉矩，Y=-100tsin(10t)，初始位置為[x0,y0,z0]=[0,0,980 mm]，結果如圖12b所示。

圖11 硬件流程方案Fig.11 Hardware flow plan

圖12 力矩試驗值Fig.12 Torque test values

圖13分別為機器人在負載情況下沿X方向和Y方向下的電機理論力矩圖，圖13a中，電機2和電機3的力矩曲線基本重合，是與電機在機器人坐標下的布局有密切聯系的，X軸剛好是電機2和電機3連線的垂直平分線，所以機器人沿X方向運動時，電機2和電機3對應下的滑塊的運動特性一致，電機2和電機3的力矩曲線基本重合。

圖13 力矩理論值Fig.13 Torque theoretical values

通過分別比較機器人在X和Y方向上的理論計算力矩曲線和試驗測試力矩曲線，二者力矩曲線不完全吻合，可能由于控制系統軟硬件、機器人零部件參數誤差和曲線擬合誤差等因素導致二者數值在局部有較大差別，且在部分運動段曲線吻合不理想，但是二者力矩曲線整體變化趨勢一致，驗證了本文采用虛功原理建立的動力學模型是正確的。

6 結論

(1)根據直線驅動型并聯機器人的幾何結構模型，利用矢量法進行了運動學分析，并得出機器人運動學逆解、速度和加速度模型。

(2)利用虛功原理建立動力學模型，分析了機器人機械系統中各個運動部件在虛位移下對應的廣義力，推導出動力學方程，運用Matlab將其運動學逆解、速度、加速度和動力學模型程序化，給定動平臺末端一個軌跡，進行仿真得到機器人上各個電機的力矩由所對應支鏈上各個運動部件的慣性項所引起的力矩決定，而速度項所引起的力矩完全可以忽略，重力項所引起的力矩基本上趨于恒定。

(3)通過Matlab與ADAMS聯合仿真試驗和負載特性試驗，驗證了動力學理論模型的正確性，為直線驅動型并聯機器人的物理樣機的設計、優化運動控制提供依據，也為同類少自由度并聯機器人的動力學研究提供了一定的參考價值。

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