平面簡諧波垂直入射下錨固結構的動態響應

楊 博

(中車建設工程有限公司，北京 100078)

0 引 言

錨桿支護是一種結構簡單的支護形式，經常與噴射混凝土、金屬網等結合用于礦山、隧道和壩基等工程。在施工過程中，錨固結構除了受靜載外，還受到爆破、采掘或地震等動載的影響。臨近工作面的錨桿在經歷不同頻次動載后，會發生錨固力下降、錨固結構損傷破壞甚至失效的可能。

有關水電站工程和地下工程中爆炸應力波與錨固設施相互作用的研究表明：預應力對限制錨頭松動和減小橫向振動有利[1]；全錨樹脂形式的頂板錨桿在距離爆破工作面3～4.6 m時，尾部比中部振動強烈，振動頻率隨著長度變化而變化[2]；臨巷端錨錨桿距離掘進巷道6.4 m時，徑向振動數值在同一量級上與軸向振動的變化類似，但是在持續時間方面徑向振動較長[3]；測試隧道距爆破硐室凈距為13 m時，錨桿的最大動應變在10-4量級，持續時間為15～20 ms[4-5]；與端錨錨桿相比，全錨的動態響應明顯表現更強烈[6]。

本文通過彈性波在錨固結構中的衍射與反射作用研究爆破震動對樹脂錨桿的影響，以期為地下硐室的動應力研究提供參考[7-10]。

1 應力波與錨固結構的相互作用

在傳播過程中，如果應力波的傳播距離超過柱狀藥包半徑的5倍，則該問題可簡化為平面波問題。

假設條件為：錨桿錨固在無限巖體中，a為錨桿桿體的半徑，b為錨固體外半徑；平面穩態P波沿垂直錨桿的軸線入射，入射波和坐標軸的方向如圖1所示，P波的頻率為ω，簡諧變化，因此簡化為平面應變問題。入射波表示為

(1)

(2)

式中：λ和G為拉梅常數；E為彈性模量；μ為泊松比；ρ為介質密度。

圖1 錨固結構模型

1.1 錨固體中的波勢函數

用圓柱波函數將入射波展開為無窮多個柱面駐波的疊加，表示為

(3)

式中：r為極徑；θ為極角；Jn(y)為第一類Bessel函數；n=0時,en=1;n=1,2,3,…∞時,en=2。

P波傳播到巖體與錨固體界面時，將發生反射和折射現象，反射為向巖體傳播的P波、SV波和折射為向錨固體傳播的P波和SV波，4種波函數分別表示為

(4)

(5)

在錨固體與錨桿界面，P波發生反射和折射，反射向錨固體傳播的P波和SV波和折射向錨桿傳播的P波、SV波，折射進入錨桿體中的波函數須滿足在r=0點處的有界性，折射波可表示為局限在錨桿中的駐波，它們的波勢函數分別表示為

(6)

P波垂直入射時，巖體中總的波函數為

(7)

錨固層中總的波函數

(8)

錨桿中總的波函數

(9)

1.2錨固體中的應力和位移

柱面坐標的平面應變問題中應變、位移和波函數的關系為

(10)

(11)

式中:εz、εr、εθ和εrθ分別為軸向應變、徑向應變、切向應變和剪應變；ur和uθ為徑向位移和切向位移。

根據式(10)、(11)推導巖石、錨固體和錨桿3種介質中的位移和應力表達式，省略時間因子，巖石中的位移和應力為

(12)

(13)

錨固層中的位移和應力為

(14)

(15)

錨桿中的位移和應力為

(16)

(17)

1.3 邊界條件

依據連續介質緊密接觸問題所提出的連續性條件，在接觸面上2種介質的位移、徑向正應力、剪應力均相等。

在r=b的連續條件為

(18)

在r=a的連續條件為

(19)

2 數值分析與討論

在式(12)～(17)中令r取值為a、b，并利用邊界條件，建立方程如下，依此求出各待定系數。

(20)

級數和形式的動應力可表示為(A+iB)e-iωt的復數形式，取其實部Acos(ωt)+Bsin(ωt)作為其應力解，峰值應力為(A2+B2)0.5。

圖2 200 kHz時錨固體邊界上動應力的集中因子分布

介質中各種動應力可表示為無量綱的動應力集中因子

(21)

根據相關試驗測試結果，爆破應力波對錨固結構的影響主要集中在離工作面較近的區域，爆破振動頻率在100～4 000 Hz范圍，根據頻率范圍設定算例研究應力波頻率等對錨固的影響。

2.1 算例分析

設定巖石、樹脂和錨桿的密度分別為2.6、2、7 g·cm-3，彈性模量分別為27.3、16、200 GPa，泊松比分別為0.25、0.3、0.25。

錨桿的半徑為12 mm，錨固體外半徑為18 mm，入射P波的頻率為200 Hz時的動力響應如圖2所示。

徑向、切向和軸向正應力的峰值隨錨桿的部位和時間變化而變化。圖2顯示200 kHz時3種正應力的峰值大小各異，但分布相似。切向應力最大，徑向應力與切向應力的數值大小在同一量級；在數值大小上軸向應力峰值比切向應力和徑向應力峰值約小1個量級。對于錨桿的一般部位來說，正應力在內邊界的峰值比在外邊界大1～4倍；峰值正應力在與入射波方向呈0°和180°的部位上最大；3種峰值正應力在與入射波方向呈90°和270°的部位最小。在此種邊界、介質和入射條件下，應力分布類似水平荷載σ和豎直荷載ν(1-ν)σ作用的剛性加塞物的靜力解。

理論假設入射波為簡諧波，峰值應力的集中因子只表示力的大小，不能表示方向。實際上切向正應力和徑向正應力雖然在同一位置達到最大值，但是性質是不同的，在同一時刻，一個為最大壓應力，而另一個為最大拉應力。爆炸波在錨固結構中傳播時引起錨桿結構的動力響應，當動應力超過介質的動態抗拉強度，容易在巖石-錨固體和錨桿桿體-錨固體兩個界面上的0°和180°位置引起裂紋的產生和發展，從而造成錨固結構的損傷破壞。

2.2 頻率的影響

爆破應力波的傳播過程中，不同頻率產生的影響不同：離工作面較近的錨固結構受到高頻成分的影響較大，高頻波作用下錨固結構振動幅值較大，易產生裂紋；隨著距離增加，應力波逐漸衰減，如果其頻率接近結構的固有頻率，則會產生振動作用的放大。

應力表達式中各種函數都與無量綱波數k·r有關，入射頻率小于1 kHz時，k·r值較小，各種參數的變化對應力影響小，且應力的大小主要由級數表達式的前幾項決定。當k·r較大，波長逐漸減小至接近錨桿尺寸時，入射波在錨固結構中引起的應力分布將發生較大的變化。圖3為1、4、6 kHz時軸向和徑向動應力集中因子的分布。

通過數值計算可知，入射波頻率大于1 kHz，即波長與錨固體直徑的比值小于31后，軸向正應力的分布關于y軸逐漸不對稱。隨著頻率的增大，這種不對稱性愈加明顯，集中因子在錨固體迎波側較大且相鄰部位數值大小相近，在背波側較小且相鄰部位數值差別明顯，但背波側θ=0°附近屬于集中因子最大區域，尤其是在波長與錨固尺寸相近時比較明顯。

徑向正應力的集中因子分布和切向正應力的集中因子分布情況均會隨著頻率的增加發生變化，但由于兩者的基礎值較大，在1～4 000 Hz時分布的變化表現不明顯。當頻率大于4 000 Hz后，即波長與錨固體直徑的比值小于7.8后，動應力集中因子分布明顯變化，錨固體迎波側和背波側的集中因子分布異化；隨著頻率的增加，在外邊界背波側的集中因子明顯偏大，在內邊界迎波側的集中因子明顯偏大。

圖3 1、4、6 kHz時邊界上動應力集中因子

動應力集中因子表示在相同入射波頻率的條件下各種動應力的無量綱比值。由動應力轉換為動應力集中因子時因除去了包含頻率的2次項，因此不能進行不同頻率時集中因子的比較；圖3顯示動應力集中因子在高頻時較小，實際上動應力是隨著頻率的增加而增加的。

當入射波頻率較大且波長逐漸減小至接近錨桿尺寸時，應力峰值較入射波低頻明顯增加，錨固結構振動產生徑向和軸向應力分布的明顯不同，具有顯著的不對稱性，試驗時近區錨固結構對稱面爆破振動波形明顯不同也從理論上得到了證明。

3 結 語

入射波頻率小于1 kHz時，錨固體周圍的應力分布類似于水平荷載σ和豎直荷載ν(1-ν)σ作用的剛性加塞物的靜力解，徑向正應力和切向正應力較大，軸向正應力最小，正應力最大位置是與入射波的夾角為0°和180°的界面。當入射波頻率大于1 kHz且入射波波長接近錨固體幾何尺寸時，其正應力集中因子的分布和低頻入射波情況差異明顯，錨固結構產生的動應力幅值明顯增大，關于y軸的不對稱性愈加明顯，在內外邊界上的正應力集中因子分布形式也逐漸異化，從理論上證明了近區錨固結構對稱面動應力明顯不同。

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