基于邊移除的智能電網級聯故障魯棒性分析

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(南京郵電大學 自動化學院,南京 210046)

0 概述

近年來,全球范圍內發生了多起大規模連鎖性停電事件。例如,2015年3月27日,荷蘭一所變電站因技術故障,發生連鎖故障導致荷蘭大面積停電,對北荷蘭等地區造成嚴重影響。2012年7月30號,印度三大電網相繼癱瘓,大停電持續近2 d后才逐步恢復正常,印度境內超過一半地區電力供應受到影響,波及多達6億多人。隨著科技發展,現代生產生活對電力依賴程度越來越高,大面積停電不僅給日常生活帶來不便,更對航空、鐵路、城市交通、供水等造成嚴重影響。

國內外學者從各個方向和角度,通過理論建模和數據分析,對連鎖大停電的機理展開廣泛而深入的研究[1-3]。研究表明,事故往往由少數薄弱環節的故障引發,繼而在電網中發生級聯故障導致。研究主要集中在兩大類,一類基于經典電路理論(如基爾霍夫定律)和電網電氣特性的研究[4-6],關注于電網的物理特性,以阻抗或電抗作為權重,對各個元件進行詳盡的數學分析,例如文獻[6]構建了一種隱形故障的仿真模型,主要考慮斷路器和繼電保護設備的拒動或誤動。這類在分析節點數較大的網絡時會消耗大量的計算機資源。另一類基于電網拓撲結構的分析[3,7-9],例如文獻[3]研究了不同網絡拓撲結構和增長模式對級聯故障的影響,文獻[9]提出了一種基于區域惡劣氣候影響下的電網級聯故障模型。隨著研究的深入,網絡模型從單一的電網模型演化為電網和信息網二元融合的網絡[7-8,10-11],文獻[7]在2010年發現并探索了在電網和信息網雙層網絡中信息網對電力網絡的影響。文獻[10]發現雙層網絡中的信息交流可以有效減輕級聯故障對電網的影響。其中部分研究采用了滲流理論[11],也有部分采用了圖論[12-14]。這類研究從拓撲結構的角度考慮了智能電網的級聯故障,關注于電網的整體特征和動態行為,研究拓撲特征參數和系統行為的內在聯系。

以上這2種方法互有欠缺:1)在基于經典電路理論的建模中,各元件的個體動態特性起到了決定性的作用,元件特性的微分代數方程的求解消耗大量計算機資源,例如文獻[15]對電網負載平衡和分散控制的研究中,由于計算較復雜,只能在節點數較少的電網中驗證;2)基于復雜網絡的建模將電網進行抽象和簡化,主要關注于電網的統計學特性,電網的物理特性考慮不全面,文獻[9,13]采用線路的電抗值作為線路的權重參數。線路電抗值是線路的固有屬性,是一個靜態的量,不能反映出電網的動態特性和線路的潮流特性。3)在以往的電網模型中,較少考慮電網的發電站、傳輸站和接收站各自的特性,將發電站、傳輸站和接收站歸結為同一類型的站點。

針對第1)個問題,本文將電網抽象成點和邊的集合,建立出無向加權網絡圖。利用復雜網絡的理論研究電網的特性不僅可以大大簡化計算復雜度,而且能從宏觀的視角研究級聯故障的特性。針對第2)個問題,國內外資料顯示,線路有功潮流的大規模轉移和線路過載是電網發生級聯故障的主要原因[16]。因此,本文采用電網線路的有功潮流值作為初始網絡的權重參數,以初始網絡計算出的邊介數作為邊的負載,級聯故障后會導致網絡的拓撲結構發生變化,所有邊的負載需重新計算,變化的范圍是整體的而不是局部的。針對第3)個問題,級聯故障后,電網可能分裂成互不連通的若干個小區域,將這些區域稱為子圖。若子圖不含發電站,子圖的供電發生中斷,子圖中所有節點和邊都將失效。本文還研究了移除含有一個發電站的邊,含有2個發電站的邊以及不含發電站的邊對網絡魯棒性的影響。

1 復雜網絡級聯故障仿真模型的建立

1.1 電力網絡模型

電網特性可以從物理電氣特性和網絡拓撲結構兩方面進行分析。在建立初始網絡時,利用潮流值作為網絡中傳輸線的權值。設任意2個站點i、j之間的潮流值用fij表示,fij可通過潮流計算得出。潮流計算為根據給定的電網結構、參數和發電機、負荷等元件運行條件,確定電力系統各部分穩態運行狀態的參數,運行狀態參數包括電網各母線節點的電壓幅值和相角,以及各支路的功率分布、網絡的功率損耗等。計算出的潮流矩陣F={fij}表示各支路的功率分布。為簡化模型,本文采用DC直流潮流模型,即假設傳輸線在傳輸電能時無功率的損耗且忽略電壓之間的相角,采用牛頓法求解電網的潮流矩陣。

設Vi和Vj為站點i和j的電壓值,θij為站點i和j的電壓相角差,rij為站點i和j之間的電阻。正常運行的電力系統各節點電壓通常在額定電壓附近,可近似認為Vi=Vj=1;線路兩端電壓相差值很小,因此,θij≈0;超高壓網絡中,線路電阻比阻抗小的多,電阻可以忽略,即rij=0,因此,站點i和j之間的有功功率和無功功率為:

(1)

站點i和j之間的有功功率fij即為對應的潮流值。bij=-1/xij,xij為支路電抗。對站點i用基爾霍夫定律可得:

(2)

對n節點網絡寫成矩陣形式為:

F=Hθ

(3)

其中,F為節點有功功率矩陣,即網絡的潮流矩陣,H為n×n矩陣,其對角元素和非對角元素分別為:

(4)

用式(3)得到各站點的電壓相角,再通過式(1)即可計算出各支路的潮流值。

將網絡構建成以發電站,傳輸站和接收站為不同類型的頂點,以傳輸線為邊,傳輸線的潮流值為權值,節點數為N,邊數為M的無向加權圖G=(V,E),其中發電站的頂點集合為S={s1,s2,…,sn1},傳輸站的頂點集合為T={t1,t2,…,tn2},接收站的頂點集合為R={r1,r2,…,rn3},圖G的頂點集V={S,R,T}={i1,i2,…,iN}(N=n1+n2+n3)為發電站,傳輸站和接收站的集合。邊集E={e1,e2,…,eM}表示電網中所有傳輸線的集合。aij表示G中站點i和j之間是否有邊相連。若有邊相連,這條邊的權值為i和j之間的潮流值fij,若沒有,為0,即:

(5)

其中,A={aij}為式(5)所組成的鄰接矩陣,A為初始網絡。

在電網中,電能沿著電氣距離最短的路徑傳輸,因此任意2個節點間存在一條最短連通通路。效率最高的最短連通通路往往為2個節點或邊的最短路徑,本文將邊的初始負載定義為邊介數的大小。網絡中邊介數為所有最短路徑中經過該邊的數目與最短路徑總數的比值,邊介數反映了邊對電網功率的傳輸能力。

邊(i,j)的初始負載定義為:

(6)

(7)

(8)

(9)

考慮到每個邊處理負載的容量都有限度,即最大負載,超過最大負載,傳輸線失效,邊從網絡中移除。本文以耐受性參數衡量邊的最大負載的能力,將最大負載定義為邊初始負載的α倍,α即為這條邊的耐受性參數,邊(i,j)的最大負載定義如下:

(10)

對應的最大負載矩陣為C={cij}。

(11)

邊將失效,若網絡分裂為多個子圖且子圖中不含有發電站,則子圖中的邊都將失效。網絡的拓撲結構發生變化,邊的負載隨之變化,即發生了級聯故障。直到所有邊的負載容量都小于其最大負載,級聯故障停止。

1.2 移除策略

邊權的定義有多種方法,其中邊的介數在一定程度上反映了這條邊的重要性程度。另外,邊的重要性也與節點的重要性息息相關,當網絡中邊失效時,邊兩端的節點同時失效,因此結合節點重要性定義的方法,將邊權定義為下面3種形式:

邊權1(邊的介數的大小) 計算公式為:

(12)

邊權2(兩端節點權值的算術平方根) 每個節點的權值為其對應的度和介數的算術平方根,即:

(13)

(14)

(15)

其中,Wi為節點i的權值,Ki為節點i的度,BCi為節點i的介數。

邊權3(節點權值的算術平方根) 每個節點的權值為其對應度與其鄰居節點度和的乘積,即:

(16)

(17)

(18)

其中,Ii、Ij分別為i、j鄰居節點的集合。

為動態衡量網絡級聯故障的特性,本文對網絡進行多次級聯故障的仿真,每次根據策略移除其中一條邊。多次連續級聯故障中單次級聯故障后,網絡拓撲結構發生變化,重新計算邊權,使邊權的大小符合對應的網絡拓撲結構。

單次級聯故障仿真過程如下:

1)根據式(1)～式(4)計算每條邊的初始潮流值,并根據式(5)確定網絡的初始矩陣。

2)設定耐受性參數α,根據式(9)和式(10)分別計算網絡中每條邊的初始負載和最大負載。

3)選擇不同的移除策略,若選擇隨機移除,則隨機從網絡中移除一條邊;若選擇目標移除,可根據式(12)、式(15)、式(18)分別選擇邊權1定義、邊權2定義、邊權3定義中權值最大的邊。

4)移除相應的邊后,若網絡分裂為多個子圖,且某個子圖中不含有發電站,則移除這個子圖中的所有邊。

5)網絡拓撲結構發生變化,重新計算網絡中每條邊的負載,若有邊超過其最大負載,移除相應的邊。

6)重復步驟4)、步驟5)直到沒有邊超過其最大負載,級聯故障停止,衡量級聯故障的發生程度。

多次級聯故障仿真過程如下:

1)設定仿真次數k,進行單次級聯故障仿真。

2)單次級聯故障仿真結束后,若為目標移除,則可根據式(12)、式(15)、式(18)分別重新計算邊權1定義、邊權2定義、邊權3定義中的邊權,使邊權的大小符合對應的網絡拓撲結構。

3)重復步驟2),直到次數超過初始設定的仿真次數,多次級聯故障仿真停止。

1.3 衡量指標

級聯故障發生后,需采用一定的衡量指標來衡量級聯故障發生的程度和網絡魯棒性。文獻[17]提出了以網絡效率來衡量網絡G整體性能的指標。這一指標被廣泛應用于網絡級聯故障的分析[18]。當電網中節點或邊發生級聯故障后,網絡中節點對間的最短路徑往往會發生變化,一些節點可能變成孤立節點,則此節點與其他節點的最短路徑變成無窮大。這大大影響了網絡的傳輸效率,網絡的平均最短路徑變大,網絡效率變低。網絡效率越高,網絡的傳輸能力越強。本文采用網絡效率下降百分比來衡量級聯故障的大小,級聯故障發生后網絡效率下降百分比越少,網絡魯棒性越好。網絡效率表示如下:

(19)

其中,E(G)為根據節點i到j的最短路徑dis(i,j)定義的網絡效率,n為網絡中的節點總數,dis(i,j)為節點i,j間的最短路徑長度。

與傳統的路徑長度的定義不同,網絡效率的定義可以很好的衡量非連通網絡。假設Damage(G,d)為在G中移除邊d或者節點d之后的網絡,則d使網絡效率發生下降的程度可用ΔΦ-/Φ來衡量,其中ΔΦ-=Φ(G)-Φ(Damage(G,d))。

多次連續級聯故障發生中單次移除邊d后的級聯故障網絡效率下降百分比為:

(20)

其中,Ec為發生級聯故障后網絡效率,Ei為初始網絡效率。

當網絡效率發生下降的程度越高,即ΔΦ/Φ越大,表示在對d的移除時網絡G越脆弱,發生級聯故障后的網絡效率下降百分比Pstage越小。

2 模型仿真與分析

對電網的拓撲結構進行分析的過程中發現電網的拓撲結構具有明顯的小世界特性。分別構建與電網具有相同節點數和邊數的隨機網絡,對IEEE57、IEEE118網絡進行了分析。

由表1分析結果可知,具有相同節點數和邊數的電網的平均路徑長度與隨機圖接近,但平均聚類系數遠大于隨機圖,因此,電網具有明顯的小世界特性。

表1 不同節點網絡及其對應的隨機網絡對比

2.1 網絡級聯故障分析

2.1.1 不同邊移除策略對級聯故障的影響

本文采用Matlab軟件進行仿真,分別對網絡IEEE57、IEEE118節點網絡進行隨機移除和目標移除。在隨機移除時,隨機選擇一條邊進行移除;在目標移除時,根據3種邊權定義移除相應邊權最大的邊。單次級聯故障后,根據式(20)計算網絡效率下降的百分比Pstage。設置網絡的耐受性參數α為1.5,多次級聯故障次數k為15次。仿真圖如圖1所示。

圖1 不同邊移除策略下網絡效率下降百分比

從圖1(a)和圖1(b)中可知基于邊權1,邊權2和邊權3移除后網絡效率下降百分比都比隨機移除后下降的多,說明移除邊權大的邊會對網絡魯棒性有較大的影響。圖1(a)中對IEEE118網絡的仿真,網絡效率下降的程度都比較均勻和平緩。對比可得基于邊權3的移除策略網絡效率下降的百分比最大,最終導致網絡效率下降至0.2左右;基于邊權1和邊權2的類似,下降至0.3左右;基于隨機移除策略的下降至0.4左右。進一步分析可得基于邊權1和邊權2的仿真在每一階段移除的邊相同或相似:15次的連續仿真過程中,基于邊權1和邊權2在前7次的階段移除的邊相同,后8次移除的邊中有4次重合;基于邊權1的移除在15次仿真過程中共有25個節點被移除,基于邊權2的共有23個,在這些節點中2種邊權策略被移除的重復的節點共有20個,因此,2種邊權移除策略導致網絡效率的下降具有高度相似性。圖1(b)中,網絡效率基于邊權1和邊權3的移除分別在第10次仿真階段和第7次仿真階段發生驟降,深入研究發現,這2個階段都移除了邊[48,49]。若不考慮邊[48,49]對網絡效率下降的影響,網絡效率下降的百分比僅為0.1～0.15,說明邊[48,49]對IEEE57網絡的魯棒性有很大影響。

2.1.2 網絡中邊權定義合理性的分析

對網絡中的邊依次進行移除,每條邊的移除都將引發一次單次級聯故障。選擇一種邊權定義,假設邊集{ez=num|z∈M}中的邊在此邊權定義下邊權都為num,則將移除此邊集后的網絡效率下降百分比進行平均得到Pstagenum,不同邊權的邊集得到網絡效率下降百分比集合{Pstagenum|1≤num≤M},將網絡效率下降百分比集合按序排列得到散點圖,并進行回歸曲線分析。在回歸曲線中,邊權定義越合理,回歸曲線下降越快;對回歸曲線中的異常點進行殘差序圖的分析,異常點越少,說明回歸曲線越能合理擬合散點圖,邊權的定義也就越合理,邊權越能反映邊的重要性。

對IEEE118網絡進行仿真,圖2(a)為對基于邊權1定義的邊進行移除后網絡效率下降百分比,圖2(b)為對基于邊權1定義的邊移除后的殘差序圖。圖3(a)為對基于邊權2定義的邊進行移除后網絡效率下降百分比,圖3(b)為對基于邊權2定義的邊移除后的殘差序圖。圖4(a)為對基于邊權3定義的邊進行移除后網絡效率下降百分比,圖4(b)為對基于邊權3定義的邊移除后的殘差序圖。

圖2 基于邊權1定義的邊的仿真

圖3 基于邊權2定義的邊的仿真

圖4 基于邊權3定義的邊的仿真

在圖2(a)、圖3(a)、圖4(a)中,星型擬合直線為對所有的散點進行擬合的結果,三角型擬合直線為去除異常點后進行擬合的結果。曲線下降越快,說明移除相應邊權定義的邊后網絡發生級聯故障越嚴重,邊權定義更能反映邊合理性。對于不同邊權的仿真,網絡效率百分比都隨著移除邊權的增加而下降,其中邊權1下降最多,在移除邊權權值最高的邊后,網絡效率的下降達到0.2,邊權2次之,達到0.5。在圖2(b)、圖3(b)、圖4(b)殘差序圖中,三角型部分為異常點,即置信區間沒有包含零點的點,異常點的數目越少,說明邊權的定義越合理。對邊權1仿真中,異常點數目為7個,邊權2中有19個,邊權3中有17個。邊權1的仿真結果中異常點的數目明顯少于邊權2和邊權3的仿真;對于邊權1和邊權2的仿真,異常點都分布在邊權較大的邊中,而邊權3的異常點分布范圍較均勻。綜上所述,邊權1的定義更能反映出邊的合理性程度。

2.2 不同耐受性參數對網絡級聯故障的影響

設置不同的耐受性參數α∈(1,2),對邊進行單次級聯故障的仿真。根據移除策略選擇隨機移除或者目標移除;在目標移除時,選擇相應邊權定義中權值最大的邊。具有不同耐受性參數α的網絡發生級聯故障的網絡效率下降程度也有所不同,仿真圖如圖5所示。

圖5 不同耐受性參數對級聯故障網絡效率的影響

在圖5(a)中,當α=1.1時,級聯故障后網絡效率出現較大程度的下降。深入分析可知,由于耐受性參數的變化,導致邊[48,49]發生了級聯故障,網絡效率發生了較大程度下降;在邊權1的定義中,邊[48,49]的權值是相應最大邊權權值的26.2%,在邊權2的定義中,邊[48,49]權值是相應最大邊權權值的57.9%,邊權3的定義中,邊[48,49]權值是相應最大邊權權值的53.2%,由此可見單獨定義的邊權的權值并不完全代表邊對網絡級聯故障魯棒性的影響。

在圖5(a)、圖5(b)中,對不同耐受性參數的仿真中,邊權1定義和邊權2定義的仿真幾乎完全重合。分析可知,邊權1和邊權2定義的邊權值大小具有相似性,因此多次級聯故障中單次移除都是同一條邊,仿真曲線幾乎完全重合。對于不同網絡,不同移除策略,網絡效率的下降都在α∈(1.2,1.3)時趨于穩定,當耐受性參數由1變化至1.3時,級聯故障后的網絡效率上升至其最大值的90%左右,當耐受性參數由1.3變化至2時,級聯故障后的網絡效率沒有發生很大變化,因此,實際電網中,把耐受性參數α設置為α∈(1.2,1.3)可用較低成本獲得較大的網絡魯棒性。

2.3 含發電站邊的移除

根據本文仿真模型的建立方法,若級聯故障后網絡分為多個子圖且子圖中不含有發電站,則這個子圖中的所有邊都將失效,因此,發電站占有重要作用。在2010年,文獻[19]研究了智能電網中發電站的作用,得出增加少量發電站即可大大減少電網中級聯故障的概率。文獻[19]中的研究主要基于發電站站點的研究,本文從網絡中邊的角度,根據是否含有發電站,將邊分為3類,分別為:1)有2個發電站的邊;2)有一個發電站的邊;3)不含發電站的邊。相應的邊集分別為{e2station|2station∈M},{e1station|1station∈M},{e0station|0station∈M}。對這3類邊集分別進行移除,將移除邊集后的網絡效率下降百分比進行平均得到Pstageistation(i=2,1,0),不同邊權的邊集得到網絡效率下降百分比集合為{Pstageistation|i=2,1,0},設置橫坐標為耐受性參數α∈(1,2),縱坐標為網絡效率下降百分比,仿真圖如圖6所示。由圖6可知,移除含有2個發電站的邊對網絡魯棒性的影響最大,移除含有一個發電站的次之,移除不含發電站的最小。圖6(a)中,當耐受性參數為1時,移除不含發電站的邊后級聯故障的網絡效率為0.85,移除含有一個發電站的邊后網絡效率為0.65,而移除含有2個發電站的邊后網絡效率僅為0.54。圖6(b)中,當耐受性參數為1時,移除不含發電站的邊后級聯故障的網絡效率為0.47,移除含有一條發電站的邊后網絡效率為0.46,而移除含有2個發電站的邊后網絡效率幾乎為0,網絡接近全部崩潰的狀態。說明發電站對電網的魯棒性具有非常重要的作用。

圖6 對含有不同發電站數目的邊進行移除的仿真結果

級聯故障后的網絡效率隨著耐受性參數的增加而增加。α∈(1,1.6)時,網絡效率快速增長,在α=1.6時,提升至其最大值的80%～90%,α∈(1.6,2)時,網絡效率緩慢增長。在IEEE118網絡中,當耐受性參數為1.6時,移除含有2個發電站的邊后級聯故障的網絡效率由接近為0提升至近0.9,網絡魯棒性大大提升。因此,可通過增加網絡的耐受性參數來增加網絡的魯棒性,以減少發電站對網絡魯棒性的影響。

3 結束語

本文從復雜網絡的角度出發,結合電網實際的物理性質,提出一種基于電網拓撲結構的動態仿真模型。設置不同的邊權定義,探索不同邊移除策略對網絡魯棒性的影響,利用回歸曲線分析網絡中邊權定義的合理性。進一步研究電網中耐受性參數對電網魯棒性的影響以及發電站在電網拓撲結構中的重要作用。研究表明,邊權越大以及邊權定義越合理,移除這條邊對電網魯棒性的影響越大,但移除網絡中某條邊或某幾條邊,會導致網絡的魯棒性大幅下降。當耐受性參數發生變化時,隨著耐受性參數的增大,網絡的魯棒性增強并趨于穩定。

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