拉普拉斯算子的直觀物理意義

方 樂

(北京航空航天大學中法工程師學院, 北京 100191)

我們先回顧對拉普拉斯算子的兩種較常見的理解：

(1) 從數學的意義上看，一個具有物理意義的算子必須滿足坐標平移和旋轉不變性。而拉普拉斯算子正是滿足坐標平移和旋轉不變性的，從標量場到標量場的階數最低的非平凡映射。這也就意味著，如果只用一個標量場來表示原始標量場的空間變化特征，那么最簡單的方法就是采用拉普拉斯算子。這種理解站在了較高的抽象數學高度，但并沒有提供直觀的物理解釋。

(2) 根據定義，拉普拉斯算子可以理解成梯度的散度。梯度場反映了物理量變化，而散度表示源和匯，因此拉普拉斯算子表示對應物理量變化的梯度場的源和匯。但即使這樣去理解，還是難以建立直觀的物理解釋。

我們這里采用有限差分的方法，以二維情形為例，引出對拉普拉斯算子的物理解釋。根據導數的中心差分表示方法，對一元函數的二階導可以寫成[2]

(1)

其中，下標表示直角坐標系下均勻離散點的編號；h=xi-xi-1是離散點間距。當函數的二階導存在時，根據二階導的定義有

(2)

類似的，對二元函數的拉普拉斯算子可以寫成

(3)

意味著對二元函數，拉普拉斯算子為零等價于局部意義上(即離散點距離h趨于零)應有

(4)

即每個離散點的值都應當等于它周圍4個點的值的平均值(如圖1所示)。進一步的，由于拉普拉斯算子具有坐標旋轉不變性，我們將坐標系在x-y平面內任意旋轉，公式(4)依然成立，因此，也可以說，在半徑h趨于零時，每個離散點的值都應當等于以它為圓心，h為半徑的圓上的平均值(如圖1虛線所示)。

圖1 拉普拉斯算子的有限差分示意圖

按照公式(4)的意義，拉普拉斯算子可以近似理解為類似“曲率”，因為若將函數值畫成z軸，那么在平面上公式(4)一定滿足，而如果局部是凸面，則離散點上的值必大于其周圍點的平均。這樣的理解確實有助于我們直觀地理解拉普拉斯算子的物理意義，但也需要指出它并不是全面的。原因之一是在高維空間上往往很難定義曲率，比如對馬鞍形的曲面，其鞍點處拉普拉斯值可以為零或非零，但卻難以準確定義此點的曲率究竟是多少；原因之二是公式(4)是離散點距離h趨于零時的極限條件，即使曲面是凸面，離散點上的值永遠大于其周圍點的平均，但當h趨于零時極限為零，其拉普拉斯值就可以等于零。一個典型的例子是函數fx,y=log(x2+y2)，滿足定義域內處處Δf=0，但處處都不是平面(如圖2所示)。

圖2 函數fx,y=log(x2+y2)值示意圖,坐標軸分別為x,y,f

為了進一步直觀地理解公式(4)，并與力學相聯系，我們直觀地給出兩種常見的拉普拉斯值為零的情形，在流體力學中可以分別類比于均勻剪切和均勻旋轉。在有限差分的意義上，均勻剪切意味著標量值的分布在局部呈“中心反對稱”，如圖3所示，其中數字表示標量值，虛線表示標量等值線。可以看到等值線呈平行直線，與均勻剪切類似。均勻旋轉意味著標量值的分布在局部呈“軸反對稱”，如圖4所示，可以看到等值線呈軸對稱的放射形曲線族，與均勻旋轉的情形類似。均勻旋轉的一個典型例子是函數fx,y=xy，滿足定義域內處處Δf=0，其等值線如圖5所示。這兩種常見的情形可以幫助我們直觀地想象拉普拉斯算子的物理意義。需要說明的是這里“均勻剪切”和“均勻旋轉”只是借鑒流體力學中的概念而進行的直觀描述，并不是真正的剪切和旋轉。

圖3 二維情況下均勻剪切示意圖

圖4 二維情況下均勻旋轉示意圖

圖5 函數fx,y=xy等值線圖

最后我們借鑒元胞自動機[3]的思路，在圖1的基礎上進一步直觀地解釋拉普拉斯算子的擴散意義。想象標量場中的標量值描述了當地的某物質濃度，在每個離散點上若該物質濃度值為ρ，則其在單位時間內通過分子自由運動向周圍鄰居擴散的濃度值為αρ，其中α為常數。在諾依曼型鄰居定義下，鄰居指的是上下左右相鄰的4個離散點[4]，而擴散性質的各向同性特征意味著向周圍各個鄰居擴散的濃度值應為αρ/4。因此，(i,j)點向外擴散的總濃度值為αf(xi,yj)，而其4個鄰居對其擴散的總濃度值為α(fxi+1,yj+fxi-1,yj+fxi,yj+1+fxi,,yj-1)/4。當公式(4)滿足時，總的擴散通量為零，意味著局部濃度值是平衡的；當公式(4)不滿足時，局部濃度值則不平衡，會在宏觀意義上發生擴散。這就從拉普拉斯算子的直觀意義出發，解釋了為什么拉普拉斯算子能表示擴散效應，比如可用于被動標量湍流的擴散方程之中[5]。

本文通過基于空間導數定義，利用中心差分的方法直觀地給出了拉普拉斯算子的物理意義，即當離散點間距趨于零時，每個離散點的值若等于它周圍點的值的平均值，則拉普拉斯值為零。我們指出，在一定程度上這種描述類似于“曲率”，但又有著顯著不同。另外，我們在此物理意義的基礎上總結出局部均勻剪切和均勻旋轉兩種常見的拉普拉斯值為零的情形，給出了直觀的圖形描述。最后，我們利用此物理意義解釋了拉普拉斯算子和擴散的關系。

[1] 余天慶，李厚民，毛為民，張量分析及在力學中的應用[M].北京：清華大學出版社，2014.

[2] 張文生.微分方程數值解：有限差分理論方法與數值計算[M].北京：科學出版社，2015.

[3] 李學偉，吳今培，李雪巖，實用元胞自動機導論[M].北京：北京交通大學出版社，2013.

[4] Toffoli T, Margolus N. Cellular automata machines: a new environment for modeling[M]. Cambridge: MIT Press, 1987.

[5] Fang L, Cui GX, Xu CX, and Zhang ZS. Multi-scale analysis of energy transfer in scalar turbulence[J]. Chinese Physics Letters, 2005, 22: 2877-2880.