矩形截面有限長螺線管磁場的計算

梁麥林 薛 凱

(天津大學理學院物理系，天津 300354)

在教科書和文獻中[1-8]，對螺線管的磁場有較多的討論。對于無限長的密繞直螺線管，在忽略螺距影響的情況下，管內的磁場是均勻的而管外的磁場為零[1-3]。但是，對于有限長的螺線管，結論沒有無限長螺線管那么簡單[4-8]。當截面是圓形時，可以得到軸線上的精確磁場[2]。有限長的螺線管對稱性不高，不能用安培環路定律計算，需要利用畢奧-薩伐爾定律，借助疊加原理進行計算，過程往往比較復雜。文獻[4]中對于有限長螺線管的磁場進行了數值分析，不過沒有給出一個明確的解析表達式。文獻[5]討論了螺線管內部磁場的求解方法，但沒有涉及螺線管外部的磁場性質。在文獻[6]中，給出了磁場的級數表達式，也許由于求和太過復雜，最后并沒有一個簡單函數的解析表達式。在文獻[7]中，給出了磁場的積分表達式, 然后進行了數值分析。而在文獻[8]中，借助矢勢，先給出了磁場表達式的一個積分形式，然后進一步得到了磁場分布的級數表達式，最后討論了某些特殊位置的磁場，包括中軸線上、管壁兩側靠近管壁處、遠場區等。縱觀這些研究，能夠給出普通解析函數形式的依然是中心對稱軸線上的磁場，其他位置的磁場都是積分形式或者級數形式。根據對稱性質，如果螺線管的截面是圓形的，當知道非對稱軸上一點的磁場時，其他位置的磁場也就應該知道了，這可能也是為什么圓形截面螺線管非對稱軸上的磁場難以有一個簡單解析表達式的原因。

對于非中心對稱軸上的磁場，如果能夠寫成簡單解析函數的形式，這樣的結果還是很有意義的。一方面可以比較容易地分析和理解磁場的性質，另一方面也可以作為研究復雜問題的出發點。既然圓形截面時難以做到這一點，那么這里研究一種矩形截面的有限長螺線管，看看離開非中心對稱軸上某些位置的磁場能不能寫成簡單解析函數的形式。當然要將所有地方的磁場都寫成簡單的解析函數形式是不現實的。經過計算發現，矩形截面有限長螺線管對稱面上的磁場，確實可以用普通函數表示成解析形式，而不用寫成積分形式或者級數形式。這里的普通函數解析表達式包括非中心對稱軸上的磁場。

計算有限長螺線管磁場的方法如下：將螺線管的表面傳導電流看成是某種介質的表面磁化電流，如果介質的磁化電流與螺線管的表面傳導電流相等，那么介質磁化電流的磁場就與螺線管的磁場相同。而對于介質的磁化電流，磁場強度的環路積分是零，可以引入磁荷，這樣就可以采取類似于處理靜電場的方式處理靜磁場(參看文獻[2]中的389-401頁)。接下來首先對磁荷方法計算磁場進行描述，然后具體計算有限長矩形截面螺線管的磁場，最后是總結。

1 用磁荷方法計算恒定電流的磁場

把傳導電流看成是某種磁介質的磁化電流，就可以用磁荷方法計算磁場強度H。另一方面，讓磁化電流等于相應的傳導電流，進而可以確定磁化強度M，最后得到磁感應強度

B=μ0(H+M)

(1)

對于一個密繞螺線管，單位長度的匝數設為n，導線中的電流設為IC, 單位長度的面電流密度就是αC=nIC。考慮一個磁介質，其形狀尺寸等與螺線管一樣，磁介質內部沒有磁化電流，磁化面電流密度就是αM=αC=nIC。這樣磁介質的磁場就會與螺線管的磁場完全相同。

為了給出螺線管的磁場，我們假設磁介質是柱體，其軸線是z坐標軸，介質的磁化強度如下

(2)

式中，ez是軸線方向的單位矢量；Mi是介質內部的磁化強度；Me是介質外部的磁化強度。對于磁介質，這里沒有傳導電流，磁場強度H滿足

(3)

式中

μ0M)·dS

(4)

就是磁荷。從式 (2)以及式(4)的定義我們知道，介質的內部沒有磁荷，磁荷只分布在介質的兩端。介質兩端的磁荷面密度是

±σm=±μ0M=±μ0nIC

(5)

磁荷分布在介質兩端的平行面上，這些磁荷決定了磁場強度H。螺線管的磁場強度類似于一個極化柱形電介質的電場。如果沒有自由電荷，電場強度滿足以下方程

(6)

式中

·dS

(7)

真空磁導率和磁荷(μ0,qm)與真空介電常量和束縛電荷(ε0,qp)互換, 磁場強度H就會與電場強度互換。因此，螺線管中磁場強度的計算相當于平行板電容器電場的計算。將式(2)代入式(1), 磁感應強度變成

(8)

螺線管內部的磁場有兩部份，一部分是一個常數，另一部分是與磁場強度H有關的項，是由磁荷引起的磁場。螺線管外部的磁場完全由磁荷產生，體現在磁場強度H上。換句話說，磁荷產生螺線管外部的磁場和螺線管內部磁場的非均勻部分。

2 矩形截面螺線管的磁場

圖1 螺線管的矩形截面

(9)

做如下的變量代換

φ

(12)

z分量的磁場強度式(10)變成

(13)

進一步利用積分公式

(atanhφ)+C

(14)

這里a是一個常數，C是積分常數，我們最后得到z分量的磁場強度

(15)

我們來分析一下這個結果: (1)靠近端點處，即-a

圖2 函數U(z)的曲線，其中的參量是a=1.0，b=2.0 (a) x0=a/8； (b) x0=-a/2,-a/8,-a/32分別對應實線、短劃線、長劃線

從式(15)可以看出，因子U(z)的性質代表了磁場強度的性質。函數U(z)曲線如圖2所示。圖2(a)中,x0=a/8, 磁場強度先增加后減小。圖2(b)中,x0=-a/2,-a/8,-a/32分別對應實線、短劃線、長劃線。參數x0=-a/2對應矩形截面的對稱軸。圖2(b) 表明，離開對稱軸越遠，磁場強度越小。

磁場強度的x分量是

(16)

在垂直于矩形截面的對稱軸上，或者當x0=-a/2時, 磁場強度的x分量等于零即Hx=0。在極限z→∞的情況下,Hx∝1/z3，這要比磁場強度的z分量減小得快，從而在無限遠處磁場強度只剩下z分量。參量x0和坐標z變化給出矩形截面對稱面z-x上的磁場強度。

磁場強度式(15)、式(16)是在z=0處的帶電矩形面的磁場強度。將z換成z±L/2會給出 矩形面在z=?L/2處的磁場強度。考慮這樣一種情況：在z=-L/2處有一個帶正磁荷的矩形面，而在z=L/2處有一個帶負磁荷的矩形面, 則該系統的總磁場強度分量是

對于放置在z=-L/2與z=L/2之間的有限長螺線管, 根據式(8)，螺線管外的磁感應強度分量將是Bz=μ0Hz和Bx=μ0Hx，螺線管內部磁感應強度的非均勻分布部分也是同樣的表達式。從前邊對于式(15)和(16)的討論，我們知道，當自變量z→∞，因子U(z)和W(z)都會趨于零。因此，當L→∞時，式(17)、式(18)中的磁場強度都會趨于零，也就是說螺線管外部的磁場和內部磁場的非均勻部分都會趨于零，這正是預期的結果。這里用普通的解析函數表達式得到了這樣的結果。

圖3中畫出了磁場強度中的因子U(z+L/2)-U(z-L/2)≡G(z)隨著坐標z變化的情況。螺線管處在z=-2到z=2之間。圖3(a)表示的是螺線管外部的一條線上的磁場強度，而圖3(b) 給出的是穿過螺線管內部的一條線上的磁場強度。在z=±2即螺線管的兩端, 磁場強度改變方向。在z=0處即螺線管的中間部分，磁場強度要小于兩端的大小。如果螺線管的長度是無限長，那么兩端的磁荷在有限遠處產生的磁場強度就是零，就像式(15,16)處分析的那樣，磁場就變成無限長螺線管的磁場，磁感應強度在外部是零，內部是均勻的。

圖3 磁場強度中的因子G(z)隨著坐標z的變化情況相應的參數是a=1.5，b=1.0和(a)x0=a/8；(b)x0=-a/8。有限長螺線管處在z=-2到z=2之間，在z=±2即螺線管的兩端, 磁場強度改變方向

3 結語

計算了矩形截面有限長螺線管在對稱面上的磁場，直接計算給出了簡單的解析表達式，并對相關性質進行了分析。將螺線管的磁場看成是具有同樣幾何形狀的磁化介質的磁場，發現有限長螺線管的磁場可以分為兩部分的疊加， 一部分是常數部分，這部分只在螺線管的內部，另一部分是非均勻部分。隨著螺線管的變長，非均勻部分不斷減小，最終消失，只剩下螺線管內部的常數部分。由于矩形螺線管的磁場可以解析計算，將幾個矩形螺線管疊加即可得到很多不很規則截面的螺線管，它們的磁場因而也是可以解析表達的。

[1] 張三慧. 大學基礎物理學(下冊)[M]. 北京：清華大學出版社，2007：82-83.

[2] 趙凱華，陳熙謀.電磁學[M].3版.北京：高等教育出版社，2011：251-253.

[3] 常同欽.截面為任意形狀無限長螺線管的磁場[J].大學物理，2001(6)：22-23.

Chang Tongqin. Magnetic field of a infinite long solenoid with arbitrary cross section[J]. College Physics，2001(6)： 22-23. (in Chinese)

[4] 趙春旺，王克勛，劉前.有限長螺線管磁場的數值計算與分析[J].工科物理(現刊名為物理與工程)，1997，4(2)：14-17.

Zhao Chunwang， Wang Kexun， Liu Qian. Numerical calculation and analysis of the magnetic field of a finite solenoid[J]. Engineering Physics， 1997， 4(2)： 14-17. (in Chinese)

[5] 王華軍， 李宏福， 溫越瓊.螺線管中磁場的計算[J].四川輕化工學院學報， 1999， 12(4)： 23-25.

Wang Huajun， Li Hongfu， Wen Yueqiong. Calculation of the magnetic field in a solenoid[J]. Bulletin of Sichuan institute of light chemical engineering， 1999， 12(4)： 23-25. (in Chinese)

[6] 程昌林，王慧，李業鳳.細導線密繞螺線管的磁場[J].物理與工程，2003，13(1)：6-8.

Cheng Changlin， Wang Hui， Li Yefeng. Magnetic field of a solenoid tightly wound with thin wire[J]. Physics and Engineering， 2003， 13(1)： 6-8. (in Chinese)

[7] 惠小強，陳文學.有限長通電螺線管空間的磁場分布[J].物理與工程，2004，14(2)：22-23.

Xi Xiaoqiang， Chen Wenxue. The magnetic field of finite solenoid with electric current[J]. Physics and Engineering， 2004， 14(2)： 22-23. (in Chinese)

[8] 丁健. 載流有限長密繞螺線管的磁場分布[J].大學物理，2009，28(8)：28-30.

Ding Jian. The magnetic field distribution of a current carrying tightly wound solenoid with finite length[J]. College Physics，2009， 28(8)： 28-30. (in Chinese)