對普朗克公式的再認識

徐 美

(北京科技大學數理學院應用物理系，北京 100083)

1900年，德國物理學家普朗克(Max Planck，1858—1947)提出“能量量子化”的假設，從而完美地擬合出黑體輻射的整個實驗曲線——從單色輻出度較小的低頻段，經對應于單色輻出度極大值的某一頻率，到單色輻出度漸弱的高頻段，從而解決了維恩公式低頻段與實驗不符的問題，也化解了由瑞利-金斯公式引發的高頻段的“紫外災難”。

5年之后的1905年，就在普朗克本人仍然糾結于這種“不完全的計算”,試圖回歸“經典”解釋的時候，愛因斯坦(Albert Einstein，1879—1955)卻在分析光電效應實驗結果時，發表了著名的光電子理論，明確指出光子能量具有量子化特征。基于這一觀點，愛因斯坦成功地解釋了光電效應實驗現象，這使“能量量子化”的假設獲得了有力的支持。從此，量子化的觀點很快被物理學界廣泛接受，20世紀初物理學天空“兩朵烏云”中的一朵化成了耀眼的量子物理學光輝。

1 從數值擬合的角度認識普朗克公式

1896年，維恩(W.Wien，1864—1928，德國)根據經典熱力學和麥克斯韋分布律，導出了黑體輻射的單色幅出度與輻射頻率之間的關系，即維恩公式：

Mν=αν3e-β ν/T

(1)

1900年6月，瑞利(J.W.Strutt，1842—1919，英國)根據經典電磁學和能量均分定理得到了瑞利公式，后經金斯(J.H.Jeans，1877—1946，英國)修正，即成瑞利-金斯公式

(2)

1900年12月，普朗克提出了著名的普朗克公式[1]

(3)

為了更好地分析以上3個公式，不妨將它們改寫為

式中,α、α′、α″和β、β′、β″均為常量。

可以看出，上述(4)、(5)、(6)三式具有極其相似的形式，它們都可以看作是兩部分的乘積：Mν=f1(ν)·f2(ν)。其中第一部分f1(ν)正比于頻率ν的三次方，它隨頻率的增大而增大，直至無窮。很顯然，如果只有這一部分，必然會出現單色幅出度無窮大的情況，瑞利-金斯公式的“紫外災難”就源于此(盡管該公式在f2(ν)中作了ν-1的“補救”，但也只能減緩這一趨于無窮大的趨勢，而無法改變本質)。

為了使單色幅出度曲線在越過極大值之后能夠隨頻率增高而轉為足夠快地下降，必須在公式中增加作用相反的“抑制因素”，這就是第二部分函數f2(ν)，這一函數必須在高頻段發揮主導和控制作用，不僅要抑制曲線的無限上升，還必須使它逐漸轉為下降，直至趨向于零。

適應這一要求最簡單而通用的函數就是負冪函數ν-γ和負指數函數e-γ ν(式中γ為常數)。瑞利-金斯公式和維恩公式中分別用到了這兩種函數形式。在瑞利-金斯公式(5)中，負冪函數的具體形式是與頻率成反比，即f2(ν)=ν-1，如前所述，它無法抑制f1(ν)隨頻率三次方的增大效應。事實上，由于負冪函數與f1(ν)函數同形，二者的乘積必然會以頻率的冪函數形式隨頻率單調變化，不會出現實驗曲線中的極大值。而在維恩公式(4)中，f2(ν)以負指數函數形式出現，f2(ν)=e-γ ν，其函數值隨頻率增大而迅速減小，且減小的速度遠勝于f1(ν)函數中頻率的三次方隨頻率增大的速度，起到了預期的高頻控制作用，因此維恩公式在高頻(短波)階段與實驗結果吻合得很好(見圖1(a)[2])。

圖1 維恩公式、瑞利-金斯公式和普朗克公式的對比(a) 波長域; (b)頻率域

但是，維恩公式在低頻(長波)段則與實驗數據不甚相符。由此看來，只考慮函數在高頻段的控制作用也還不夠，必須同時兼顧高頻和低頻，使函數在低頻時趨近于瑞利-金斯公式，高頻時趨近于維恩公式。

具有這種特性的函數就是f2(ν)=(eγ ν-1)-1，這也正是普朗克公式(6)中出現的函數。

根據指數函數的展開式

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+…

(7)

當x很小時(相應于低頻情況)，略去高階無窮小量，可得近似式

ex-1≈x

(8)

與式(5)對比可知，這就是瑞利-金斯公式的情況。而當x很大時(相應于高頻情況)，有

ex-1≈ex

(9)

與式(4)對比可知，這就是維恩公式的情況。也就是說，只需對普朗克公式分別取低頻極限和高頻極限，即可得到瑞利-金斯公式和維恩公式(圖1(b)[3])。普朗克公式的精妙之處，由此可見一斑。

2 從物理的角度理解普朗克公式

如前所述，普朗克公式兼顧了高頻和低頻兩種情況，只需選取合適的常數，即可獲得較高的擬合精度。然而，物理學家不會滿足于單純的數值擬合；在他們看來，找到一個能很好地與實驗數據相吻合的函數，這件事情并無本質困難，只要下決心尋找、試驗、修正，總是可以如愿的。物理學家真正關注的是擬合函數的物理意義，力求從理論上解釋，為什么是這個函數，而不是別的函數？此外，還希望這個函數能夠解釋其他已有的相關實驗事實和規律。

開爾文(William Thomson，1824—1907，英國)之所以把黑體輻射的問題稱作“熱和光動力理論上空的烏云”[4]，是因為已有的物理理論都只能解釋黑體輻射曲線的一部分而非全部，物理學家顯然不能容忍這種物理上或理論上的不完善。

按照瑞利的假設，線性諧振子是能量連續的經典體系，遵從能量均分定理。在相同的溫度下，每個諧振子的平均能量均相等。而黑體空腔中的輻射場具有無窮多個自由度，因此必然會得到總能量無窮大的結果[2]。

普朗克大膽地做了一個在當時看來十分怪異的假設：黑體腔壁上的電磁振子與黑體腔中的電磁波處于平衡狀態，當振子以頻率ν振蕩時，只能輻射某些確定值的能量nhν(n=0，1，2,…)。這種離散的量子化能級的概念與瑞利關于“振子可以具有任意大小能量”的觀點截然相反。

然而，如果不同頻率的振子同樣有效地輻射電磁波，那么，由于高頻光子的能量大，將必然導致高頻輻射強度過分增大，與實驗結果不符。因此，“減少(而且是大幅減少)高頻光子數”就成為降低高頻輻射強度的唯一途徑，只有這樣才能對高頻段的輻射強度起到控制作用。普朗克的巧妙之處正是在提出“能量量子化”概念的同時引入了一個使高頻輻射“低效”的抑制因素。換句話說，在普朗克模型中，高頻振子是一種“低效光源”。

我們可以借助原子模型中不同能級上的粒子數分布規律來理解這一“抑制因素”。假設黑體空腔的溫度為T，則具有能量En=nhν的振子數為[5]

Nn=Ae-n hν/kT

(10)

其中，n=0表示基態；n=1表示第一激發態。由此可得，處于第一激發態的振子數與處于基態的振子數之比為

(11)

顯然，隨著振子頻率ν的增大，這一比例將急劇減小。舉例詳之。假設溫度T=1000K，振子頻率ν=1×1014Hz，則第一激發態的振子能量E1=hν=6.63×10-20J，處于第一激發態的振子數與處于基態的振子數之比為

.19×10-3

(12)

.98×10-13

(13)

圖2 普朗克模型中同一溫度下低頻振子和高頻振子的能級對比[5](a) 低頻振子； (b) 高頻振子

對比式(12)和(13)可以看出，與低頻振子相比，高頻振子的能量雖然增大了5倍，但是處于第一激發態的振子的相對數目卻減少至大約三百億分之一！所以高頻段的總輻射能量大大減小，這正是普朗克希望達到的效果。于是，只需調整系數h至恰當的數值，即可得到與實驗數據完美吻合的理論公式。

3 由普朗克公式得到的啟發

決定自然現象狀態或過程的因素有時單一，有時多重，所以不同的自然現象有不同的表現形式和變化規律。有的單調遞增或單調遞減，有的高值飽和或低值飽和，有的中間大兩端小，存在極值。但有一點是肯定的：“無窮大”的物理量不可能在物理現實中出現，因此，對于理論描述中出現的無窮大表象，必須找到合適的“去無窮”機制。在解釋黑體輻射時，普朗克引入“能量量子化”概念，相當于增加了一個能使單色輻出度隨頻率增大而迅速減小的影響因素，它抑制了輻射強度在高頻段的增長，從而化解了“紫外災難”。

黑體輻射的單色輻出度隨頻率變化的特點是在函數中部存在極大值，這種形式在自然科學和社會科學中很常見，如高斯分布、麥克斯韋分布、玻耳茲曼分布、人口數量對年齡的分布、考試成績的分布等等。在此類過程中，往往存在兩個作用相反的因素，其中一個因素控制著自變量的高端，其作用在自變量趨近低端時漸減；另一個因素控制著自變量的低端，其作用在自變量趨近高端時漸減。在黑體輻射實驗中，這兩個因素分別是光子的能量和光子的數目。頻率較大時，光子能量大，但相對數目較少；頻率較小時，雖然光子的相對數目較多，但每個光子的能量較小。兩個因素共同作用，使得黑體輻射呈現出圖1(a)所示的曲線形式，無論在高頻方向還是低頻方向都不會出現單色輻出度“無窮大”的情況。

將這種“雙因素控制”原理推而廣之，很多中間高、兩端低的分布特征都可以得到合理的解釋。例如，圖3所示的地球電離層的電子密度隨高度分布的觀測數據，在大約300km高度處，電子密度出現極大值，這一現象也是“雙因素控制”的結果。電離層中存在著電離和復合兩種過程，決定這兩種過程的主要因素是太陽輻射強度和大氣密度：太陽輻射越強，中性分子原子的電離越強，導致電子數目增多、密度增大；而大氣密度越大，由電子和離子碰撞導致的復合越強，引起電子數目減少、密度減小。在高空處，盡管太陽輻射很強，但大氣非常稀薄，可供電離的分子原子有限，所以電子密度不會很大；到了地表附近，雖然大氣稠密，可供電離的分子原子增多，但由于太陽輻射在穿過大氣層時已大大減弱，因此使得電離過程有限；同時，由于低空處的大氣稠密，復合過程明顯，所以電子密度也不會很大。于是，在某一特定高度附近，大氣中的電子密度出現極大值；而隨著高度的增大或減小，電子密度均有所下降。

圖3 電離層F區電子密度隨高度變化的觀測結果[6]

4 結語

普朗克公式巧妙地彌合了維恩公式和瑞利-金斯公式的不足，通過“能量量子化”的概念成功地引入了一個“去無窮”的機制，從而化解了“紫外災難”。而正是這個“能量量子化”的觀點，開啟了量子物理學的偉大序幕，讓人類在物質觀上有了革命性的突破。

另外值得一提的是，由普朗克公式還可推出當時已知的關于黑體輻射的兩條實驗規律：對普朗克公式在全頻段進行積分，即得斯特藩-玻耳茲曼定律(黑體的總輻出度與其溫度的四次方成正比)；對普朗克公式的波長表述形式求導，即得維恩位移律(黑體的單色輻出度在某一特定的波長上達到極大值，此波長與黑體的溫度成反比)。由此可見，普朗克公式堪稱絕妙，無怪乎被評為“科學史上最偉大的公式”之一。

[1] 張三慧.大學物理學(B版，熱學、光學、量子物理)[M]. 3版. 北京：清華大學出版社，2009：304.

[2] 陸果. 基礎物理學[M]. 北京：高等教育出版社，1997：620-623.

[3] 維基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law.

[4] 胡化凱. 物理學史二十講[M]. 合肥：中國科學技術大學出版社，2009：338.

[5] Young H D, Freedman R A, Ford A L. University physics with modern physics[M]. 13th Edition. San Francisco: Addison-Wesley, 2012: 1311-1312.

[6] Hargreaves J K. The upper atmosphere and solar-terrestrial relations[M]. New York： Van Nostrand Reinhold Co. 1979： 104-105.