網絡阻值計算的一個遞推關系

薛一鳴 趙宇先 謝 斌 陳奎孚

(中國農業大學 1信息與電氣工程學院， 2工學院， 3理學院，北京 100083)

電阻計算是電路分析的基本任務。簡單電路可以使用串聯或并聯來分析。不能用串并聯分析的電路也很常見，比如不平衡電橋，此時常用Y-Δ變換進行分析。本文將給出復雜電路分析的一個遞推關系。基于此關系，任何復雜的電路都可以逐步刪除選定電阻，使得電路簡化成簡單電路。新遞推關系每操作一次，電阻就會少一個, 而現有的Y-Δ變換，電阻數目在變換前后不會減少。此外，所給的遞推關系簡潔，容易記憶。

1 新遞推關系的運用

圖1為電阻網絡示意圖，R是其中任一電阻。本文第2節將證明從網絡端口看到的整個網絡RN可按下式計算：

(1)

圖1 電阻網絡示意圖

其中：R短是把R短路后的網絡電阻；R正是把R斷路后，從網絡端口觀察到的電阻；R反是把R斷路后，從兩個斷線端口觀察到的電阻。

1.1 電橋

圖2(a)所示的電橋是經常使用的電路，5個電阻之間關系并非簡單的串并聯。通常的做法是用Δ-Y變換。下面采用式(1)分析。

選擇R5作為式(1)的R。

R5斷路后(圖2(b))，從網絡端口看：R1與R2串聯，R4與R3串聯；兩組串聯后再并聯，因此

R正=(R1+R2)//(R3+R4)

(2)

式中，“+”表示串聯；“//”表示并聯(“//” 比“+”優先,下同)。

從R5端口看(網絡的端口開路)：R1與R3串聯，R4與R2串聯；兩組串聯后再并聯，因此

R反=(R1+R3)//(R2+R4)

(3)

R5短路后(圖2(c)),R1與R3并聯，R4與R2并聯；兩組并聯后再串聯，因此

R短=R1//R3+R2//R4

(4)

給定具體數值，可以計算出式(2)、式(3)和式(4)的3個數值，再代入式(1)即可得到最終的RN。代數上，把式(2)、式(3)和式(4)的表達式代入式(1)，整理可得如下的電橋電阻隨各電阻變化的函數式

(5)

此式與文獻[1]中式(5)的最終結果相同。

1.2 門形網絡

圖3所示為門形電阻網絡，分析該電路的等效電阻RAB。

(6)

(7)

圖 2

圖4(c)的反向電路與正向電路結構對稱，則

(8)

將式(6)、式(7)和式(8)代入式(1)后整理可得RAB的代數式，但過于冗長，不再給出。作為驗

圖3 門形電阻網絡

圖 4

證，取R1=30Ω,R2=60Ω,R3=20Ω,R4=40Ω,R5=70Ω,R6=65Ω,R7=80Ω,R8=80Ω,R9=90Ω,R9=10Ω，可得RN=100/3Ω,與文獻[2]利用平衡電橋特殊性所得結果相同。

1.3 田字形電阻

文獻[3]討論了圖5所示的田字形電阻網絡，圖中各邊電阻分別為R12，R23,R34,……(右角標為相鄰兩個結點的標號)。

作為新遞推式的示例，本文只分析2和5兩個端口的等效電阻。2和5兩個端口之間有R25電阻，去掉該電阻后的新網絡在2和5兩個端口間當然也有一個等效電阻R′。顯然R25與R′之間是并聯關系。因此最為關鍵的是求圖6(a)所示的2和5兩個端口之間的電阻R′。

將R58短路(圖6(b))和斷路(圖6(c))。

圖6(b)的電阻(從2和5端口看)

(9)

圖6(c)的正向電阻(從2和5端口看)

(10)

圖6(c)的反向電阻(從5和8端口看)

(11)

(12)

最后RN=R25//R′

(13)

本節的電橋例子使用了一次遞推，門形網絡和田字形電阻的兩個例子本來需要兩次遞推，但是它們都使用了電橋計算式，因而只遞推了一次。因為每遞推一次，電阻就減少一個，故只要網絡電阻數目有限，就最終能把任意復雜的電路遞推到不含“非串非并”的情形。

2 新遞推式證明

不管電阻網絡有多么復雜，它都是由一個個分立的電阻用導線連接而成。網絡對外有兩個端線，如圖1所示。兩條端線上電流數值相等(滿足電流守恒)，即如圖中I。兩個線端的電位差為U。電阻網絡的等效電阻可由下式計算

RN=U/I

(14)

為了凸顯R的作用，把圖1改成圖7(a)的形式。圖中，IR為通過R的電流，而UR為R兩端的電壓。

圖 7

將R斷路，與R相連的兩條斷線組成一個端口，該端口與網絡端口之間的電路構成二端口網絡，如圖7(b)所示。因為電路中只有符合歐姆定律的電阻，所以此二端口為無源線性網絡。

對圖7(b)的二端網絡有如下傳遞關系

(15)

其中T11,T12,T21,T22為網絡傳遞系數，它們均與R無關。

圖5 田字形電阻網絡

圖 6

如果將圖7(a)的R斷路(圖7(b))，則等價于式(15)中I′=0。記網絡端口的電流和電壓分別為I斷和U斷，則式(15)第一式為

0=T11I斷+T12U斷

顯然U斷/I斷即為從網絡端口觀察到R斷路下的網絡電阻，即R正。因此

R正=U斷/I斷=-T11/T12

(16)

(17)

如果圖7(a)的R短路(圖7(c))，則等價于式(15)中U′=0。記網絡端口的電流和電壓分別為I短和U短，則式(15)第二式為

0=T21I短+T22U短

顯然U短/I短即為從網絡端口觀察到R短路下的網絡電阻，即R短。因此

R短=U短/I短=-T21/T22

(18)

以上討論了3種特殊情形。對R取任意值的情形圖7(a)有

(19)

對其求逆得到

(20)

因而網絡電阻RN

(21)

把歐姆定律UR=IRR關系代入上式有

(22)

進一步整理有

(23)

將式(16)，(17)和(18)代入上式，即得到式(1)。

因為在推導式(1)過程中對圖7中的二端口網絡沒有限制，所示式(1)適用于任何線性電路。不管電路是否對稱，是否具有互易性，式(1)都是正確的。

對交流情形，只要把上述的所有電阻換成阻抗，式(1)也適用于網絡阻抗的計算。

3 結語

本文利用二端口網絡的傳遞關系，導出一遞推關系，該遞推關系使用3個縮減網絡的電阻，即讓選定電阻短路的網絡電阻，從選定電阻兩端觀察到的電阻，以及選定電阻斷路的網絡電阻。

每使用一次遞推關系，縮減網絡的電阻數就少一個。然而，傳統的Y-Δ變換不會減少電阻個數。反復使用上述遞推關系，最終可把復雜網絡一步一步地分解為能用串并聯分析的簡單網絡。

不管是Y-Δ變換，還是基于本文所給出的遞推關系，對于較復雜的電路，手工分析的工作量還是比較大，也很難用計算機程序化分析。未來應該探索能夠程序化的電路分析方法。

[1] 李永安.不平衡電橋的網絡分析[J].物理與工程，2003,3(1):29-30.

Li Yongan. A network analysis on unbalanced electro-bridge[J]. Physics and Engineering. 2003, 13(1): 29-30. (in Chinese)

[2] 陳玉奇.中學階段如何處理電橋電路[J].物理教學,2013,35(11):35-39.

Chen Yuqi. How to tackle with the bridge circuit in a middle school stage[J]. Physics Teaching, 2013, 35(11): 35-39. (in Chinese)

[3] 張恩德,俞曉明,趙磊.田字形不對稱電阻網絡等效電阻的計算[J].物理與工程,2008,18(2):38-41.

Zhang Ende, Yu Xiaoming, Zhao Lei. The Y-Δ equivalent exchange research of TIAN resistance network[J]. Physics and Engineering, 2008,18(2): 38-41. (in Chinese)

[4] 吳法華.田字形電阻網絡的等效電阻[J].物理教師,2002,23(5):56.

Wu Fahua. The equivalent resistance to a cross-in-square resistance network[J]. Physics Teacher. 2002, 23(5): 56. (in Chinese)

[5] 顧春杰,王軍明.你看“田”字電阻網絡多變幻[J].物理教師,2010,31(10):21-22.

Gu Chunjie, Wang Junming. What a mystery of a cross-in-square resistance network[J]. Physics Teacher. 2010, 32(10): 21-22. (in Chinese)