一種用三線擺測量重力加速度的方法探討

董 科 高 紅 朱 峰 羅觀洲 李 華

(北京航空航天大學 1能源與動力工程學院； 2物理科學與核能工程學院； 3計算機學院，北京 100191)

重力加速度在科學研究和日常生活中有著重要的意義，比如洲際彈道導彈軌道的設計，地下礦物資源的勘探，海洋洋流的分析等等都離不開對地球重力場的測量和分析[1]。同時，重力加速度作為最重要的力學量之一，在大學物理教學中占有重要的地位。目前相關研究采用了多管落球法[2]，落球彈跳法[3]，阿基米德定律排水法[4]等實驗方法來完成對重力加速度的測量。它們雖然擴展了學生的實驗思路，但是實驗原理推導復雜，操作過程繁瑣。

本文結合實驗室常見的三線擺和生活中普通的智能手機，對重力加速度的測量進行了探討。它基于轉動慣量平行軸定理推導了重力加速度測量公式，同時利用手機傳感器和濾波算法測量得到公式所需的轉動周期，最后通過數據擬合計算得到當地重力加速度。

1 實驗原理

兩個半徑分別為R和r(R>r)的剛性圓盤，用對稱分布的3條等長的無彈性的，質量可忽略的細線相連，上盤固定，則構成一振動系統，稱為三線擺，如圖1所示。上盤固定，下盤可以繞中心軸OO′轉動。若調節三線擺使上下盤都處于水平狀態，當擺角θ0很小，懸線長度l遠大于R，忽略空氣阻力和懸線扭力時,可以證明物體繞中心軸OO′轉動慣量I0為[5]

(1)

式中，m0為下盤質量；R為下盤懸點距中心轉軸距離；r為上盤懸點距中心轉軸距離；T0為轉動周期；H為上下盤垂直距離。

圖1 三線擺示意圖

若將兩個相同的圓柱砝碼(m)對稱地放置在下盤上，保持中心轉軸OO′不變，則此時轉動慣量變為

(2)

同時，由轉動慣量平行軸定理知：

I-I0=2mx2

(3)

式中,x為圓柱砝碼距中心轉軸OO′距離.

聯立式(1)、(2)、(3)有：

(4)

由此式知，T2與x2成正比關系。在具體實驗中，改變圓柱砝碼離中心轉軸OO′的距離x，保持其他參數不變，測量轉動周期T，利用最小二乘法算出直線斜率b后就能算出當地重力加速度g[6]。

智能手機中為了完成姿態解算，自動轉屏等功能，內嵌有三軸加速度傳感器，能夠測量隨體坐標系x,y,z3個方向的加速度，如圖2所示。一般智能手機采樣頻率可以達到50Hz，精度為0.001m/s2[7]。當把手機如圖3水平放置時，手機x軸方向的加速度ax就反映了下盤的轉動加速度。

圖2 智能手機隨體坐標系

圖3 智能手機放置示意圖

理論上，三線擺周期性轉動時，加速度呈余弦規律變化，通過測量加速度的周期便能夠獲得轉動周期T。但相關學者研究表明，實際情況中下盤的運動為水平振動和圓振動耦合的拍現象[8]。實際測量中加速度數據點及擬合曲線如圖4所示，為一振幅周期性變化的余弦曲線，與研究結果相符。

圖4 下盤加速度數據及擬合曲線

若直接對加速度數據進行擬合處理來得到轉動周期，計算量大，精度低，并且難以在手機上實現。考慮到余弦曲線經過同一高度時的相鄰兩點的時間間隔即為周期，本文采用特定高度去截取數據點，計算對應數據點之間的時間間隔，求取平均值后即為周期[9]。基于這一思想，本文實現了對應的濾波算法與程序，特定高度取為前20%大的加速度值的平均值。

2 實驗裝置與實驗內容

實驗裝置如圖5所示，由三線擺，砝碼，智能手機組成。為了比較手機的周期測量精度，還加入了數字毫秒計時器。智能手機中寫入了實驗專用的程序，實現了數據輸入，周期采集，結果計算一體化的功能。具體實驗步驟如下：

(2) 利用水平儀調整下盤姿態，放置智能手機，調試數字毫秒計時器。

(3) 分別改變砝碼距中心轉軸距離x為60mm,80mm,100mm,輕轉下盤，啟動測量。

(4)計算實驗結果，分析誤差。

圖5 實驗裝置

圖6 實驗方案流程示意圖

表1 相關實驗參數

表2 周期和重力加速度的測量

3 實驗結果與討論

相關的實驗參數，總質量m0，圓柱砝碼質量m，上懸點距離Lup，下懸點距離Ldown，上下盤距離H，分別由表1列出。周期和加速度的測量結果見表2。

由公式(4)可以推導得不確定度計算公式：

(5)

代入相關數據計算可得，智能手機不確定度Ug=0.05，計數器不確定度Ug=0.06，則最終測量結果表述為

智能手機：g±Ug=(9.84±0.05)m/s2

計數器：g±Ug=(9.73±0.06)m/s2

由三線擺簡弦運動近似條件可知，當上下盤距離H減小時，測量誤差將會上升[11，12]。同時，在放置智能手機時，很難使手機質心與轉軸OO′完全重合。因此，本文探究了上下盤距離H和手機偏心距離x對測量結果的影響，實驗結果如表3,4所示。

表3 不同H下重力加速度的測量結果

表4 不同x下重力加速度的測量結果

通過分析表3和表4可以看出，當高度H減小，偏心距x增大時，智能手機和計時器的測量誤差都有所上升，相對誤差在2%～3%之間。高度H對兩者影響程度相同，而偏心距x對智能手機影響更大。這可能是由于偏心距過大時，影響了下盤的質量分布，中心轉軸不再與OO′重合，但誤差仍然在可接受的范圍內。

4 結論

本文結合實驗室里常見的三線擺裝置和生活中常見的智能手機，提出了基于轉動慣量平行軸定理的重力加速度實驗測量方法。通過智能手機的引入，實現了數據輸入，周期采集，結果計算三位一體的功能。并且經過實驗測量檢驗，該方法具有較高的測量精度。該方法物理原理簡單易懂，實驗操作更為簡潔，降低了對于實驗器材的要求，能夠讓學生直接抓住物理實驗背后的物理本質，它更能激發學生探究物理現象和掌握物理實驗方法的熱情。

[1] 程冰. 基于冷原子干涉的重力加速度精密測量研究[D]. 浙江大學,2013.

[2] 朱道云,龐瑋,吳肖,等. 多管落球法測量重力加速度[J]. 實驗技術與管理,2012,04:59-61.

Zhu Daoyun, Pang Wei, Wu Xiao, et al. Measuring acceleration of gravity by multi-tube falling-ball method[J]. Experimental Technology and Management, 2012, 04: 59-61. (in Chinese)

[3] 俞曉明,崔益和,陳飛,等. 恢復系數及重力加速度的落球彈跳法測量[J]. 大學物理,2010(11):35-36,58.

Yu Xiaoming, Cui Yihe, Chen Fei, et al. Measurement of coefficient of restitution and gravitational acceleration by using bouncing ball[J]. College Physics, 2010(11): 35-36,58. (in Chinese)

[4] 雷達,孟根其其格,李淑俠,等. 基于阿基米德定律測量重力加速度[J]. 大學物理實驗,2013(04):37-39.

Lei Da, Menggen Qiqige, Li Shuxia, et al. Measuring acceleration of gravity based on Archimedes law[J]. Physical Experiment of College, 2013(04): 37-39. (in Chinese)

[5] 李朝榮,徐平,唐芳,等．基礎物理實驗[M].北京: 北京航空航天大學出版社，2010:13-28，48-54．

[6] 陳思佳,張文霞,楊啟鳳,等. 線性回歸法和Matlab在復擺測重力加速度實驗中的應用[J]. 物理實驗,2009(03):44-46.

Chen Sijia, Zhang Wenxia, Yang Qifen, et al. Application of linear regression method and Matlab in measuring gravity acceleration of compound pendulum[J]. Physics Experimentation, 2009(03): 44-46. (in Chinese)

[7] 洪皓,武剛,陳飛翔,等. 基于智能手機傳感器的室內行人三維定位算法[J]. 測繪科學,2016(07):47-52,72.

Hong Hao, Wu Gang, Cheng Feixiang, et al. An indoor 3D location algorithm for pedestrian based on smartphones sensors[J]. Science of Surveying and Mapping, 2016(07): 47-52,72. (in Chinese)

[8] 趙敏福. 三線擺測量轉動慣量的誤差分析[J]. 科技信息,2009(02):408-409.

Zhao Mingfu. The Analysis of Measure error for moment of inertia by the three-line pendulum[J]. Science & Technology Information, 2009(02): 408-409. (in Chinese)

[9] 董明明. 基于Android的運動監測系統的研究與實現[D]. 北京郵電大學,2015.

[10] 黃佳峰,趙楠,夏雪琴. 基于三線擺法和Origin7.0軟件測定重力加速度新方法的研究[J]. 科技信息,2012(33):522-524.

Huang Jiafeng, Zhao Nan, Xia Xueqin. Based on three-line pendulum method research on new method for the determination of the gravitational acceleration and origin7.0 software[J]. Science & Technology Information, 2012(33): 522-524. (in Chinese)

[11] 宋超,潘鈞俊,葉郁文,等. 用三線擺方法測試物體轉動慣量的誤差問題[J]. 力學與實踐,2003(01):59-61.

Song Chao, Pan Junjun, Ye Yuwen, et al. The measure error of moment of inertia by the three-line pendulum[J]. Mechanics in Engineering, 2003(01): 59-61. (in Chinese)

[12] 夏雪琴.“比較測量法”在三線擺實驗中的應用[J]. 大學物理實驗,2011(05):47-50.

Xiao Xueqing. “Comparison measurement” in the application of three-line pendulum experiment[J]. Physical Experiment of College, 2011(05): 47-50. (in Chinese)