疊加法求均勻帶電球體電場問題

郭泓昊 張雅男 李慶芳

(南京信息工程大學，江蘇 南京 210044)

大學物理在靜電場章節中，先是講解了點電荷的電場強度計算方法，然后利用場強疊加原理先后求出均勻帶電圓環、均勻帶電圓盤等電荷均勻分布的帶電體軸線上的電場分布。而對于均勻帶電球體的電場分布，一般是在講解過靜電場中的高斯定理后，利用高斯定理來求解。因為利用高斯定理求解均勻帶電球體的電場無論從物理概念還是計算方面都是簡單易懂的。課堂上求解均勻帶電圓環軸線上一點的電場強度，是將其分解為無數個電荷微元，求每個電荷微元在軸線上的電場矢量和，求解均勻帶電圓盤軸線上電場強度也是相同的方法[1-3]。學過該方法后，有的同學想利用這種方法求解均勻帶電球體外的場強分布卻得到了錯誤結果，但各種教材中沒有給出相關的推導。查閱了若干文獻，雖然也介紹了求解方法，但這些方法都是先求出圓盤的電勢，然后利用電勢梯度求出場強分布[4-6]。這種方法是靜電場章節最后的知識點，而且還要利用泰勒展開來討論電場分布。對于初學靜電場知識的同學，有一定的難度，理解上也不如電荷微元疊加方法簡單。為此，本文作者根據自己的理解，將符號函數引入均勻帶電圓盤電場計算公式，然后利用該公式，根據電場疊加原來推導出均勻帶電球體的電場分布。雖然數學計算略微復雜，但物理概念清晰，有利于同學理解微元法在物理中的應用。

1 疊加法求解均勻帶電球體場強

大學物理教材中對于求解均勻帶電球體在空間中產生的靜電場，一般是利用高斯定理求解[3]。已知球體半徑為R，電荷體密度為ρ，與球心距離為r的場點處，其電場強度大小為

(1)

大學物理課本中，在講解高斯定理求解電場強度之前，是利用對電荷微元在場點的電場強度求矢量和來計算不同帶電體的電場[3]。筆者并不滿足于直接由高斯定理求解均勻帶電球體在空間中產生的場強大小，也利用上述方法計算均勻帶電球體產生的電場，計算過程如下。

如圖1所示，以球心為坐標原點建立坐標系。令所求場點P位于坐標軸Z軸上，且坐標為(0,0,a)。根據球體的對稱性，此處只討論上半球體，即a>0。將均勻帶電球體分解成無數個均勻帶電圓盤體積微元。大學物理教材中均勻帶電圓盤軸線外一點處場強公式[3]為

(2)

圖1 均勻帶電半球示意圖

式中，σ為圓盤電荷面密度;R為圓盤半徑;x表示圓盤軸線上的場點位置。利用公式(2)可以求出均勻帶電球體分解出的每一個均勻帶電圓盤體積微元在P點產生的電場強度dE。

(3)

經計算，得到結果

(4)

顯見，當a>R時，即場點位于球體外，結果與利用高斯定理計算結果相同。但當0≤a

2 引入符號函數的均勻帶電圓盤軸線上場點的電場強度

既然推導過程沒有錯誤，那錯誤應該出現在所用的公式上。重新檢查均勻帶電圓盤軸線上一點場強公式(2)，發現如果將其理解為計算得到場強的矢量解，則場強不滿足對稱性，即不滿足E(r)=-E(-r)。原來，公式(2)中的x僅表示坐標原點到P點的距離，故得到的場強E始終為正，只表示場強大小。筆者認為式(2)中的x為矢量坐標，計算得到的E值的正負可以確定場強方向，這才導致錯誤結果。但課堂中，老師強調電場強度是一個矢量，能否利用公式計算出的場強就是矢量呢？筆者試圖自己推導出均勻帶電圓盤軸線上一點場強矢量計算結果。

圖2 均勻帶電圓盤示意圖

如圖2所示，設圓盤半徑R，電荷面密度為σ，令圓盤中心到軸線一點P的距離用一帶有符號的標量r0表示，r0的符號選取原則為，設定圓盤一側的場點與圓盤中心的距離為正，則另一側為負。根據均勻帶電圓環軸線上場強公式可得某一圓環微元在P點產生的場強為

(5)

圖3 3種情形(a) 體積微元圓盤位于場點下側; (b) 場點位于圓盤體積微元中心; (c) 體積微元圓盤位于場點上側

式中,r為選取的圓環微元的半徑?？紤]到dq=σ2πrdr，對整個圓盤積分，可得

(6)

代入上下限，可求出均勻帶電圓盤軸線上一點場強為

(7)

經過整理，利用符號函數[7]，得到均勻帶電圓盤軸線上一點的電場強度計算式

(8)

無論圓盤帶電量是正還是負，其兩側的電場強度方向一定相反。則求解場點與圓盤中心的距離為正的一側的電場強度時，上式中sgn(r0)=1，反之，sgn(r0)=-1。如此，根據式(8)計算均勻帶電圓盤軸線上一點電場場強，可以滿足E(r0)=-E(-r0)，即圓盤兩側距圓盤中心相同距離的兩個場點，其電場強度大小相等，方向相反。同時，由于符號函數定義了sgn(0)=0，所以利用式(8)求解圓盤中心的電場強度為零，而利用式(2)計算時，中心場強不為零，這也說明了式(2)的局限性。與式(2)相比，式(8)中將圓盤中心到場點的距離用符號函數來代替，這樣就可以清楚地表示出當場點位于圓盤不同側面時，場點的電場強度方向與圓盤之間的相對關系。筆者查閱了許多大學物理教材，雖然有部分教材對此有說明[8，9]，但絕大多數教材中均勻圓盤軸線上的電場強度計算公式仍采用式(2)計算，并且對公式(2)中的x定義不明確，有的只在圖中標出x，很容易使讀者誤解距離x為P點的矢量坐標，而利用公式(2)也只求解出場強大小，其方向還需另行說明[8，9]。也有其他的方法來計算均勻圓盤軸線上的電場強度[10]，但式(8)給出的結果，更為簡單，清晰。

既然得到了更為準確的均勻圓盤軸線上的電場強度計算式，利用其重新求解均勻帶電球體內一點電場強度，驗證一下結果是否正確。

3 疊加法求解均勻帶電球體場強

如圖3所示，仍取圖1所示坐標系，考慮P位于球體內且在z軸正半軸的情況。對于組成球體的任意均勻帶電圓盤微元會出現3種情況：帶電圓盤微元在P上側，即z>a；帶電圓盤微元中心與P重合，即z=a；帶電圓盤微元在P下側，即z

如前所述，將式(8)中相關物理量變換，統一積分變量，可以得到均勻帶電球體的場強求解式。因為式(8)中有符號函數，而根據前文分析，可以用積分變量z來判斷所求場點位于當前圓盤微元的上側還是下側，即用z來確定符號函數的取值。

利用圓盤微元求解均勻帶電球體場強，積分變量的范圍為-R～R。如圖3所示，將圓盤微元分成在場點上側和下側后，利用式(8)可將式(3)變換為

(9)

不同位置的圓盤位于場點的不同側，當z的積分范圍為-R～a時，圓盤微元位于所求場點P的下側，r0符號與a-z同為正，如圖3(a)所示；當z的積分范圍為a～R時，圓盤微元位于所求場點P的上側，r0符號與a-z同為負，如圖3(c)所示。

4 結語

先計算出帶電微元在場點產生的電場強度，然后對帶電體求場強的矢量和。利用這種場強疊加法求解電荷均勻對稱分布的帶電體的電場是大學物理教學中的重要內容。根據現有大多數教材給出的均勻帶電圓盤軸線場強計算式(2)，由于說明不清，很容易會錯誤的理解為場強的矢量結果，因此，得到的均勻帶電球體場強也是錯誤的。本文引入符號函數，重新推導了均勻帶電圓盤軸線場強計算式。該公式不僅可以計算出場強的大小，也清楚的表示出場強相對于圓盤的方向。根據場強疊加法利用該公式求解均勻帶電球體的電場分布，得到了正確的結果。若大學物理教材中對均勻帶電圓盤軸線上一點場強公式進行補充說明，或采用式(8)代替式(2)，雖然改動微小，但表達清晰準確，體現了學習物理知識的嚴謹性。

[1] 程守珠，江之永. 普通物理學上冊[M]. 6版. 北京:高等教育出版社，2006.

[2] 張三慧. 大學物理學第三冊[M]. 2版. 北京:清華大學出版社，1999.

[3] 詹煜，張成義. 大學物理教程(下冊)[M]. 2版. 北京：科學出版社，2011.

[4] 周海英. 均勻帶電薄圓盤的電場[J]. 大學物理，2005，24(11): 31-34.

Zhou Haiying. The electric field of a uniformly charged thin disk[J]. College Physics, 2005, 24(11): 31-34. (in Chinese)

[5] 吳崇試. 均勻帶電圓盤電場的靜電勢問題[J]. 大學物理，2000，19(11): 1-4.

Wu Chongshi. Electrostatic potential of electric field on a uniformly charged disk[J]. College Physics, 2000, 19(11): 1-4. (in Chinese)

[6] 吳崇試，張之翔. 軸對稱荷電圓盤的靜電勢[J]. 大學物理，2000，19(12): 5-8.

Wu Chongshi, Zhang Zhixiang. Electrostatic potential of an axially symmetric charged disk[J]. College Physics, 2000, 19(12): 5-8. (in Chinese)

[7] 李剛，王順鳳，朱鳳琴，等. 高等數學(上)[M]. 北京:高等教育出版社，2010.

[8] 惠和興，鄭錫璉. 普通物理學(2)[M]. 北京:北京理工大學出版社，1997.

[9] 盧德馨. 大學物理學[M]. 北京:高等教育出版社，1998.

[10] 李瑾. 均勻帶電圓盤電場的研究[J]. 陜西學前師范學院學報，2014，30(5): 123-125.

Li Jin. Study of electric field of uniform charged disk[J]. Journal of Shaanxi Preschool Teachers College, 2014, 30(5): 123-125. (in Chinese)