股票配資的收益與風(fēng)險(xiǎn)控制模型

吳紅英， 朱 萱， 楊 令

1 股票配資合同

2015年6月，一條“長(zhǎng)沙股民4倍配資、全倉(cāng)中車，兩天賠光跳樓”的消息，讓股民無(wú)法平靜，擁有天使和魔鬼雙重血統(tǒng)的場(chǎng)外配資要了他的命.從技術(shù)層面來(lái)說(shuō)，投資失敗導(dǎo)致跳樓的關(guān)鍵原因是對(duì)配資炒股這種高回報(bào)、高風(fēng)險(xiǎn)投資行為缺乏正確的評(píng)估和風(fēng)險(xiǎn)管理技能.炒股的目的一般有風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖、套利機(jī)會(huì)和投機(jī)，顯然跳樓投資人是典型的投機(jī)者，風(fēng)險(xiǎn)管理尤為重要.精確的風(fēng)險(xiǎn)管理需要較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具和較高的計(jì)算手段.

設(shè)r，σ，δ分別為股票價(jià)格的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、市場(chǎng)波動(dòng)率和分紅強(qiáng)度，則股票價(jià)格St服從隨機(jī)微分方程（SDE）

其中Wt為標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng).假定股民自己出資q，再?gòu)呐滟Y公司借貸kq買入一支股票，其股價(jià)正好為S=（1+k）q，此時(shí)配資率（杠桿率）為1∶k.股民與配資公司訂立4項(xiàng)合同條款：（1）借貸利率為γ，合同到期日為T，當(dāng)前日期記為0.（2）如果在[0，T]時(shí)間內(nèi)，股票價(jià)格降至kqeγt，股票自動(dòng)平倉(cāng)，股民資金全部虧損，配資公司收回本金與利息kqeγt.（3）如果在[0，T]時(shí)間內(nèi)，股票價(jià)格升至μq，股票自動(dòng)平倉(cāng)，配資公司收回本金與利息kqeγt，股民資金收益為 μq-kqeγt-q=（μ-1）q-kqeγt.這里總是假定 μq＞kqeγt+q，設(shè)定 μ 的初衷是防范估計(jì)被高估的風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)股價(jià)高到一定程度時(shí)及時(shí)退市.（4）在到期日，配資公司收回本金與利息kqeγt，股民收入為ST-kqeγt.

杠桿炒股具有股票借貸的某些特征[1，2]，也具有期權(quán)的一些基本要素[3-6]，本文采用隨機(jī)分析和Black-Scholes-Merton偏微分方程來(lái)建模，同時(shí)設(shè)計(jì)有限差分格式求解，同時(shí)給出數(shù)值算例進(jìn)行必要的討論.

2 配資收益與風(fēng)險(xiǎn)模型

首先考慮收益狀況.股民在到期日的收益支付可以看作股票看漲期權(quán)收益，即 h（T，ST）=（ST-kqeγt-q）+，（·）+表示取正部函數(shù)，而股民在任意t時(shí)刻的貼現(xiàn)收益期望為

在 Black-Scholes-Merton 分析框架上（見文獻(xiàn)[3，4]），股民收益期望 V（t，St=S）滿足偏微分方程（PDE）

這里S為啞變量，不再是時(shí)間的函數(shù).同時(shí)加上終端條件

考慮到合同條款（2）（3），我們必須加上邊界條件

PDEs（3）（4）（5）和（6）構(gòu)成所謂的歐式看漲障礙期權(quán).

再來(lái)討論風(fēng)險(xiǎn)度量.股民在到期日的風(fēng)險(xiǎn)支付可以看作股票看跌期權(quán)收益，即h~（T，ST）=（q+kqeγt-ST）+，而股民在任意t時(shí)刻的貼現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)期望為

與收益分析類似，股票風(fēng)險(xiǎn)期望V（t，St=S）滿足PDE

和終端條件

考慮到合同條款（2）（3），我們同樣加上邊界條件

PDEs（8）（9）（10）和（11）構(gòu)成所謂的歐式看跌障礙期權(quán).

已知零時(shí)刻股票價(jià)格S0并給定配資率k，股民投入資金數(shù)量，此時(shí)股民收益率R、風(fēng)險(xiǎn)率R和風(fēng)險(xiǎn)收益比λ可分別定義為

R，R和λ都是無(wú)量綱的，R表示單位投入的收益，R表示單位投入的風(fēng)險(xiǎn)，λ則表示單位收益所面臨的風(fēng)險(xiǎn)大小.R，R和λ對(duì)配資率k較為敏感，同時(shí)與借貸利率γ有關(guān)，應(yīng)該是股民最為關(guān)注的數(shù)量指標(biāo).

計(jì)算收益期望的PDE（3）-（6）可用有限差分方法來(lái)求解.定義固定時(shí)間網(wǎng)格

和移動(dòng)空間網(wǎng)格

運(yùn)用中心差分的隱式格式離散PDE（3）得到

其中 Vi，j為 Vi，j在時(shí)間層 Vi-1上的插值函數(shù).對(duì)離散系統(tǒng)（13）進(jìn)行整理，依次關(guān)于時(shí)間節(jié)點(diǎn) i=M，M-1，…，1 有

其中

加上終端條件和邊界條件

線性方程組（14）可按時(shí)間反向演化求解.同理計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)期望的PDE（8）-（11）也可用有限差分方法來(lái)求解，方法類似，這里不再贅述.

表1 不同配資率對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的影響

3 數(shù)值模擬與分析

取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05（年利率），股價(jià)波動(dòng)率σ=0.5，初始股價(jià)S0=10（元），借貸利率γ=0.07，到期時(shí)間T=1（年），其它參數(shù)為q=S0/（1+k），μ=6，M=1000，N=1000.

表1列出了有限差分方法的部分計(jì)算結(jié)果.從表中看到，隨著配資率k的增加，單位資本的收益（R）先增后降；在較低配資水平下確實(shí)能增加股民期望收益，這正是股民涉足場(chǎng)外配資炒股的動(dòng)力所在；但在較高配資水平下，由于面臨高額借貸利息，股民期望收益必然受損.同時(shí)我們也看到，隨著配資率k的增加，單位資本的風(fēng)險(xiǎn)（R）先增后降；高配資高風(fēng)險(xiǎn)不難理解；配資水平達(dá)到一定程度以后，股民投入很少，風(fēng)險(xiǎn)自然會(huì)減低，其余風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)嫁給配資公司.單位收益所面臨的風(fēng)險(xiǎn)λ總是在提高，這說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)增長(zhǎng)速度快于收益增長(zhǎng)速度.另外從表中我們也能看到高收益高風(fēng)險(xiǎn)的投資特征.

從以上分析看出，本文提出的股票配資模型基本體現(xiàn)了借貸炒股的主要特征，實(shí)際數(shù)值計(jì)算結(jié)果能夠給出股民最為關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)，具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值.

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