基于鎖相環實現信號相頻突變的跟蹤

孫永磊+楊昕欣

摘 要： 鎖相環是一種相位誤差自動控制系統，在通信領域有著廣泛的應用。通過設計鎖相環路，實現對輸入信號的頻率和相位突變時的跟蹤。首先介紹鎖相環路的基本原理，然后對一階和二階鎖相環的動態跟蹤特性進行分析，最后采用仿真軟件Multisim 13.0設計仿真電路，針對一階、二階PLL的輸入信號頻率和相位突變時的情況進行仿真研究，實際仿真結果與理論分析相吻合。仿真結果表明，設計的鎖相環路實現了對輸入信號頻率和相位突變后的跟蹤。

關鍵詞： 鎖相環； 頻率突變； 相位突變； 信號跟蹤； 理論分析； Multisim

中圖分類號： TN702?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）01?0051?06

Abstract： The phase?locked loop （PLL） is designed to realize signal tracking when the phase and frequency mutation of input signal occurs. The basic principle of the phase?locked loop is introduced in this paper. The dynamic tracking characteristics of the first?order and second?order PLLs are analyzed. The simulation software Multisim 13.0 is used to design the simulation circuit. The condition that the phase and frequency mutation of the input signal of the first?order and second?order PLLs occurs is simulated. The simulation result is identical with the theoretical analysis result. The simulation results show that the designed phase?locked loop can realize tracking when the input signal′s frequency and phase mutation occurs.

Keywords： phase?locked loop； frequency mutation； phase mutation； signal tracking； theoretical analysis； Multisim

0 引 言

鎖相環（Phase Locked Loop）簡稱為PLL，是一種相位誤差控制系統[1]。它能實現頻率合成、調制解調、載波回復、信號檢測等功能，在電子領域有著廣泛的應用，目前鎖相環在數字和模擬通信系統中成為不可缺少的部件。隨著電子技術的快速發展，鎖相環技術在信號測量、信號頻率與相位的自動跟蹤、雷達中的多普勒信號提取等領域發揮了重要的作用[2]，信號的頻率與相位跟蹤已成為科研與國防中的重要組成部分[3]。

1 鎖相環的結構與工作原理

鎖相環是一種相位反饋控制電路，它的基本原理是通過比較輸出信號與輸入信號之間的相位差，然后產生控制電壓來調整壓控振蕩器的頻率，實現輸出信號與輸入信號頻率同步。鎖相環由三個基本部件組成：鑒相器（PD）、環路濾波器（LF）和壓控振蕩器（VCO），如圖1所示。

鑒相器（PD）的輸出信號[vd]是輸入信號[vi]和壓控振蕩器輸出信號[vo]之間相位差的函數，常用的鑒相器有以下幾類：數字鑒相器、抽樣鑒相器、模擬相乘器鑒相器和鑒頻鑒相器等[4?6]，鑒相器一般由乘法器加低通濾波器構成，如圖2所示。

設鎖相環的輸入信號和壓控振蕩器的輸出信號分別為[vi]和[vo]（單位：V）：

[vi（t）=Vimsin[ωi0t+θi（t）]=Vimsin[?i（t）]vo（t）=Vomcos[ωo0t+θo（t）]=Vomcos[?o（t）]] （1）

輸入信號與輸出信號經過乘法器得到：

[Kvi（t）vo（t）=12KVimVomsin[2ωo0t+θ1（t）+θ2（t）]+ K2VimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]] （2）

式中：[θ1（t）=（ωi0-ωo0）+θi（t）=Δω0t+θi（t）；θ2（t）=θo（t）]。

再經過低通濾波器后濾出[2ωo0]成分，得到誤差電壓：

[vd（t）=12KVimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]=12KVimVomsin[?i（t）-?o（t）]] （3）

[vd（t）=f[?i（t）-?o（t）]] （4）

式中：[?i（t）]為輸入信號[vi（t）]的瞬時全相位；[?o（t）]為壓控振蕩器輸出信號[vo（t）]的瞬時全相位。

環路濾波器（LF）是一個低通濾波器，濾出誤差信號[vd]中的高頻分量，改善鎖相環路的跟蹤性能，同時保證環路的穩定性。鎖相環中的LF有兩個功能：第一，濾除誤差信號中的高頻分量；第二，為鎖相環路提供一個短期記憶，當系統因為瞬時噪聲而失鎖時，可確保鎖相環路能夠迅速重新捕獲信號[7?8]，在鎖相環中通常采用一階濾波器電路。當環路濾波器采用直通電路時，該鎖相環為一階PLL；當采用一階濾波器電路時，該鎖相環為二階PLL。各種環路濾波器如圖3所示。

壓控振蕩器（VCO）是根據電壓產生本地振蕩頻率，振蕩的頻率受[vp]的控制，從而產生頻率偏移，實現對輸入信號頻率的跟蹤。壓控振蕩器的一般特性如圖4所示。它的振蕩頻率與控制電壓的關系可表示為：[ωo（t）=ωo0+g[vp（t）]，] 在某一特定的控制電壓范圍內，壓控振蕩器的振蕩頻率變化與控制電壓成線性關系，即：[ωo（t）=ωo0+Kωvp（t）]。其中，[Kω]是該曲線的斜率，也稱作為壓控振蕩器的調制靈敏度，單位為[rad/（S?V）]。endprint

在鎖相環路中，壓控振蕩器的輸出瞬時相位對鑒相起作用，而不是瞬時角頻率，VCO在鎖相環中起到了積分作用，因此VCO也稱為環路中的固有積分環節。

[φo（t）=ωo0t+Kω0tvp（λ）dλ=ωo0t+θ2（t）] （5）

壓控振蕩器對應的時域與頻域模型如圖5所示，其中[1p]為積分算子。

由此可得到PLL環路的相位數學模型，如圖6所示。

2 鎖相環的動態跟蹤特性分析

由上述分析可知，鎖相環中的鑒相器實際上是一個比例放大環節，而壓控振蕩器為積分環節，[HF（p）]為環路濾波器LF的傳遞函數，從相位數學模型可得到PLL環路的非線性微分方程：

[θ2（t）=Kdsin[θ1（t）-θ2（t）]?HF（p）?Kω?1p] （6）

[θ1（t）-θe（t）=Kdsinθe（t）?HF（p）?Kω?1p] （7）

[θe（t）+KdKωHF（p）psinθe（t）-θ1（t）=0] （8）

式中：[Kd=12KVimVom]為鑒相器的最大輸出電壓；[Kp=Kd?Kω]為環路增益，單位為[rad/s]。

定義三個PLL的傳遞函數。

誤差傳遞函數：

[He（s）=θe（s）θ1（s）=ss+KpHF（s）] （9）

式（9）表示輸入信號與壓控振蕩器輸出信號之間的誤差相位[θe（s）]與輸入信號相位[θ1（s）]的關系，稱為環路的誤差傳遞函數。

閉環傳遞函數：

[Hc（s）=θ2（s）θ1（s）=KpHF（s）s+KpHF（s）] （10）

式（10）表示壓控振蕩器的輸出信號相位[θ2（s）]與輸入信號相位[θ1（s）]之間的關系，稱為鎖相環路的閉環傳遞函數。

開環傳遞函數：

[Ho（s）=θ2（s）θe（s）=KpHF（s）s] （11）

已經鎖定后的環路，當輸入信號的相位或頻率發生某種突變時，環路將使壓控振蕩器的相位和頻率能夠跟蹤輸入信號的變化。在輸入信號發生變化后的一段時間里，鎖相環路有一瞬變的過程。這個瞬變的過程狀況與PLL的組成有關，也與輸入信號的相位或相位的變化規律有關[9]。這就是求出[θe（t），][θ2（t）]的過程。當瞬變過程結束后，鎖相環路進入穩定狀態。這時，壓控振蕩器的輸出信號與輸入信號有相同的頻率和某一固定的相差，這個固定的相差稱作為穩態相差。

2.1 一階PLL動態跟蹤特性

一階PLL中環路濾波器為直通電路，將[HF（s）=1]代入到上述誤差傳遞函數和閉環傳遞函數中，得到：

[Hc（s）=Kps+Kp，He（s）=ss+Kp]

誤差相位的瞬態響應為：

[θes=Hesθ1sθet=L-1θes] （12）

穩態相差：

[θe（∞）=limt→∞θet=lims→0sθes] （13）

2.1.1 輸入信號相位突變

輸入信號相位階躍，即：

[θ1t=Δθ，t>00，t<0，θ1（s）=Δθs]

那么誤差相位的瞬態響應與穩態相差分別為：

[θes=ss+KpΔθs=Δθs+Kp] （14）

[θet=L-1Δθs+Kp=Δθ e-Kpt] （15）

[θe（∞）=lims→0sθes=0] （16）

一階PLL跟蹤信號相位突變特性曲線如圖7所示。

2.1.2 輸入信號頻率突變

輸入信號頻率階躍，即：

[ωit=ωo0+Δω，t>0ωo0，t<0] [θ1t=Δωt，t>00，t<0，θ1s=Δωs2]

那么誤差相位的瞬態響應與穩態相差分別為：

[θes=ss+KpΔωs2=Δωss+Kp] （17）

[θet=L-1θes=ΔωKp1-e-Kpt] （18）

[θe（∞）=ΔωKp] （19）

通過Matlab得出瞬態響應曲線理論波形，如圖8所所示。

2.2 二階PLL動態跟蹤特性

2.2.1 輸入信號相位突變

以理想積分環路濾波器作為PLL的LF，理想濾波器的傳遞函數如圖3所示，即：[HF（s）=sτ2+1sτ1]。

那么誤差相位的瞬態響應與穩態相差分別為：

[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （20）

[θes=θ1sHes=sΔθs2+2ζωns+ω2n] （21）

[θe（t）=Δθ（cos1-ζ2ωnt-ζ1-ζ2sin1-ζ2ωnt）e-ζωnt， ζ<1Δθ（1-ωnt）e-ωnt， ζ=1Δθ（coshζ2-1ωnt-ζζ2-1sinhζ2-1ωnt）e-ζωnt， ζ>1] （22）

[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δθ1+2ζωn1s+ω2ns2=0] （23）

式中：[ωn]為自然角頻率；[ζ]為阻尼系數。通過Matlab仿真可得出理論波形如圖9所示。

2.2.2 輸入信號頻率突變

同樣誤差相位的瞬態響應與穩態相差分別為：

[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （24）

[θes=Δωs2+2ζωns+ω2n] （25）

[θe（t）=Δωωn11-ζ2sin1-ζ2ωnte-ζωnt， ζ<1Δωωn（ωnt）e-ωnt， ζ=1Δωωn1ζ2-1sinhζ2-1ωnte-ζωnt，ζ>1] （26）

[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δω?ss2+2ζωns+ω2n=0] （27）

通過Matlab仿真可得出理論波形如圖10所示。

3 鎖相環動態跟蹤特性仿真

本文利用Multisim 13構建了鎖相環路的仿真模型，對于不同的輸入信號，研究了輸入信號突變時鎖相環的動態跟蹤特性。

of second?order PLL tracking signal

基于Multisim 13搭建鎖相環電路，如圖11所示。

電路說明如下：[V3]為正弦波信號源，即同步信號，其周期為1 ms，幅度為1 V；A1為模擬乘法器，[R1]和[C1]為低通濾波器，[A1，R1]和[C1]組成鑒相器；[R4，C4]和[U1]組成了理想低通濾波器，即PLL中的環路濾波器，該濾波器的參數決定了PLL環路的頻率穩定性和壓控性；[V4]為壓控振蕩器VCO。

3.1 鎖相環的捕獲與跟蹤特性

為了便于觀察鎖相環跟蹤后信號的頻率與相位，將同步信號[V3]更換成脈沖信號，同時將[V4]更換成方波壓控振蕩器，此時看到輸出信號與同步信號的頻率一致，相位差為0，即實現同步跟蹤，如圖12所示。

3.2 一階PLL動態跟蹤特性

采用一階PLL，即環路濾波采用直通電路，觀察輸入信號的頻率和相位突變后，鎖相環的跟蹤特性。

在某一時刻改變輸入同步信號的頻率，即實現輸入信號頻率的突變，此時觀察輸出波形如圖13所示，與理論波形圖8相符合，即證明了一階鎖相環能實現對輸入信號頻率突變后的跟蹤。

3.3 二階PLL動態跟蹤特性

采用二階PLL，即環路濾波采用理想低通濾波器，觀察輸入信號的頻率和相位突變后鎖相環的跟蹤特性。

3.3.1 輸入信號相位突變

在輸入信號后端接一個反相器，在某一時刻將輸入信號的相位進行反向，即實現輸入信號相位的階躍，此時觀察輸出波形如圖14所示，與理論波形圖9相符合，即證明了一階鎖相環能實現對輸入信號相位突變后的跟蹤。

3.3.2 輸入信號頻率突變

在某一時刻改變輸入同步信號的頻率，即實現輸入信號頻率的突變，此時觀察輸出波形如圖15所示，與理論波形圖10相符合，即證明了一階鎖相環能實現對輸入信號頻率突變后的跟蹤。

3.4 仿真結果分析

在基于傳遞函數鎖相環的相位誤差模型的基礎上，通過搭建Multisim電路，研究了一階和二階鎖相環的動態相頻跟蹤特性，并得出如下結論：

當輸入信號相位突變時，一階與二階PLL都能實現對輸入信號的跟蹤，其穩態相差為零， VCO起到了積分的作用，是鎖相環路中的固有積分環節。

一階PLL對輸入信號頻率突變的跟蹤： PLL在進行重新鎖定時，VCO能夠跟蹤輸入信號頻率的變化，即VCO的振蕩頻率也變化[Δω，]則需要產生穩態相差：[θe（∞）=ΔωKp]。

二階PLL對輸入信號頻率突變的跟蹤：對于LF為理想積分濾波器的二階PLL，鎖相環的輸出信號相位能夠完全跟蹤輸入信號相位的變化，穩態后的相差為零；對于不是理想積分濾波器的二階PLL，如： RC積分濾波器或者無源比例積分濾波器，則穩態相差為：[θe（∞）=ΔωKp。]

4 結 語

本文首先建立了基于傳遞函數的誤差分析模型，在理論上分析了鎖相環的動態相頻跟蹤特性，然后通過Multisim 13搭建鎖相環仿真電路，該電路實現了對輸入同步信號的捕獲與跟蹤，同時通過改變環路濾波器實現了一階和二階PLL對輸入信號頻率與相位突變后的跟蹤，實驗結果與理論分析一致。

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