“任意角的三角函數(shù)”教學分析

孟瑩

選自教材：人教版（A版）《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修4》，1.2.1任意角的三角函數(shù)，本節(jié)課為第一課時。下面我將分別從教學內容分析、教學目標設計、學生情況分析、教學策略設計四個方面對這節(jié)課進行分析和說明。

一、教學內容分析

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中都具有重要的作用。本節(jié)課首先學習任意角三角函數(shù)的定義，新教材改變了過去習慣用角的終邊上的點的坐標的“比值”來定義的做法，轉為利用單位圓上點的坐標來定義任意角的三角函數(shù)。新的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質，使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關系更加直接，數(shù)形結合更加緊密，也為后續(xù)學習帶來方便，從這個定義可以更加方便地推導同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數(shù)圖象與性質提供了很好的直觀載體。因此，學生理解和掌握任意角三角函數(shù)的定義是學好本章的基礎。

本節(jié)課是任意角的三角函數(shù)第一課時，屬概念教學。教材首先以銳角三角函數(shù)為引子，通過“思考”，提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的問題，以引導學生回憶銳角的三角函數(shù)的概念，體會引進象限角概念后，用角的終邊上點的坐標比表示銳角的三角函數(shù)的意義，從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎。然后再“特殊化”引出用單位圓上的點的坐標表示銳角的三角函數(shù)的結論，在此基礎上，再定義任意角的三角函數(shù)。

在給出了三角函數(shù)的定義后，教科書沒有直接給出他們定義域和函數(shù)值的正負，而是設置了“探究”，留給學生主動學習的空間，引導學生通過自己的思維活動得出結論。因此，我認為本節(jié)課的教學重點是：

1.任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

2.三角函數(shù)在各個象限數(shù)值的符號。

二、教學目標設計

根據(jù)普通高中數(shù)學新課程標準對本節(jié)課的要求、本節(jié)課教材的特點，我認為通過本節(jié)課的教學要達到如下目標：

1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義，會初步應用定義解決與求三角函數(shù)值有關的一些簡單問題。

2.根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義探究其定義域、函數(shù)值的符號，體會學習的樂趣。

3.經歷將銳角的三角函數(shù)的定義推廣到任意角的三角函數(shù)的定義的探究過程，體會數(shù)形結合的思想

三、學生情況分析

1.已有認知基礎

此前，學生在初中已經學過銳角三角函數(shù)的定義，對三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）有一定的了解，并且學生剛剛學習了任意角與弧度制，也初步形成了利用直角坐標系來研究任意角的意識。因此本課從初中銳角三角函數(shù)的定義出發(fā)，過渡到把銳角置于直角坐標系中，學生具備了知識儲備和認知能力，符合知識的生成過程。

2.問題和困難

學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數(shù)，沒有坐標系的參與，其研究目的是為解直角三角形服務。因此習慣了直觀用有關邊長的比值來表示銳角三角函數(shù)，對銳角三角函數(shù)的函數(shù)實質的認識并不深刻。所以用終邊上任意一點的坐標來表示銳角三角函數(shù)時可能會出現(xiàn)障礙，進一步用單位圓上的點的坐標表示銳角三角函數(shù)，與學生在銳角三角函數(shù)學習中建立的已有經驗也有一定距離。

在借助單位圓將銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的三角函數(shù)定義時，與學生在數(shù)學1的學習中建立起來的經驗也有距離。學生熟悉的函數(shù)是實數(shù)與實數(shù)的對應，而這里給出的函數(shù)首先是實數(shù)（弧度制）到點的坐標的對應，然后才是實數(shù)（弧度制）到實數(shù)（橫坐標或縱坐標或比值）的對應，這就會給學生的理解造成一定困難。

因此，我認為本節(jié)課的教學難點是：

（1）用單位圓上點的坐標刻畫三角函數(shù)。

（2）把三角函數(shù)理解為以實數(shù)為自變量的函數(shù)。

突破難點的方法與措施：

（1）建立聯(lián)系，穩(wěn)步推進。先建立直角三角形中的銳角與第一象限角的聯(lián)系，再完成用角終邊上點的坐標表示銳角的三角函數(shù)。引入單位圓后，讓學生體會單位圓的作用，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質，同時還能定義任意角的三角函數(shù)。

（2）緊扣核心知識，加強直觀演示。首先，在銳角三角函數(shù)的基礎上緊扣函數(shù)的定義，讓學生體會變量之間的依賴關系和對應關系，然后在任意角的三角函數(shù)定義得出后，再討論變量之間的關系。同時，在例題和練習的分析和解決過程中可以進一步加深理解。

四、教學策略分析

根據(jù)本節(jié)課教學內容的特點和學生的實際，我準備采用 “體驗、溝通、合作、探究”與教師講授相結合的啟發(fā)式教學方法，并輔以多媒體演示進行教學。

在教學中讓學生經歷將已知知識進行轉化—特殊化—一般化的學習過程。降低認知臺階。其次圍繞學習目標設置了一系列符合學生認知規(guī)律的問題情景，將問題分解、具體化，通過具體認識一般。例題和練習解題思路求同，強化定義作用。

對于知識所蘊含的思想方法和知識生成的思維過程，輔以動畫演示，力求幫助學生主動思考，體會定義產生、發(fā)展的過程。由于研究范圍的改變，利用幾何畫板更加突出了任意角的三角函數(shù)是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象服務的。這些都是在本課時學習之后應該取得的認知方面的進步。

本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的教學方法，重在讓學生體驗新知識的發(fā)生過程，體會在任意三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數(shù)”的過程的，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標，培養(yǎng)了學生數(shù)形結合的思想。基于以上教學分析，我將完成“任意角的三角函數(shù)”的教學設計。endprint