基于激光跟蹤儀的多立方鏡姿態標定方法

劉 流 侯茂盛 林雪竹 王 強 李麗娟

(長春理工大學光電工程學院，長春 130022)

1 引 言

隨著現代工業的快速發展，對工業測量提出了越來越高的要求，特別是航空航天領域。在航天器裝調及實驗階段，對產品裝星姿態標定測量提出了高精度、高效率的需求。所謂姿態測量是指利用一定的工具對某特定部件進行測量，并用一定方法建立該部件在參考坐標系下的角度坐標系。現有測量方法均為借助立方鏡實現對精密部件的測量。立方鏡大多是經過精密加工的10mm×10mm×10mm的石英晶體六面體，且鍍有反射膜，其相鄰兩個面有著較高的垂直度，一般垂直度誤差不超過3″，這樣立方鏡的三個相鄰面的法線即可構成一個角度坐標系。

國內外均采用電子經緯儀的自準直原理對立方鏡的姿態進行測量。長春光機所、解放軍信息工程大學以及哈爾濱工業大學的相關研究人員利用Wild T3A，Lecia T3000A, 5100、6100等電子經緯儀的組網互瞄和自準直原理進行立方鏡姿態的測量和立方鏡坐標系間轉換矩陣的標定[1]。在自準直測量過程中，將經緯儀的望遠鏡調焦至無窮遠，由自準直燈發出的光經過聚焦鏡和45°半反半透棱鏡后，照射在十字絲分劃板上，十字絲分劃板位于經緯儀物鏡的焦平面上，如果經緯儀的視準軸和平面鏡的法方向平行，則分劃板上十字絲刻劃線所成的像經過物鏡后形成一束平行光，平行光照射到平面鏡上，反射后的像成像在分劃板上，并且與原像重合，從而實現經緯儀的自準直測量。然后，通過測量經緯儀的水平角和垂直角度值，即可得到平面鏡的法線方向[2]。

具體測量過程包括：經緯儀準直測量、經緯儀互瞄測量、立方鏡坐標系的建立與轉換。經緯儀互瞄測量是傳遞準直觀測量、建立坐標系的關鍵，但由于觀測現場環境復雜，測量空間狹小，經緯儀間無法通視，需多臺經緯儀進行互瞄、建站，從而引入更多的不確定因素和更多的誤差，且操作困難。此外，由于立方鏡的尺寸較小，增大了經緯儀準直測量的難度，使經緯儀必須多次移動、建站、準直，過程反復，操作強度大，測量效率低。近兩年來，哈爾濱工業大學、解放軍信息工程大學等利用聯合標尺[3]、激光跟蹤儀[4]、iGPS測量系統[5]來改進電子經緯儀互瞄的工作，但其測量本質仍舊為電子經緯儀自準直測量原理。

本文在分析了傳統準直測量的基礎上，改進了測量方法，利用反射、平面鏡光學成像原理，使用激光跟蹤儀對立方鏡姿態進行測量，建立立方鏡的坐標系，標定立方鏡坐標系間的轉換矩陣。

2 測量的原理和方案

2.1 立方鏡姿態測量原理

API激光跟蹤儀測量立方鏡姿態是利用平面鏡光學成像原理。首先測量激光跟蹤儀靶球在立方鏡一個鏡面成像的像點，然后測量該像點所在的物點，激光跟蹤儀的一束光照射在立方鏡鏡面上，經鏡面反射由激光跟蹤儀靶球接收，固定靶球的位置，并測量該靶球的坐標值，即為像點測量；激光跟蹤儀不經過鏡面反射，直接測量像點固定的靶球坐標值，即為物點測量；由像點物點的連線確定一條直線，即為該立方鏡一個鏡面的法線。如圖1、圖2所示。

2.2 立方鏡姿態測量方案

由于所使用的立方鏡是一個較為標準的鏡面正方體，其相鄰兩個面的垂直誤差不超過2″因此可以通過對立方鏡相鄰兩個面法線進行測量以確定兩個相互垂直的軸向，將兩法線叉乘確定第三個軸向。

鏡面的法線由下式得出

(1)

如圖3所示。

3 立方鏡姿態測量及轉換矩陣的標定

3.1 跟蹤儀測量系統對立方鏡坐標姿態的測量

激光跟蹤測量系統的本質是一種球坐標測量系統，如圖4所示,其基本原理是測量與目標點的距離d及水平方向和垂直方向的偏轉角α、β,距離分量d由激光干涉儀測量,角度分量α、β由高精度測角裝置如圓光柵、編碼器等測量。目標點空間坐標P可由公式P(x,y,z)=F(d,α,β)表示，而各分量可由公式(1)給出

(2)

激光跟蹤儀對立方鏡1的兩個互相垂直的表面，鏡面A和鏡面B的法線進行測量，記錄鏡面像點和物點的坐標值，利用公式(1)可求得立方鏡1兩個互相垂直的鏡面的法線，如圖5所示，然后得到鏡面A和鏡面B的空間夾角α1。

立方鏡1鏡面A法線為a1，立方鏡1鏡面B法線為a2，則兩鏡面的空間夾角α1

(3)

立方鏡2兩個互相垂直的表面，鏡面C和鏡面D的空間夾角α2的測量方法與立方鏡1相同。

(4)

3.2 立方鏡坐標系間轉換矩陣的標定

針對不同的情況，描述坐標轉換的方法有很多，如方向余弦法、歐拉描述法、四元數描述法、齊次坐標法、羅德里格矩陣法等[6]。

歐拉角描述法實質是直接迭代歐拉角微分方程,但是當轉動規則中的第二次基本旋轉接近90°的時候,第一次和第三次基本旋轉將變得作用相同(萬向鎖現象)，因此歐拉角法應用受到一定的限制。本文采用方向余弦法進行立方鏡姿態的計算，通過迭代姿態矩陣微分方程求解姿態，計算過程不受角度限制且利用方向余弦矩陣表示兩個坐標系之間的關系更加直觀。

方向余弦法

根據公式(2)對立方鏡1法線的計算，可以計算出y軸方向余弦和z軸方向余弦，然后得到x軸方向余弦

(5)

式中：αx——立方鏡1坐標系的X軸相對于激光跟蹤儀坐標系x軸的夾角；αy——立方鏡1坐標系的X軸相對于激光跟蹤儀坐標系y軸的夾角；αz——立方鏡1坐標系的X軸相對于激光跟蹤儀坐標系z軸的夾角；βx——立方鏡1坐標系的Y軸相對于激光跟蹤儀坐標系x軸的夾角；βy——立方鏡1坐標系的Y軸相對于激光跟蹤儀坐標系y軸的夾角；βz——立方鏡1坐標系的Y軸相對于激光跟蹤儀坐標系z軸的夾角；γx——立方鏡1坐標系的Z軸相對于激光跟蹤儀坐標系x軸的夾角；γy——立方鏡1坐標系的Z軸相對于激光跟蹤儀坐標系y軸的夾角；γz——立方鏡1坐標系的Z軸相對于激光跟蹤儀坐標系z軸的夾角[7]。

得到激光跟蹤儀坐標系到立方鏡1坐標系的旋轉矩陣R1為

(6)

該矩陣表示了兩個坐標系之間的相互關系，實際上該矩陣就是復合變換法中的旋轉矩陣M，旋轉參數Rx，Ry，Rz通過下式反求得到

同樣的方法建立立方鏡2的坐標系，確定立方鏡2的旋轉矩陣R2。

求出立方鏡1坐標系和立方鏡2坐標系之間的旋轉矩陣R為

(7)

4 實驗及驗證

為了驗證基于跟蹤儀的多個立方鏡旋轉矩陣標定方法的精度，本文設計了兩組實驗，分別驗證該方法的可行性和標定精度。

4.1 可行性驗證實驗

將立方鏡固定在平整穩固的光學平臺上，并保證全部測量流程在隔震基地進行。

第一步，將激光跟蹤儀放置在通視范圍良好的地點，打開激光跟蹤儀進行預熱，將激光跟蹤儀自帶的環境補償傳感器放置在激光跟蹤儀發射法附近；

第二步，將激光跟蹤儀進行校準，保證測量精度；

第三步，使用激光跟蹤儀對立方鏡1的面A的法線進行測量，記錄像點、物點的坐標值，如表1、表2所示；

第四步，使用激光跟蹤儀對立方鏡1的面B的法線進行測量，記錄像點、物點的坐標值，如表3、表4所示；

第五步，將以上第三步與第四步重復進行十次；

第六步，利用激光跟蹤儀測得的像點、物點坐標值建立鏡面法線，計算兩條法線的空間夾角。

表1 立方鏡1鏡面A的像點坐標值Table 1 Image point coordinates of mirror A of cubic mirror 1 (mm)

表2 立方鏡1鏡面A的物點坐標值Table 2 Object point coordinates of mirror A of cubic mirror 1 (mm)

表3 立方鏡1鏡面B的像點坐標值Table 3 Image point coordinates of mirror B of cubic mirror 1 (mm)

表4 立方鏡1鏡面B的物點坐標值Table 4 Object point coordinates of mirror B of cubic mirror 1 (mm)

根據立方鏡1兩鏡面像點、物點的坐標值，計算兩鏡面的夾角，如表5所示。

表5 立方鏡1鏡面A與鏡面B的夾角Table 5 Angle between mirror A and mirror B of cubic mirror 1 (°)

實驗所用的立方鏡鏡面夾角標稱為90°±3″，使用兩臺徠卡TM6100經緯儀對上述實驗室中的立方鏡1的鏡面A和鏡面B進行自準直測量，兩臺經緯儀進行互瞄，建立轉換矩陣。測得立方鏡1的鏡面A和鏡面B的夾角為90.000 2°。

由以上數據計算出激光跟蹤儀所測得立方鏡1的鏡面A與鏡面B夾角的最大偏差為0.000 6°=2.16″，滿足測量要求，該測量方法可行。

4.2 重復性驗證實

第一步，將激光跟蹤儀放置在通視范圍良好的地點，打開激光跟蹤儀進行預熱，將激光跟蹤儀自帶的環境補償傳感器放置在激光跟蹤儀發射法附近；

第二步，將激光跟蹤儀進行校準，保證測量精度；

第三步，使用激光跟蹤儀對立方鏡1的面A的法線進行測量，記錄像點、物點的坐標值；

第四步，使用激光跟蹤儀對立方鏡1的面B的法線進行測量，記錄像點、物點的坐標值；

第五步，使用激光跟蹤儀對立方鏡2的面C的法線進行測量，記錄像點、物點的坐標值；

第六步，使用激光跟蹤儀對立方鏡2的面D的法線進行測量，記錄像點、物點的坐標值；

第七步，將以上三、四、五、六步重復進行十次；

第八步，利用激光跟蹤儀測得的像點、物點坐標值計算出鏡面法線，建立立方鏡1、2的角度坐標系，確立立方鏡1坐標系與立方鏡2坐標系的旋轉矩陣，如圖6所示。兩立方鏡坐標軸夾角及方差如表6和表7所示。

表6 立方鏡1與立方鏡2坐標軸夾角數據Table 6 Axis angle between cubic mirror 1 and cubic mirror 2 (°)

XYZx0.0008380.0007010.000972y0.0008680.0007470.000891z0.0013000.0008150.000672

由上表方差矩陣可以看出，標定誤差最大為0.001 300°=4.68″，滿足標定精度的技術要求。

激光跟蹤儀所配備的環境氣象測量傳感器，能夠進行自檢補償，不斷地修正環境因素對測量結果造成的影響。為了盡量的避免和減小誤差，激光跟蹤儀進行設備反光鏡現場檢測、ADM現場檢測、中間補償、全補償等。

由于工作環境的限制，兩個立方鏡的4個鏡面很難在激光跟蹤儀的一個站位下均可測得。需要激光跟蹤儀轉站對上一站位無法測得的立方鏡鏡面法線進行測量。激光跟蹤儀轉站過程中一般設立幾個公共點，不同站位的激光跟蹤儀通過測量公共點，標定出不同站位之間的相對位置關系。激光跟蹤儀統一坐標系后繼續對立方鏡鏡面法線進行測量。

5 結束語

(1)基于反射與光學鏡面成像原理，使用激光跟蹤儀測量立方鏡法線，建立了兩個立方鏡坐標系間的轉換矩陣的標定數學模型，并明確了測量方案和測量流程。

(2)通過實驗驗證分析可知，利用API激光跟蹤儀對立方鏡姿態進行測量可以建立精確的立方鏡坐標系，并且標定立方鏡坐標系間的轉換矩陣。測量精度優于5″，滿足立體測繪的使用要求，整體測量方案可行。方法簡潔快速，效率高，大大減少工作強度。

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[3] 肖華杰, 范百興, 西勤等. 基于多標尺聯合標定的經緯儀測量系統精度分析[J]. 北京測繪, 2016(2): 27～31.

[4] 王鳳斌, 梁小峰, 曾森等. 基于公共點轉換原理的綜合精度檢測方法研究[J]. 空間電子技術, 2016,13(4): 91～94.

[5] 楊振, 易旺民, 范百興等. iGPS系統與經緯儀測量系統聯合測量方法研究[J]. 宇航計測技術, 2016(4): 27～31.

[6] 吳國棟. 星敏感器坐標系與自身立方鏡坐標系間轉換矩陣的標定方法[J]. 儀器儀表學報, 2011,32(6): 135～138.

[7] 柏宏武, 冀有志. 立方鏡在航天器天線總裝測量中的應用[J]. 空間電子技術, 2013(2): 58～62.