上海課改30年數學教材改革點滴拾遺（下）

◎ 張福生張福生，上海中小學課程教材改革委員會辦公室原副主任、上海市教育委員會教學研究室原副主任、上海市數學特級教師。

我刊2018年第11期刊登了《上海課改30年數學教材改革點滴拾遺（上）》，該文對數學教材改革中的突破與創新做了概述，本期對其中三個方面，做進一步的說明。

五、“負數”與“方程”進入小學和打破“算術”“代數”分隔的新體系的建立

引入負數和方程，打通算術與代數的分隔，是數學教材在數的系統方面的重大突破。

（一）負數與方程進入小學教材的嘗試，“代數”進入小學

課改以前，小學主要學習“算術”，局限在正數范圍學習整數、小數、分數的計算，到初中一年級才引入負數和字母表示數，學習有理數和代數式，進而學習方程。

一期教材提早在四年級下學期引入負數（負整數）的概念及運算，包括正負數的含義、讀法寫法，數軸和正負數的大小比較，正負數的加減法及加減混合運算，接著引入簡易一元一次方程，包括用字母表示數、等式的意義及其基本性質、方程的意義及解方程。這個階段，簡易方程利用等式性質求解，應用題可以通過列方程來求解。由于有了列方程解應用題，就舍棄了過繁過難的算術應用題，降低了學生解應用題的難度。

具體地說，把對應用題的教學分為三個階段：一是應用題啟蒙，主要是看看講講算算，為學習簡單的文字應用題做準備；二是用算術方法解一二步文字應用題；三是列方程解較復雜的二三步應用題，特別是培養學生會用方程思想解答問題。這樣的處理，較有效地化解了用算術方法解應用題的難點。

楊浦區曾對63所小學的9574名學生進行解應用題能力測試，平均成績達88.8分，高于使用老教材的對照學校平均成績10分以上，而應用題所用的數學時間比使用老教材減少1/3。老師們說，大多數學生喜歡用列方程來解應用題，這是前所未有的。

（二）數與代數新體系的建立和發展

負數和字母表示數、方程引入小學，不僅打破了算術與代數的分隔，而且對整個中小學的數與代數這條線的體系創新，起到了突破性的作用。以九年義務教育的數學教材為例，一期教材在數和數的運算、代數與初等函數這兩條線上，都建立了新的系統。

在數和數的運算方面，采取了逐步演進的方法做細致的處理。一是將低年級整數、小數的學習相對集中，對四則運算的數位作了控制；二是在四年級下學期起引入負數（負整數）的概念及運算，接著引入簡易一元一次方程和列方程解應用題；三是將分數學習分為兩段：三年級只出現等分意義和分數（真分數）的概念，學習同分母分數的加減法，到六年級再完成分數概念學習，出現假分數、帶分數互化及分數運算。六年級把有理數的性質、運算完整化，又增加了統計方法和估算方法等內容。在此基礎上，再由平方根引入無理數，使學生對實數的概念有一個初步的認識。

在代數方面，注意加強數學觀點與數學思想，在六年級起的代數中，在有理數和代數式及其運算中加強了函數的觀點，簡化了式的運算；因式分解強調其意義，重點放在二次三項式的分解，不追求技巧；七年級第一學期引入直角坐標系，較早建立數形結合的觀念，也為八年級起學習函數作好鋪墊。

（三）“二期課改”數學教材的創新發展

二期教材繼續保持了繼承我國傳統數學教學和一期教材的優點，有很多創新發展。

二期教材在“數與運算”“方程與代數”部分，繼續采取了適時引進負數，學習字母表示數進而引進簡易方程，列方程解應用題等做法。在“數與運算”部分，在“自然數的認識與運算”的內容中，在認識分數、小數和學習有關運算后，就學習“正負數的初步認識”和“解決簡單應用題”。在“方程與代數”部分，在“字母表示數”內容中，學習“用字母表示常見數量關系”；在“方程初步認識”內容中，學習“含字母的式子與代入求值”“方程的初步認識”“解方程”和“列方程解簡單實際問題”。這樣步步緊扣，逐步演進，處理得更加順暢，更有利于學生的學習和教師的教學。

六、“三分段”平面幾何的創新體系與解決幾何入門難的努力

（一）一期教材借鑒、創新，設計“三分段”平面幾何教學新體系

《中學數學實驗教材》的“實驗幾何”部分，對解決平面幾何入門難有好處。但《中學數學實驗教材》的平面幾何部分局限于初中階段，設計了“實驗幾何—論證幾何”兩個分段，而一期教材有著九年一貫的優勢，在小學階段也可以有所作為。經過反復論證和實踐，在平面幾何部分，從小學到初中，設計了“直觀幾何—實驗幾何—論證幾何”三個分段的創新體系。

在小學的“直觀幾何”階段，由現實生活中的物體形狀，直觀認識基本的幾何圖形、幾何體的名稱、簡單性質和計算，為初中的“實驗幾何”階段提供一定的認知基礎。在初中六、七年級的“實驗幾何”階段，就利用小學“直觀幾何”階段所得到的圖形認識和簡單性質，進行“運動實驗”，也就是以圖形的平移、旋轉和對稱等運動變換作為手段，進行幾何圖形實驗，得到圖形的性質。這個階段要求說理而不要求推理表達，但已孕含推理要求，得到的結論可作為推理論證階段證明的依據。到八、九年級則進入“論證幾何”階段，從三角形、四邊形的有關證明開始，進入相似形、圓的較為系統的論證。在這三個分段中，“直觀幾何”只是獲得感性認識，“實驗幾何”則是感性認識加上理性操作，最后進入“論證幾何”。這樣“三分段”的設計，比《中學數學實驗教材》的“兩分段”更進了一步，并有所完善和提升。

（二）“實驗幾何”中運動實驗與說理表達的編寫探索

教材編寫組認為，“三分段”平面幾何體系是一個大膽的嘗試，特別是說理論證表達和運動實驗操作都必須把握好一個“度”。在這三個階段中，“論證幾何”是重點，是最終要達成的目標，“實驗幾何”是關鍵，是達到最終目標的跳板和橋梁。因此，“實驗幾何”的處理非常重要，它將影響到“三分段”幾何教材的成效。

我被編寫組安排參與執筆編寫這部分內容。我記得，當時編寫組多次討論和研究解決的相關問題是：①怎樣處理好運動變換這個實驗手段；②怎樣做到“要求說理而不要求推理表達”；③怎樣表述操作中的“說理”，并在課文和例題中示范，在練習和習題中落實。我和幾位編寫幾何部分的老師一次次地進行討論，經常有不同意見的爭論。通過集體的反復研討，形成了編寫教材的基本構架，即通過平移和平行四邊形、旋轉和圓、對稱和等腰三角形來學習變換。對于說理和推理的表達形式，也形成了基本規范。由于有集體的力量支持，教材編寫和實施都比較順利。

（三）二期教材對“三分段”幾何體系的改善和“幾何論證”章節的精心設計

二期教材對平面幾何的處理，保持了“三分段”格局，在具體安排上更好地體現 “ 實驗—猜想—論證 ” 的過程；幾何論證方面進一步降低技巧性難度，著重于學習演繹推理的基本規則和方法。

我在參與二期教材審查過程中，印象最深的是“幾何證明”一章。為做好“實驗幾何”到“論證幾何”的過渡和銜接，在八年級第一學期精心設計了這一章，對邏輯推理的必要性和重要性以及形式邏輯的初步知識、有關推理所必須了解的演繹推理的基本方法和規則作了簡要說明，讓學生認識“為什么要學習論證幾何”和“怎樣進行幾何論證”。教材以較多的例題和一定數量的習題，來梳理、確認和運用在“直觀幾何”與“實驗幾何”階段曾經出現的概念和定理，同時對推理表達的規范格式提供示范。章后安排了閱讀材料“《幾何原本》古今談” ，幫助學生加深認識。我認為這一章的編寫是非常有效和成功的。

七、向量從謹慎嘗試到逐步完善的探索和幾何體系的突破

上海課改的數學教材，從“一期課改”向量進入高中數學的謹慎嘗試，到“二期課改”向量與幾何結合，形成較為完善的系統，這是數學教材的最大突破之一。這也是很多數學家和數學教育家多年來的期望。我認為，有三個方面工作最具有突破和創新意義。

（一）一期教材引入向量，在高中進行謹慎嘗試與突破性探索

一期教材的編寫過程中，主編陳昌平教授力主引進向量，在具體操作中又極為細致謹慎。主要做法是在解析幾何中突出把幾何問題代數化的坐標法，在此基礎上引進向量基本知識,利用直角坐標系將向量及其運算坐標化，還把空間向量用于“求異面直線所成角的大小 ”。由此適當淡化二次曲線，降低了綜合性要求。這樣安排向量內容所跨出的步子很小，確實是向量進入高中數學的謹慎嘗試，但有利于在教學實踐中取得突破和成功經驗。

我和編寫組很多老師都記得，為了引入向量，陳昌平先生做了很多的努力。他把歷年高考試卷中所有的立體幾何題目統統用向量方法解了一遍，感覺很順,才下決心做。編寫組組長鄒一心教授回憶這個探索時說，向量方法的引入之初，因為教師不熟悉，當時意見很大。可是一輪實驗下來，大家就不那么反對了。現在的上海，如果不準用向量方法解立體幾何題目，反倒會意見很大。

（二）二期教材加大步伐，形成初中高中一體的創新體系

二期教材中向量有關內容跨出了更大步伐，做了更多的探索與實踐，為建立初高中一體的以向量改造幾何教學的創新體系，作出了極大努力。把引入向量作為實施中學幾何內容整體改革的一個重要舉措，具體做法是：把向量教學的起點放在初中階段，在初中數學課程中引進平面向量的有關概念以及向量的線性運算。例如，在學習平行四邊形的基礎上引進向量的有關概念以及向量的加減法；在學習相似三角形的基礎上引進實數與向量相乘等，以此延長向量基礎教學的過程，并使得向量內容的教學從初中到高中形成逐步遞進的層次，同時加強數學與物理的協調配合。在高中，進一步充實向量的基礎知識，并通過利用向量研究平面直線方程和兩條直線的位置關系等，加強向量的基本運用，適度改善解析幾何的內容結構。在空間向量的背景下，精簡傳統的立體幾何內容，利用向量來處理關于“空間直線與平面位置關系”的一些證明問題和解決有關度量計算問題。

這個構想既有系統性，也有突破性。編寫組認為，這樣做從幾何內容改革的角度看,它改變了傳統的中學幾何教學體系中按科目展開綜合幾何、解析幾何教學的局面,增強了幾何教學的整體性；從向量的角度看，引進向量基本內容而且讓向量在新體系中充當重要角色,使得幾何研究的方法更加豐富，幾何內容的內在聯系進一步加強。

（三）向量進入初中的提前試驗和實踐檢驗

課程標準研制組、編寫組、審查組對于向量進入中學數學課程特別是進入初中數學的可行性，曾經進行了多次專門研討。

為了探討平面向量進入初中數學課程的可行性，經市教研室領導批準，負責課程標準研制的邱萬作老師領銜了“在初中進行向量教學的實踐研究”的課題，于2000年組建了課題組，并由普陀區蘭田中學、原閘北區塘沽學校、閔行區交通大學附屬實驗學校等共同承擔教學試驗任務。在教學試驗取得初步成效，并通過兩輪專項研究,證實了在初中階段適當安排向量內容的教學具有可行性和有效性后，課程標準研制組才構想了用向量工具進行中學幾何教學內容改革的整體設計，并確定在初中階段引進平面向量及其線性運算。

于是，平面向量得以進入“二期課改”的初中數學課本，并于2007年春季初次開始有關內容的教學，隨后持續在八年級第二學期和九年級第一學期進行。通過對初中數學課本（試用本）中向量內容教學情況的調查，教師普遍感到整個實施過程比較順利，90%以上的學生接受情況較好，并表示有學習興趣。

一個設想從形成到在教材中體現并在實施中得到社會、專家特別是廣大師生的實踐認可，實在是一個艱苦的過程。回顧這個過程，我們不能忘記他們付出的辛勞和努力！