非線性多階分數階微分方程組正解的存在性

代 群, 李輝來, 孫 艷, 高瑞梅

(1. 長春理工大學 理學院, 長春 130022; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

分數階微分方程在物理學、 化學、 工程學等領域應用廣泛[1-4]. 文獻[5-8]應用不動點定理研究了非線性微分方程正解的存在性和唯一性; Alsaedi等[9]研究了如下非線性時間分數階微分方程組解的存在性和爆破解問題：

本文考慮如下非線性多階分數階微分方程組正解的存在性問題：

(1)

其中:

1 預備知識

定義1[3-4]函數y: (0,+∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數階積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)內有定義.

定義2[3-4]具有n階連續導數的函數y: (0,+∞)→的α>0階Caputo分數階導數定義為

定義3[3-4]設K為Banach空間E中的一個閉錐, 在E中偏序≤定義為： 對于x,y∈E, 如果y-x∈K, 有x≤y, 則稱(E,K)為一個偏序Banach空間.

定義4[3-4]對于x,y∈E, 偏序區間〈x,y〉定義為〈x,y〉={z∈E:x≤z≤y}.

引理1[3-4]設(E,K)是一個偏序Banach空間,x0,y0∈K,x0≤y0,F: 〈x0,y0〉→〈x0,y0〉是一個增算子, 且Fx0≥x0,Fy0≤y0. 如果F是一個連續緊算子, 并且K是一個正規錐, 則F在〈x0,y0〉中有一個不動點.

1) ‖Fu‖≤‖u‖,u∈K∩?U1, 且‖Fu‖≥‖u‖,u∈K∩?U2;

2) ‖Fu‖≥‖u‖,u∈K∩?U1, 且‖Fu‖≤‖u‖,u∈K∩?U2.

則F有一個不動點.

設空間X={u(t):u(t)∈C1[0,1]}, 在X中定義范數

‖u‖=max{|u(t)|>:t∈[0,1]}.

令

K={u(t)∈X:u(t)≥0, 0≤t≤1}.

顯然,K是一個正規錐.

2 主要結果

引理3方程組(1)等價于如下積分方程組:

(2)

(3)

從而

同理可得方程(3).

算子F,G:K→K定義為

證明： 只需證明F,G:K→K是全連續算子.

首先, 證明F(M)是有界集. 令

則有

同理, 有

因此,F(M),G(M)是有界集.

其次, 證明算子F是等度連續的. 令u,v∈M, 對任意的0≤t1<δ, 則

同理, 可得

|Gv(t1)-Gv(t2)|>≤W2|t1-t2|>Km-Km-1,

引理5u′<0,v′<0.

證明： 對方程(2)兩邊同時求t的導數, 有

同理, 有v′<0.

則方程組(1)有正解.

證明： 只需證明F,G有不動點即可. 由引理4,F,G是全連續算子. 對于00,q>0, 有

從而Fu2(t)>Fu1(t). 同理可得Gv2(t)>Gv1(t). 因此,F,G是增算子.

由定理中的條件, 可得

?t∈[0,1].

令

則方程組(1)有正解.

證明： 令

對于u,v∈K∩?U2, 有

?t∈[0,1].

因此,

?u∈K∩?U2.

同理, 有‖Gv‖≤‖v‖, ?v∈K∩?U2.

另一方面, 對于u∈K∩?U1, 有

?t∈[0,1].

因此,

?u∈K∩?U1.

3 數值實驗

例1考慮分數階微分方程組：

由引理5,u′<0,v′<0, 有

u(0)≥u(t)≥u(1),v(0)≥v(t)≥v(1),

因此

η1/2v1/5(1)≤u1/2(t)v1/5(t)≤u1/2(0)v1/5(0),η=min{1,u(1)}.

又由定理2知, 該分數階微分方程組存在正解.

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