時間測度鏈上二階Emden-Fowler型動態方程的振動性

楊甲山, 覃桂茳

(梧州學院 信息與電子工程學院, 復雜系統仿真與智能計算實驗室, 廣西 梧州 543002)

0 引 言

考慮時間測度鏈上一類廣泛的具有阻尼項和非線性中立項的二階非線性變時滯Emden-Fowler型動態方程:

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))+P(t)F(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T

(1)

(H2) 0≤B(t)<1,b(t)≥0,P(t)>0;

(H3) 當u≠0時g(u)/u≤η,F(u)/u≥L(這里0<η≤1和L>0均為常數);

(H4)A(t)>0,AΔ(t)≥0且-b/A∈+.

方程(1)的解及其振動性的定義可參見文獻[1]. 本文考慮方程(1)的解x(t)當t→+∞時的性質, 所以假設時間測度鏈 T是無界的： sup T=+∞. 設t0∈T且t0>0, 則[t0,+∞)T=[t0,+∞)∩T是時間測度鏈區間. 本文只關注方程(1)的不最終恒為零的解.

目前, 關于時間測度鏈上動態方程的振動性研究已有很多成果[1-15], 而關于方程(1)特殊情形的振動性研究也已有很多結果[2-15], 如: Grace等[2]和Hassan[3]研究了時間測度鏈上一類擬線性動態方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+q(t)xγ(t)=0

的振動性, 在條件

(2)

下得到了該方程振動的一些判別準則. Erbe等[4]利用時間測度鏈上的理論和Riccati變換技術研究了具阻尼項的二階非線性動態方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)(xΔσ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0

的振動性, 在條件

(3)

成立下得到了該方程的一些振動準則, 推廣并改進了已有的一些結果, 這里

張全信等[5-7]利用時間測度鏈上的理論和Riccati變換技術研究了具阻尼項的二階擬線性動態方程

的振動性, 在條件

(4)

和

(5)

成立時得到了該方程振動的一些充分條件, 推廣并改進了一些已有的結果, 這里

(6)

對二階Euler微分方程

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,

(7)

文獻[1]在條件

(8)

成立的情況下研究了方程(1)的振動性, 獲得了方程(1)振動的若干準則, 推廣并改進了已有的相應結果. 本文考慮當條件(8)不成立, 而條件(4)成立時方程(1)的振動準則, 改進對方程的限制條件(如文獻[5-7]中的限制條件“δ(T)=T”； 文獻[8]中的限制條件“τ=δ,δ嚴格遞增且τ°σ=σ°τ”等), 所得結果推廣并改進了一些已有的結論.

1 方程振動的充分條件

引理1[1]若x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負時, 則

(9)

引入記號:

(10)

當λ>β時, 有

(11)

其中: 常數k∈(0,1);M>0為某常數. 如果

(12)

則方程(1)在[t0,+∞)T上是振動的.

證明: 不失一般性, 設方程(1)在[t0,+∞)T上有一個最終正解x(t)(若x(t)為最終負解時類似可證), 則存在t1∈[t0,+∞)T, 使得當t∈[t1,+∞)T時,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0. 于是, 當t∈[t1,+∞)T時, 有y(t)>0. 由方程(1), 得

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))≤-LP(t)xβ(δ(t))<0,t∈[t1,+∞)T.

(13)

情形1)yΔ(t)>0,t∈[t1,+∞)T. 此時, 與文獻[1]中定理1的證明完全相同. 當λ≤β時, 與式(10)矛盾； 當λ>β時, 與式(11)矛盾.

情形2)yΔ(t)<0,t∈[t1,+∞)T. 令

(14)

(15)

令u→+∞, 則有

(16)

注意到0

(17)

因此, 由式(17)并注意到式(14), 有

-1≤ω(t)θλ(t)≤0.

(18)

因yΔ(t)<0, 于是由式(9), 易得

(19)

當0<λ≤1時, 對式(14)求Δ-微分, 由式(19)的第二個式子、yΔ(t)<0及式(13),(14), 有

(20)

當λ>1時, 由式(19)的第一個式子及yΔ(t)<0, 可得式(20)仍然成立. 于是, 由

θΔ(t)=-[A-1(t)e-b/A(t,t0)]1/λ

及式(16), 有

從而

(21)

(22)

yΔ(s)≤-M1/λ[A-1(s)e-b/A(s,t0)]1/λ,

因此

即

令u→+∞, 得

即yβ-λ(t)≥kθβ-λ(t), 這里k=M(β-λ)/λ>0為常數.

綜上及式(21)和函數π(t)的定義, 有

(23)

此外, 由y(t)/θ(t)單調增加可得

(24)

將式(23),(24)代入式(20), 得

(25)

將式(25)中的t改成s, 兩邊同時乘以θλ(σ(s))后再積分, 并利用時間測度鏈上的分部積分公式, 即

注意到

(26)

將式(18)用于式(26), 有

與式(12)矛盾. 證畢.

(27)

其中函數θ(t)和π(t)如定理1,

則方程(1)在[t0,+∞)T上是振動的.

證明: 不失一般性, 設方程(1)在[t0,+∞)T上有一個最終正解x(t)(若x(t)為最終負解時類似可證), 則存在t1∈[t0,+∞)T, 使得當t∈[t1,+∞)T時,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0. 由定理1的證明知, 只有下列兩種情形：

1) 當t∈[t1,+∞)T時,y(t)>0,yΔ(t)>0, [A(t)φ1(yΔ(t))]Δ<0;

2) 當t∈[t1,+∞)T時,y(t)>0,yΔ(t)<0, [A(t)φ1(yΔ(t))]Δ<0.

情形1)yΔ(t)>0(t∈[t1,+∞)T). 此時, 與文獻[1]中定理1的證明完全相同, 當λ≤β時, 與式(10)矛盾； 當λ>β時, 與式(11)矛盾.

情形2)yΔ(t)<0(t∈[t1,+∞)T). 此時,A(t)φ1(yΔ(t))<0, 由式(17)知,yλ(t)≥A(t)(-yΔ(t))λθλ(t), 即

(28)

引入廣義的Riccati變換:

(29)

則由式(28)知v(t)≥0(t∈[t1,+∞)T). 由式(13),(19),(28),(29)有

(30)

得

(31)

將式(23),(24),(31)代入式(30), 得

(32)

將式(32)中的t改成s, 兩邊同時乘以θλ(σ(s))后再積分, 并注意到引理2, 可得

所以

與式(27)矛盾. 證畢.

注1定理1及定理2均沒有“δ是嚴格遞增的可微函數, 且δ(T)=T”或“τ=δ,δ嚴格遞增且τ°σ=σ°τ”等限制條件.

例1考慮二階Euler微分方程(7), 即

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,t≥1,

其中常數q0>0. 這里A(t)=t2,b(t)=0,B(t)恒為0,P(t)=q0,τ(t)=δ(t)=t,F(u)=u,λ=β=1,t0=1. 顯然滿足條件(H1)～(H4)和式(4). 取φ(t)=1, 由于 T=, 故

所以, 當q0>1/4時, 有

且

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