一類具有無窮點積分邊界條件非線性分數階微分方程解的存在性與多解性

耿鑫彪， 劉 雯

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

分數階微積分及微分方程在分形、 黏彈性力學、 空氣動力學等領域應用廣泛[1-2]. 目前, 非線性泛函分析中的方法和技巧是研究分數階微分方程的有效工具[3-8]. 文獻[9]研究了一類帶有無窮點積分邊界條件的非線性分數階微分方程(FBVP):

(1)

1 引 理

引理1[9]假設y(t)∈C([0,1]), 則邊值問題

(2)

式中

(3)

且

G(t,s)稱為邊值問題(2)的Green函數. 顯然,G(t,s)是一個連續函數.

引理2[9]假設p(0)>0, 則p(s)>0,s∈[0,1]且p(s)是單調不減函數.

引理3[9]函數G(t,s)滿足如下條件:

3)G(t,s)>0, ?t,s∈(0,1).

2 主要結果

Pc?E,Pc={u∈E|u(t)≥0,t∈[0,1]}.

?0

Br={u∈Pc: ‖u‖

本文假設如下條件成立:

(H2)f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)連續,f(t,0)不恒為0.

定義算子A:C[0,1]→C[0,1],

(4)

顯然, 算子A的不動點即為邊值問題(1)的解. 當假設條件(H1),(H2)成立時,A(Pc)?Pc. 應用Arzel-Ascoli定理[10-11]可知,A是一個全連續算子.

定義算子T:C[0,1]→C[0,1],

(5)

顯然,T:Pc→Pc是一個全連續線性算子. 由Krein-Rutmann定理[12], 譜半徑r(T)≠0, 且T有一個正特征函數φ1, 對應于第一特征值λ1(λ1=(r(T))-1). 假設:

(H7) 存在r0>0, 使得

?0

其中τ∈(0,1), 有p(t)不恒為0,t∈[τ,1-τ].

定理1假設條件(H3),(H4)成立, 則FBVP(1)至少有一個正解.

證明: 由(H3), 存在r>0,ε>0, 使得

f(t,u)≥(λ1+ε)u,t∈[0,1],u∈[0,r].

不失一般性, 假設A在 ?Br∩Pc內沒有不動點. 令

u-Au≠μφ1, ?u∈?Br∩Pc,μ≥0.

(6)

否則, 存在u1∈?Br∩Pc且μ1≥0, 使得u1-Au1=μ1φ1, 因此u1≥μ1φ1. 令τ*=sup{τ|u1≥τφ1}.T是正線性算子, 從而

(λ1+ε)T(u1)≥λ1T(u1)≥τ*λ1T(φ1)=τ*φ1.

因此

u1=Au1+μ1φ1≥(λ1+ε)Tu1+μ1φ1≥(τ*+μ1)φ1,

與τ*的定義矛盾. 故式(6)成立, 且

i(A,Br∩Pc,Pc)=0.

(7)

另一方面, 由(H4), 存在ε∈(0,λ1),m>0, 使得

f(t,u)≤(λ1-ε)u+m, ?u≥R1,t∈[0,1].

令

W∶={u∈Pc|u=μAu,μ∈[0,1]},

(8)

則

(9)

i(A,BR∩Pc,Pc)=1.

(10)

由式(7)和式(10), 有

定理2假設(H5),(H6)成立, 則FBVP(1)至少有一個正解.

證明: 證明方法與文獻[8]中的定理3.2類似, 故忽略細節. 由假設條件(H5), 有

i(A,Br∩Pc,Pc)=1.

(11)

由假設條件(H6), 有

i(A,BR∩Pc,Pc)=0.

(12)

定理3假設條件(H3),(H7)成立, 則FBVP(1)至少有一個正解.

證明: 用證明定理1的方法, 由(H1), 有

i(A,Br∩Pc,Pc)=0.

(13)

由(H7), 選擇r0>r, 有

?0

令

u≠μAu, ?u∈?Br0∩Pc,μ∈[0,1].

(14)

否則, 存在u1∈?Br0∩Pc,μ1∈[0,1], 使得u1=μ1Au1. 注意到

因此,

‖u1‖>‖Au1‖≥μ1‖Au1‖,

與u1=μ1Au1矛盾. 從而式(14)成立, 且

i(A,Br0∩Pc,Pc)=1.

(15)

因此,

定理4假設條件(H4),(H8)成立, 則FBVP(1)至少有一個正解.

證明: 由(H4), 有

i(T,BR∩Pc,Pc)=1.

(16)

其中τ∈(0,1), 使得p(t)不恒為0,t∈[τ,1-τ]. 令

(17)

(18)

推論1假設條件(H6),(H7)成立, 則FBVP(1)至少有一個正解.

證明: 若(H6),(H7)成立, 可知

i(A,BR∩Pc,Pc)=0,i(A,Br0∩Pc,Pc)=1.

易得

因此FBVP(1)至少有一個正解.

由推論1可知如下結論成立：

推論2假設條件(H5),(H8)成立, 則FBVP(1)至少有一個正解.

推論3假設條件(H3),(H6),(H7)成立, 則FBVP(1)至少有兩個正解.

推論4假設條件(H4),(H5),(H8)成立, 則FBVP(1)至少有兩個正解.

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