超TD族的自相容源及其守恒律

方 芳, 胡貝貝

(滁州學院 數學與金融學院, 安徽 滁州 239000)

0 引 言

孤立子理論在流體力學、 經典場論、 量子場論、 超導物理和離子物理等領域應用廣泛.目前, 孤立子理論的研究已從Hamilton結構、 自相容源、 可積耦合、 守恒律等不同角度得到許多結果. 在可積系統的研究中, 屠規彰[1]給出了一個可有效建立Hamilton結構的方法; 胡星標[2]在無證明的情形下首次提出了超跡恒等式, 是構造超可積方程的超Hamilton系統的有效工具; 馬文秀[3]給出了文獻[2]的證明, 并應用超跡恒等式構造了超可積方程的超Hamilton結構. 之后, 許多經典的可積系統被推廣為超完全可積系統[4-8].

含自相容源的孤立子方程是在尋找新的可積系統過程中發展起來的. 一般地, 源導致孤立波以變速行進, 使得孤子的運動特征發生較大變化. 帶自相容源的孤立子方程反映了不同孤波的相互作用. 例如, 含自相容源的KP方程描述了在X-Y平面上傳播的長短波之間的相互作用, 含自相容源的KdV方程可描述等離子體重高頻波包與一個低頻波包的相互作用. 因此, 含自相容源可積方程的研究得到廣泛關注[9-11]. 文獻[12-19]通過對一些經典的可積系統進行超化, 構造了帶自相容源的超可積系統及其超Hamilton結構, 并研究了其守恒律.

目前, 關于TD孤子方程族的研究已有許多結果. 斯仁道爾吉等[20]給出了TD族的換位表示, 并討論了換位表示與定態TD方程之間的關系; 李雪梅等[21]借助Darboux交換和分解, 得到了廣義TD族和一些(2+1)維或(1+1)維非線性演化方程的顯式解(包括孤立子解), 特別地, 得到了KP方程的新解; 王四川等[22]用拓展譜問題方法構造了TD族的可積耦合, 并應用二次型恒等式尋求拓展的TD族Hamilton結構. 本文在Loop李超代數的基礎上, 構造超TD族及其超Hamilton結構, 以及帶自相容源的超TD方程族和無窮守恒律.

1 TD方程族和超TD方程族

[23], 考慮如下TD等譜問題：

(1)

其中:λ為譜參數;u1為位勢;φ稱為特征函數. 由屠格式[24], 取

(2)

首先解穩定的零曲率方程

V1,x=(U1,V1),

(3)

將U1,V1代入方程(3), 并比較λ-m(m≥0)的系數, 可得(bj+1+cj+1,aj+1)T的遞推關系式

(4)

遞推算子L有如下形式:

(5)

考慮

(6)

其中Δn為修正項. 將方程(6)代入零曲率方程

(7)

可得TD系統的Hamilton結構

(8)

Hamilton算子J有如下形式:

(9)

令

可得變換后的Lax對：

(10)

可證問題(1)與問題(10)等價, 于是可得譜問題(10)的方程族為式(4), 其中遞推算子L如式(5). 譜問題(10)的Hamilton結構為式(8)， 其中Hamilton算子J如式(9).

基于上述等價譜問題, 本文考慮如下超等譜問題：

(11)

其中:λ為譜參數;q,r為偶變量;α,β為奇變量. Lie超代數為G=span{e1,…,e5},

(e1,e2)=-2e2, (e1,e3)=2e3, (e2,e3)=-e1, (e5,e1)=(e2,e4)=e5, (e3,e4)=(e2,e5)=0,

(e3,e5)=(e1,e4)=e4, (e4,e4)+=-2e3, (e5,e5)+=2e2, (e4,e5)+=(e5,e4)+=e1,

(12)

其中:A,B,C為偶變量;ρ,δ為奇元素. 要得到超TD系統, 首先需解穩定的零曲率方程

Nx=(M,N).

(13)

將M,N代入方程(13), 并比較λ-m(m≥0)的系數, 可得(aj+1,cj+1+bj+1,2δj+1,-2ρj+1)T的遞推關系式

(14)

其中遞推算子L有如下形式:

這里??-1=?-1?=1.

給定一個初始值, 并取所有的積分常數為零, 則所有的aj,bj,cj,ρj,δj(j≥1)可由遞推關系式(14)計算得到. 特別地, 取a0=-1, 則前幾項結果為

下面考慮譜問題(11)的輔助譜問題, 即時間部分

φtn=Mφ,

(15)

其中

(16)

Δn為修正項,τn=2-1q-1(cn+1+bn+1). 將方程(16)代入零曲率方程

(17)

可得超TD系統

(18)

這里

令n=2, 方程(11)可約化為

(19)

其Lax對為M和N(2),

(20)

應用超跡恒等式

(21)

并比較λ-n-2的系數可得

(22)

令n=0, 可得γ=0, 故超TD系統(11)有超Hamilton結構

(23)

2 帶自相容源的超TD方程族

下面構造帶自相容源的超TD系統的可積方程族. 在超TD譜問題

φx=Mφ,φt=Nφ

(24)

中, 令λ=λj, 相應的譜向量φ記為φj, 則可得N個相應線性問題

(25)

其中:Mj=M|λ=λj;Nj=N|λ=λj;j=1,2,…,N. 由于

(26)

其中Φj=(φj1,…,φjN)T,j=1,2,3. 故帶自相容源的超TD可積方程族為

(27)

這里:

當n=2時, 可得帶自相容源的超TD方程

3 超TD方程族的守恒律

下面構造超TD方程族的守恒律. 首先引入變量

(28)

由譜問題(11), 有

Fx=q+(2λ-r)F+βG-qF2-αFG,

(29)

(30)

設F,G存在, 且將F,G按譜參數λ的負冪展開, 可得

(31)

將式(31)代入方程(29),(30), 并比較λ同次冪的系數, 可得

從而fn和gn的遞推公式為

由線性譜問題(24)知,

φ1)t=A+BF+ρG.

所以

(32)

若令

則方程(32)可化為σt=θx. 對于超TD方程(19), 計算易得

(33)

將F,G的展開式(31)與超TD族的方程(19)對應的A,B,ρ代入式(33)可得

令λ的同次冪相等, 可知超TD方程(19)具有無窮多守恒律, 其中σj,θj分別稱為守恒密度和連帶流. 第一對守恒密度和流為

一般的守恒密度和流為

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