有限群穩定模范疇的Bousfield等價

黃 文 林

(中國人民大學 信息學院, 北京 100872)

0 引 言

目前, 關于穩定同倫范疇譜上等價關系[1-3]的研究已成為拓撲學、 代數幾何、 群與代數表示論的共同研究課題[1-7]. Bousfield類是研究張量三角范疇局部化子范疇的重要途徑. 穩定同倫范疇、 交換環的導出范疇、 穩定模范疇都是張量三角范疇. 在張量三角范疇中, 一般地, Bousfield類是局部化子范疇； 反之, 并不是每個局部化子范疇都是一個Bousfield類. 但對于有限群G的穩定模范疇StMod(kG)(其中k是一個域), 其局部化子范疇即為其Bousfield類[4]. StMod(kG)及其滿子范疇Stmod(kG)(全體有限生成kG-模的穩定范疇)在有限群表示論中應用廣泛.

本文考慮Stmod(kG)的Bousfield類, 可視為StMod(kG)的Bousfield類在Stmod(kG)中的部分. 并考慮Bousfield等價關系, 證明了若H是G的強p-嵌入子群, 則(不可分解)kG-模M與N是Bousfield等價的當且僅當其限制模(Green對應)是Bousfield等價的, (不可分解)kH-模U和V是Bousfield等價的當且僅當其誘導模(Green對應)是Bousfield等價的, 以及Green對應誘導了Stmod(kG)的全體Bousfield等價類與Stmod(kH)的全體Bousfield等價類之間的一一對應. 本文假設G是階含有素數因子p的有限群,k是特征為p的數域, 若無特別說明, 所有的模均是有限生成的. 其他記號和術語參見文獻[7-8].

1 Stmod(kG)的Bousfield類

文獻[9]給出了穩定模范疇StMod(kG)及其滿子范疇Stmod(kG)的構造方法, StMod(kG)和Stmod(kG)都是緊生成的三角范疇. 對于任意的kG-模V和W(不一定是有限生成的), 以及任意的g∈G,v∈V,w∈W, 按G-作用：g(v?kw)∶=gv?kgw,k-張量積V?W做成一個kG-模, 稱為V和W的張量模. 在該張量積下, (StMod(kG),?,k)是一個張量三角范疇[7], 而(Stmod(kG),?,k)是其張量三角子范疇. 顯然, 可得以下結論:

引理1設M是kG-模, 則在穩定模范疇Stmod(kG)中,M=0當且僅當M是投射kG-模.

定義1[6]設M是(有限生成的)kG-模, 在Stmod(kG)中, 記〈M〉∶={(有限生成的)kG-模X|M?X=0}, 并稱〈M〉為有限群G的穩定模范疇Stmod(kG)的Bousfield類.

注1由引理1可知, 〈M〉={X|X是(有限生成的)kG-模,M?X是(有限生成的)投射kG-模}.

注2StMod(kG)的Bousfield類可類似定義[6], Stmod(kG)的Bousfield類是StMod(kG)的Bousfield類與Stmod(kG)的交.

注3對于任意kG-模M, Stmod(kG)的Bousfield類〈M〉是張量三角范疇Stmod(kG)張量閉的三角子范疇.

顯然, 可得以下結果.

引理2設M是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 下列結論成立:

1) 〈0〉=Stmod(kG)；

2) 〈k〉={X|X是投射kG-模}；

3) 〈k〉?〈M〉?〈0〉.

引理3設M和N是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 下列結論成立:

1) 〈M⊕N〉=〈M〉∩〈N〉；

2) 〈M?N〉?〈M〉∪〈N〉.

性質1設M是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 下列結論成立:

1) 〈M*〉=〈M〉；

2) 〈Ω(M)〉=〈M〉.

證明： 1) 因為M是有限生成的, 所以M|M?M*?M. 由引理3知, 〈M*〉?〈M?M*?M〉?〈M〉, 即〈M*〉?〈M〉. 又因為文獻[8]中性質8.5.1給出M?(M*)*, 并且在張量三角范疇Stmod(kG)中, -?X是正合函子, 所以M?X與(M*)*?X在Stmod(kG)中同構, 表明〈M〉=〈(M*)*〉. 綜上可得, 〈M*〉=〈M〉.

2) 一方面, 對于任意的X∈〈M〉,M?X是投射kG-模, 結合文獻[8]中性質11.7.2知,Ω(M)?X=Ω(M?X)⊕S=S, 這里S是一個投射kG-模, 因此X∈〈Ω(M)〉, 〈M〉?〈Ω(M)〉. 另一方面, 設Y∈〈Ω(M)〉, 則Ω(M)?Y是投射kG-模, 再結合文獻[8]中性質11.7.2知,Ω(M)?Y=Ω(M?Y)⊕T, 這里T是一個投射kG-模, 表明Ω(M?Y)=0, 從而M?Y是投射kG-模,Y∈〈M〉, 〈Ω(M)〉?〈M〉. 證畢.

性質1表明,kG-模M的對偶M*和Heller變換Ω(M)的Bousfield類與M的Bousfield類相同.

引理4設M是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 〈M?M〉=〈M〉.

證明： 由文獻[5]中例6.10和文獻[4]中例2.14知, 結論成立. 此外, 由性質1知, 一方面, 〈M*〉=〈M〉, 則〈M?M*〉=〈M?M〉; 另一方面, 〈M?M*〉?〈M?M*?M〉?〈M〉. 綜上可得, 〈M?M〉=〈M〉.

2 Stmod(kG)的Bousfield等價

定義2[6]對于(有限生成的)kG-模M和N, 若在Stmod(kG)中, 〈M〉=〈N〉, 則稱M與N是Bousfield等價的, 記為M～N.M所在的Bousfield等價類記為《M》, 穩定模范疇Stmod(kG)的全體Bousfield等價類記為(kG).

引理5設M和N是kG-模, 則下列結論成立:

1) 若M與N在Stmod(kG)中同構, 則M～N；

2) 若M?N, 則M～N.

證明： 1) 對于任意kG-模X, 在Stmod(kG)中, -?X是正合函子, 所以在Stmod(kG)中M?X與N?X同構, 表明X∈〈M〉當且僅當X∈〈N〉, 即〈M〉=〈N〉,M～N.

2) 若M?N, 則M與N在Stmod(kG)中也同構, 由1)可知2)成立.

注4引理5表明, Bousfield等價不僅是kG-模上的等價關系, 還是kG-模同構關系的弱化.

可裂跡kG-模在有限群的模上幾乎可裂序列中應用廣泛.

引理6設M是kG-模, 則下列結論成立:

1)M～0當且僅當M是投射kG-模；

2) 進一步, 若M是可裂跡kG-模, 則M～k.

證明： 1) 若M是投射kG-模, 由引理1知, 〈M〉=〈0〉=Stmod(kG)； 反之, 若M～0, 則k∈〈M〉, 表明M是投射kG-模.

2) 若M是可裂跡kG-模, 則M*?M?End(M)=k⊕U, 這里U是一個kG-模. 此時, 對任意的X∈〈M〉,M?X是投射kG-模, 因此,M*?M?X?X⊕(X?U)也是投射kG-模, 從而X也是投射kG-模. 結合引理2知, 〈M〉={X|X是投射kG-模}=〈k〉,M～k.

引理7設M,N,U,V是kG-模. 若M～N,U～V, 則下列結論成立:

1)M⊕U～N⊕V；

2)M?U～N?V.

證明： 1) 由引理3知,

〈M⊕U〉=〈M〉∩〈U〉=〈N〉∩〈V〉=〈N⊕V〉,

所以M⊕U～N⊕V.

2) 設X∈〈M?U〉, 則M?U?X是投射kG-模, 從而U?X∈〈M〉=〈N〉, 因此N?U?X是投射kG-模, 即U?N?X是投射kG-模. 類似地, 因為U～V, 所以V?N?X也是投射kG-模,X∈〈V?N〉, 可得〈M?U〉?〈V?N〉. 類似可得〈V?N〉?〈M?U〉, 表明M?U～N?V.

性質3設X,M,N是kG-模, 則下列結論成立:

1)X～X?X；

2) 進一步, 若M～N, 則X?M～X?N；

3)X?M～X?X?M.

證明： 1) 由引理4知1)成立.

2) 由引理7知2)成立.

3) 由1)和2)知3)成立.

性質4設M和N是kG-模. 若X是可裂跡kG-模, 則下列結論成立:

1)M～X?M；

2)M～N當且僅當X?M～X?N.

證明： 1) 由引理6和性質3知, 1)成立.

2) 由1)知2)成立.

定義4[11]設V是kG-模, 若k-內同態(k-自同態)模End(V)可以分解為平凡kG-模和投射kG-模的直和, 則稱V是內平凡kG-模.

注5定義4中k-內同態模End(V)的G-模作用為：g·f=g-1fg,g∈G,f∈End(V). 內平凡kG-模在有限群的Dade群結構研究中應用廣泛.

推論1設M和N是kG-模,X是內平凡kG-模, 則M～X?M, 并且M～N當且僅當X?M～X?N.

證明： 設X=V⊕S, 這里V是X的非投射直因子,S是X的投射直因子, 則V是可裂跡kG-模. 進一步, 結合性質4、 性質3和引理6知,M～V?M～X?M, 并且M～N當且僅當X?M～X?N.

推論2設M和N是kG-模,X是平凡西羅限制kG-模, 則M～X?M, 并且M～N當且僅當X?M～X?N.

證明： 可證平凡西羅限制kG-模X是內平凡kG-模, 從而由推論1知結論成立.

性質5設M和N是kG-模, 則下列結論成立:

1)M～M*；

2)M～N當且僅當M*～N*.

證明： 1) 由性質1知1)成立.

2) 由1)知2)成立.

性質6設M和N是kG-模, 則下列結論成立:

1)Ω(M)～M；

2)M～N當且僅當Ω(M)～Ω(N).

證明： 1) 由性質1知1)成立.

2) 由1)知2)成立.

定理1(Green對應定理)[8]設G≥H≥NG(P), 這里P是群G的p-子群. 若U和V分別是不可分解kH-模和不可分解kG-模, 并且P是它們的頂, 則下列結論成立:

2) 對于g(f(V))?V和f(g(U))?U,f和g建立了頂為P的不可分解kG-模同構類及頂為P的不可分解kH-模同構類之間的一一對應(Green對應).

注6f和g保持頂為P的不可分解模的直和.f和g的直和擴充仍分別記為f和g.

定義6[12]設G>H, 若p||H|>, 但對每個t∈GH, 均有p?|H∩Ht|>, 則稱H是G的強p-嵌入子群.

注7強p-嵌入子群在有限單群分類中應用廣泛. 強p-嵌入子群H包含G的某個Sylowp-子群P的任意子群Q的正規化子NG(Q).

定理2設G≥H,M和N是kG-模, 則下列結論成立:

類似可證〈N〉?〈M〉, 所以M～N.

推論3設M和N是不可分解kG-模. 若H是G的強p-嵌入子群, 則M～N當且僅當其Green對應是Bousfield等價的.

定理3設G≥H,M和N是kH-模, 則下列結論成立:

這里S和T是投射kH-模, 再結合引理6和引理7知,M～N.

推論4設M和N是不可分解kH-模. 若H是G的強p-嵌入子群, 則M～N當且僅當其Green對應是Bousfield等價的.

定理4設H是G的強p-嵌入子群, 則Green對應誘導出Stmod(kG)的全體Bousfield等價類(kG)與Stmod(kH)的全體Bousfield等價類(kH)之間的一一對應, 并且

(1)

(2)

F：(kG)→(kH), 《M》《f(M)》,M是不可分解kG-模；

G：(kH)→(kG), 《N》《g(N)》,N是不可分解kH-模.

首先, 由推論3和推論4知,F和G定義合理.

其次, 在H是G的強p-嵌入子群情形, 可設H包含任意不可分解kG-模(kH-模)的頂的正規化子. 由注6知, 此時Green對應保持任意不可分解kG-模(kH-模)的直和, 再由引理5和引理7知, 上述定義的映射F和G可以擴展到任意kG-模M和任意kH-模N上, 其擴展仍記為F和G.

再次, 由定理1知, 在不可分解kG-模(kH-模)上,GF=1,FG=1, 即F和G均為(kG)與(kH)之間的一一對應, 擴展后這兩個等式也成立, 因此F和G的擴展也是(kG)與(kH)之間的一一對應.

最后, 對于任意不可分解kG-模M和不可分解kH-模N, 由推論3和推論4的證明知,

(3)

則在H是G的強p-嵌入子群情形, 由定理1和引理7知, 式(3)對于任意kG-模M和kH-模N也成立. 表明

(kH)=F((kG)

即式(1)成立. 類似可得式(2). 證畢.

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