函數(shù)P(σ,τ)-集合及其特征

于秀清, 徐鳳生, 冀 娜

(1. 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 德州 253023； 2. 北京交通大學(xué)威海校區(qū), 山東 威海 264401;3. 山東財經(jīng)大學(xué) MBA學(xué)院, 濟南 250014)

0 引 言

約定1有限函數(shù)論域U(x)與函數(shù)集合S(x)分別簡記為U,S,

S={s(x)i|i=1,2,…,q}?U,

1 函數(shù)P(σ,τ)-集合

定義1[7]設(shè)函數(shù)集合S={s1,s2,…,sq}?U,α={α1,α2,…,αk}?V是S的屬性集合.

如果αF滿足

|βi∈V,βi∈α,f∈F},

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

則稱A(SF)是函數(shù)外P-集合SF的副集, 簡稱A(SF)是函數(shù)外副集, 且

A(SF)={ui|ui∈U,uiS, 0<χf(ui)<1,f∈F};

(6)

稱Aτ(SF)是函數(shù)外P-集合SF的τ-副集, 簡稱Aτ(SF)是函數(shù)外τ-副集, 且

Aτ(SF)={ui|ui∈U,uiS,τ≤χf(ui)<1,f∈F};

(7)

稱SF(τ)是S生成的函數(shù)外P(τ)-集合, 且

SF(τ)=SF∪Aτ(SF).

(8)

(9)

由約定1可知： 式(2)的等價表示為

(10)

式(6)的等價表示為

即函數(shù)外副集A(SF)是由所有被部分遷入S的函數(shù)組成的集合； 式(7)為uiS遷入S的部分設(shè)定了一個閾值τ(uiS被遷入S的部分越大, 特征函數(shù)值χf(ui)越大), 即Aτ(SF)是由遷移函數(shù)特征值χf(ui)在(τ,1)內(nèi)函數(shù)構(gòu)成的集合, 式(8)可寫成

(11)

綜上可得：

3) 對?τ∈(0,1), 有Aτ(SF)?A(SF)與S?SF?SF(τ)成立；

(12)

(13)

定理2的證明與定理1類似, 故略.

推論1設(shè)A(SF)是函數(shù)外P-集合SF的副集,SF(τ)是函數(shù)外P(τ)-集合, 則有

(14)

2 函數(shù)P(σ,τ)-集合的動態(tài)特征

定義5若SF(τ)是函數(shù)集合S生成的函數(shù)外P(τ)-集合, 則實數(shù)λ(τ)即為SF(τ)相對于S的外包度, 簡稱SF(τ)的τ-外包度, 且

λ(τ)=card(SF(τ))/card(S).

定義6由κ(σ)與λ(τ)構(gòu)成的實數(shù)對稱為函數(shù)P(σ,τ)-集合相對于函數(shù)集合S的包度, 簡稱(σ,τ)-包度, 記為(κ(σ),λ(τ)).

命題2對?τ∈(0,1),有λ(τ)∈[1,card(U)/card(S)]; 且當(dāng)F=?時,λ(τ)=1； 當(dāng)SF(τ)=U時,λ(τ)最大,λ(τ)=card(U)/card(S).

(15)

證明： 由定義2與定義3直接可得.

推論6在定理4的條件下, 有

(κ1(σ),λ1(τ))(κ2(σ),λ2(τ)),

(16)

其中(κ1(σ),λ1(τ))(κ2(σ),λ2(τ))表示κ1(σ)≥κ2(σ)與λ1(τ)≤λ2(τ)同時成立.

(17)

λn(τ)≤λn-1(τ)≤…≤λ2(τ)≤λ1(τ),

(18)

2) (κ1(σ),λ1(τ))(κ2(σ),λ2(τ))…(κn(σ),λn(τ)).

2) (κ(σ1),λ(τ1))(κ(σ2),λ(τ2)).

由結(jié)論1)知

成立, 再根據(jù)定義4和定義5可知結(jié)論2)成立.

推論9設(shè)SF(τi)(i=1,2,…,n)是函數(shù)外P(τ)-集合, 如果0<τ1<τ2<…<τn<1, 則:

1)SF(τn)?SF(τn-1)?…?SF(τ1);

2)λ(τn)≤λ(τn-1)≤…≤λ(τ1).

2) (κ(σ1),λ(τ1))(κ(σ2),λ(τ2))…(κ(σn),λ(τn)).

3 函數(shù)P(σ,τ)-集合的辨識特征

這里I表示指標(biāo)集合.

證明: 由推論10可直接得出.

(19)

定理8設(shè)SF(τ1),SF(τ2)是函數(shù)內(nèi)P(τ)-集合, 若0<τ1<τ2<1, 且UNI(SF(τ1),SF(τ2)), 則對?τ*∈[τ1,τ2], 都有UNI(SF(τ1),SF(τ*),SF(τ2)).

證明: 與定理7的證明類似, 故略.

(20)

(21)

或者

(22)

成立. 如果令σ1<σ*

定理10設(shè)SF(τ1),SF(τ2)是函數(shù)內(nèi)P(τ)-集合, 若IDE(SF(τ1),SF(τ2)), 則在τ1與τ2之間至少存在一點τ*, 使得

UNI(SF(τ1),SF(τ*)), IDE(SF(τ*),SF(τ2)),

(23)

或者

IDE(SF(τ1),SF(τ*)), UNI(SF(τ*),SF(τ2)).

(24)

證明: 與定理9的證明類似, 故略.

則在σ1與σ2之間至少存在一點σ*, 在τ1與τ2之間至少存在一點τ*, 使得

(25)

或者

(26)

(27)

證明： 與定理11的證明類似, 故略.

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