有界導出范疇的描述

曹 苗, 楊曉燕

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

Abel范疇上對象的有界導出范疇是一類重要的三角范疇. 設A是一個有足夠投射對象的Abel范疇, 文獻[1]給出了A上對象的有界導出范疇Db(A )可描述為某個關于投射對象的同倫范疇, 證明了三角等價

Db(A )?K-,b(P ),

(1)

其中： P為A的所有投射對象做成的全子范疇；K-,b(P )表示P上有有限多非零上同調的上有界復形的同倫范疇. 文獻[2]介紹了有限生成模的Gorenstein維數(簡稱G-維數). G-維數為0的模可視為交換Noether環上有限生成投射模和交換Gorenstein局部環上極大Cohen-Macaulay模的共同推廣. 文獻[3]將G-維數為0的模(無論是否有限生成)稱為Gorenstein投射模, 并對偶地定義了Gorenstein內射模. Gorenstein同調代數用Gorenstein投射(或Gorenstein內射)模代替了通常的投射(或內射)模. 文獻[4]提出了一個關于研究Gorenstein同調代數的假設: 經典同調代數的每個結果在Gorenstein同調代數中都有相應的結果; 文獻[5]借助關于Abel范疇A上Gorenstein投射對象的同倫范疇的某個商三角范疇, 將式(1)推廣到Gorenstein同調代數的框架下, 即當Gorenstein投射對象所做成的子范疇GP是A的預覆蓋類時, 證明了三角等價

Db(A )?K-,gpb(GP )/Kb,ac(GP ),

(2)

這里Kb,ac(GP )為GP上的有界無環復形的同倫范疇,K-,gpb(GP )表示GP上滿足存在整數N, 對任意的n≤N與E∈GP, 使得HnHomA(E,G)=0的上有界復形的同倫范疇.

本文將式(1)與式(2)推廣到更一般的情形, 證明有界導出范疇Db(A )可被描述為A某個預覆蓋類X 對象的同倫范疇的三角商范疇.

1 預備知識

令A表示一個有足夠投射對象的Abel范疇. 記P =P (A )為A的所有投射對象做成的全子范疇. 三角范疇C的三角子范疇D是全子范疇, 且關于同構封閉. 對三角范疇間的三角函子F: A→B, 記ImF為由F(X)的同構對象組成的B的全子范疇, 其中X∈A. 如果F是滿的, 則ImF是三角子范疇.

1.1 預覆蓋類

設C是加法范疇A的全子范疇,X∈X .X的一個C-預覆蓋是指一個態射f:C→X, 其中C∈C, 使得對任意的C′∈C, 映射HomA(C′,f): HomA(C′,C)→HomA(C′,X)均為滿射. 如果A中的每個對象X都有一個C-預覆蓋, 則稱C是A的一個預覆蓋類.

1.2 復形

本文簡略地將一個由A中對象構成的復形

表示為X. 定義復形X中的第n個同調對象為Hn(X)=Kerdn/Imdn-1. 如果對所有的n∈,Hn(X)=0, 則稱復形X為零調(或正合)的. 如果只存在有限多個n, 使得Xn≠0, 則稱復形X為有界的; 如果當n充分大時,Xn=0, 則稱X為上有界的. 類似地, 可定義下有界復形.

設f:X→Y是復形同態, 則f誘導出一簇同態Hi(f):Hi(X)→Hi(Y). 如果對任意i∈,Hi(f)是同構, 則稱f是擬同構. 由復形同態f:X→Y可構造一個新的復形Cone(f), 稱為f的映射錐, 其第i層次的對象定義為Cone(f)i=Yi⊕Xi-1, 邊緣算子定義為復形同態f:X→Y是擬同構當且僅當其映射錐Cone(f)是零調復形.

為方便, 下面列出本文用到的一些范疇:Kb(A )表示A上有界復形的同倫范疇;Kb,ac(A )表示A上有界正合復形的同倫范疇;K-(A )表示A上上有界復形的同倫范疇;K-,ac(A )表示A上上有界正合復形的同倫范疇;Db(A )表示A上有界復形的導出范疇, 即Verdier商Kb(A )/Kb,ac(A );D-(A )表示A上上有界復形的導出范疇, 即Verdier商K-(A )/K-,ac(A );Db(R)表示R-模范疇的有界導出范疇.

2 主要結果

令

K-,X b(X )={G∈K-(X )|存在整數N, 使得HnHomA(E,G)=0, ?n≤N, ?E∈X }.

易見,K-,X b(X )是K-(X )的三角子范疇, 對每個X∈K-,X b(X ), 當n充分小時, 有Hn(X)=0. 顯然Kb,ac(X )是Kb(X)的三角子范疇,Kb,ac(X )是K-,X b(X )的三角子范疇. 從而有Verdier商K-,X b(X )/Kb,ac(X )和Kb(X )/Kb,ac(X ).

引理1設X是A的子范疇, 使得X關于滿同態的核與直和項封閉. 若(X,d)是K-,X b(X )中的正合復形, 則X∈Kb,ac(X ).

證明: 因為子范疇X關于滿同態的核封閉, 且X是正合的上有界復形, 所以對任意i∈, Imdi∈X. 另一方面, 由于X∈K-,X b(X ), 從而存在整數N, 使得對任意n≤N與E∈X,HnHomA(E,X)=0. 特別地, 對任意滿足n≤N的整數n, 有HnHomA(Imdn,X)=0. 即典范滿態射是可裂的. 從而X同倫等價于復形X′∈Kb,ac(X ), 這里

證畢.

引理2設X是A的子范疇. 假設P ?X且X是A的一個預覆蓋類, 使得X關于滿同態的核及直和項封閉. 若(P,d)∈K-,b(P ), 則:

1) 存在擬同構g:P→G, 其中G∈K-,X b(X );

2) 擬同構g具有如下性質: 若還有鏈映射f:P→G′, 其中G′∈K-,X b(X ), 則f可通過g分解, 即存在鏈映射h:G→G′, 使得在同倫范疇中有f=hg.

證明: 1) 因為P是同調有界復形, 不妨設Hn(P)=0, ?n≤N. 取KerdN滿的X 預覆蓋GN-1→KerdN. 根據文獻[6], 反復取滿的X預覆蓋, 有交換圖:

從而有正合列

…→GN-2→GN-1→KerdN→0.

將其與序列

0→KerdN→PN→PN+1→…

拼在一起可得復形

G∶=…→GN-2→GN-1→PN→PN+1→….

由X 預覆蓋的定義知, 對任意n≤N及E∈X,HnHomA(E,G)=0, 所以G∈K-,X b(X ). 分別取Y=PN-1,PN-2,…, 由Gn(n

因為對任意的n≤N,Hn(P)=0=Hn(G)=0, 所以g是擬同構.

2) 取正整數N, 滿足對任意n≤N及Y∈X,

Hn(HomA(Y,G′))=0=Hn(P).

由1)用HomA(GN-1,-), HomA(GN-2,-),…作用到G′上有鏈映射h:

另一方面, 有鏈映射g:

若l≥N, 則fl-hlgl=0. 若l=N-1, 則由HN-1(G′)=0可知,fN-1-hN-1gN-1通過G′N-2→G′N-1分解. 歸納可見, 鏈映射f-gh是零倫的:

從而在同倫范疇中有f=hg. 證畢.

引理3[7]將非零對象變為非零對象的滿三角函子是忠實的.

定理1設A是Abel范疇. 若X是A包含所有投射對象的一個預覆蓋類, 且X關于滿同態的核及直和項封閉, 則有三角等價

Db(A )?K-,X b(X )/Kb,ac(X ).

Q:K-(A )→D-(A )=K-(A )/K-,ac(A )

的合成. 由于K-,X b(X )中的復形只有有限多個非零的上同調群, 所以Imρ包含在Db(A )中. 因為ρ(Kb,ac(X ))=0, 所以ρ誘導出三角函子

由引理2中1)知,

?K-,b(P ),

設G1,G2∈K-,X b(X ),

這里s:X?G1是擬同構且X∈K-(A ), 而α:X?G2是K-(A )中的態射, 則存在擬同構t:P→X, 使得P∈K-(P ). 因為s和t是擬同構, 且G1∈K-,X b(X ), 所以P∈K-,b(P ). 故存在交換圖:

由引理2中2)得交換圖：

其中G∈K-,X b(X ),g:P→G是擬同構. 而l也是擬同構, 故映射錐Cone(l)是零調復形. 因為K-,X b(X )是K-(A )的三角子范疇, 所以Cone(l)∈K-,X b(X ). 由引理1得Cone(l)∈Kb,ac(X ). 從而證明了

3 應 用

下面給出兩個應用, 證明模范疇的有界導出范疇可用Gorenstein平坦模和余撓對描述. 假設R是有單位元的結合環,R-Mod表示左R-模范疇.

3.1 Gorenstein平坦模

如果存在一個完全平坦分解

F=…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M?Im(F0→F0), 則稱一個左R-模M是Gorenstein平坦的[8], 用GF表示所有Gorenstein平坦左R-模的類.

如果Gorenstein平坦R-模類關于擴張封閉, 則稱一個環是GF-封閉環[9], 即如果0→X→Y→Z→0是R模的短正合列, 其中X和Z都是Gorenstein平坦R-模, 則Y也是Gorenstein平坦的. 易見, GF包含了所有的投射模. 其次, 當R是GF-封閉環時, GF關于滿同態的核及直和項封閉. 最后由文獻[10]知, 任意的環上GF是一個預覆蓋類. 因此由定理1可得以下推論:

推論1設R是GF-封閉環, 則存在三角等價

Db(R)?K-,GF b(GF )/Kb,ac(GF ).

3.2 完備遺傳的余撓對

根據文獻[11], 如果A=⊥B, B=A⊥, 其中：

⊥B={B∈R-Mod|Ext1(B,B′)=0, ?B′∈B}；

A⊥={A∈R-Mod|Ext1(A,A′)=0, ?A′∈A }.

則R-模中的對子(A,B)稱為余撓對. 如果任意的左R-模N有短正合列0→B→A→N→0與0→N→B′→A′→0, 其中A,A′∈A,B,B′∈B, 則稱一個余撓對(A,B)為完備的. 如果A關于滿同態的核封閉, B關于單同態的余核封閉, 則稱一個余撓對(A,B)為遺傳的.

設(A,B)是R-模中完備遺傳的余撓對. 顯然, A包含了所有投射模類, 且A關于滿同態的核封閉. 由于(A,B)是完備的, 所以A是一個預覆蓋類. 從而由定理1可得以下推論：

推論2設(A,B)是完備遺傳的余撓對, 則存在三角等價

Db(R)?K-,A b(A )/Kb,ac(A ).

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