變指標分數次Hardy算子的高階交換子

于云鳳, 趙 凱

(青島大學 數學與統計學院, 山東 青島 266071)

變指數函數空間在流體力學和具有非標準增長條件的微分方程等領域應用廣泛. 自Kov等[1]提出關于變指數Lebesgue空間和Sobelev空間后, 變指數函數空間得到廣泛關注[2-4]. 目前, 調和分析中許多重要的算子在變指數函數空間中的有界性已得到證明. 例如： 文獻[5-6]分別證明了分數次積分算子和分數次極大算子在變指數Lebesgue空間上的有界性; 陸善鎮等[7]引入了經典的Herz-Morrey空間, 它是Lebesgue空間的推廣, 也是Herz空間的延伸, 受變指數函數空間的影響; Izuki[8]引入了變指數Herz-Morrey空間, 研究了向量值次線性算子在其上的有界性, 并指出變指數Herz空間是變指數Herz-Morrey空間的特例; 此外, 文獻[9-10]證明了變指數Herz空間上一些算子的有界性； 文獻[11-13]研究了經典Herz-Morrey空間以及變指數Herz-Morrey空間上一些經典算子及其交換子的有界性. 另一方面, 自Hardy[14]證明了Hardy積分不等式后, 關于Hardy積分不等式和Hardy算子的研究已有很多結果[15-16]. 張璞等[17]研究了分數次Hardy算子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性; 程星星等[18]得到了變指標分數次Hardy算子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性.

由于分數次Hardy算子和分數次積分算子有許多共同特征, 因此, 研究變指標分數次Hardy算子與BMO函數生成的高階交換子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性有一定的理論意義. 本文主要研究變指標分數次Hardy算子與BMO函數生成的高階交換子在變指數Herz-Morrey空間上的有界性.

1 預備知識

為方便, 首先給出變指數函數空間的概念.

定義1[1]設q(·):E→[1,∞)是可測函數, 變指數Lebesgue空間Lq(·)(E)定義為

?x,y∈n;

?x∈n;

?x∈n,

定義3[18]設f是n上的局部可積函數, 令β(x)是n上的可測函數, 滿足0<β(x)

定義4設b∈BMO(n),β(x)如定義3.m∈, 變指標的n維分數次Hardy算子與b生成的高階交換子定義為

下面給出變指數Herz-Morrey空間的定義. ?k∈, 令Bk={x∈n: |x|>≤2k},Ak=BkBk-1, 用χk=χAk表示Ak上的特征函數.

定義5[8]設α∈, 0≤λ<∞, 0

其中

引理2[10]若q(·)∈B(n),m∈,i,j∈且i

(1)

‖χR‖Lp(·)(n)～～,

引理4[18]令1<β-≤β(x)≤β+<∞,x∈B(0,r)B(0,r/2), 若β(x)在原點是log-H?lder連續的, 則

C-1rβ(0)≤rβ(x)≤Crβ(0), 0

若β(x)在無窮遠處是log-H?lder連續的, 則

從裝飾花紋上看，無論是工筆還是寫意其表現出的題材都具有吉祥道喜之意。在這些紋樣中一般表現的題材有花卉紋、山石、海水紋、魚藻紋、回紋、卷線紋、龍、鳳、麒麟紋、松、竹、梅紋、人物紋等。這些紋路一一反應出當時的社會文化。

C-1rβ∞≤rβ(x)≤Crβ∞,r≥1.

引理5[1]若p(·)∈P (n) , 則對所有的f∈Lp(·)(n),g∈Lp′(·)(n), 有

命題1[3]令q(·)∈P (n) , 若n), 則q(·)∈B(n).

2 主要結果

定理1假設q1(·),q2(·),β(·)∈P (n),q1(x)≤q2(x), 01, 且若則是從n)到n)有界的.

其中當|x|>≥1時,β(*)=β∞, 否則β(*)=β(0).

對Ⅰ取Lq2(·)(n)范數, 由引理2以及命題6有

又

所以

由引理3知,

1) 若0≤j≤k, 由引理3得

2) 若j<0≤k, 則

3) 若j≤k<0, 則

從而由定義5知,

顯然

故

證畢.

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