計算全息顯示技術的研究

徐 乾，孟凡昊，謝 錚，周惠君

(南京大學 物理學院,江蘇 南京 210093)

隨著計算機技術的發展，計算全息得到越來越廣泛的關注. 傳統光學全息術以全息干板作為拍攝媒介，光路比較簡單，也不需要進行大量的計算；但是其缺點在于對拍攝環境要求高，如相干光、防震臺等，這些都是傳統光學全息的限制. 計算機制全息圖(Computer generated hologram， CGH)用計算機取代激光器及其他光路，并用諸如LCD等成圖設備取代傳統全息干板，使生成全息圖的過程更加靈活. 計算全息的優勢在于，不需要實際存在的原物就可以生成全息圖，因而有更廣泛的應用價值. 當然，這種全息技術會受到成圖設備分辨率和計算機運算能力的限制.

本文討論了計算全息圖的幾種計算方法和編碼方式[1]，并在電尋址液晶光閥系統中加以驗證，得到了清晰的全息像. 在三維計算全息的實驗中，選擇了物點散射法和四級迂回相位編碼的方式，得到三維物體的計算全息圖，并成功再現出物體的三維效果.

1 計算全息

計算全息的實現主要分為4個步驟：

1)計算,計算全息平面上的光場分布；

2)抽樣,在滿足抽樣定理的前提下得到全息面復振幅分布的離散值；

3)編碼,通過對光場復振幅分布的編碼，記錄復振幅分布的振幅和相位信息;

4)成圖及再現,將編碼后的全息圖在成圖設備(如LCD)上成圖，并在光路中觀察得到的像.

1.1 傅里葉變換全息

傅里葉變換全息的采樣包括對物面和全息面的抽樣，即空域和頻域的采樣. 設物波函數及其頻譜為

f(x,y)=a(x,y)eiφ(x,y)，

F(ξ,η)=A(ξ,η)eiφ(ξ,η).

(1)

空域和頻域的帶寬分別為Δx,Δy,Δξ,Δη，根據采樣定理采樣間隔為

則空域的采樣數為

J×K=ΔxΔyΔξΔη.

(2)

為了滿足離散傅里葉變換的要求，全息面上的采樣數應與之相等，只要使

即可，此時

M×N=ΔxΔyΔξΔη，

物函數離散化為

f(j,k)=a(j,k)eiφ(j,k)，

F(m,n)=A(m,n)eiφ(m,n).

(3)

做離散傅里葉變換：

(4)

取F(m,n)的幅度A(m,n)，歸一化后即為透過率函數，編碼后得到全息圖，例如CGH 3個字母的傅里葉變換全息圖如圖1(b)所示.

(a)原圖 (b)全息圖圖1 CGH圖案的原圖和傅里葉變換全息圖

1.2 計算像面全息

計算像面全息是直接將物面(平面圖像或者三維圖像在前方某一平面處的光場)作為全息面進行編碼制成全息圖. 本實驗中此方法成像效果較好，因此主要采用計算像面全息法.

1.2.1 物點散射法

如圖2所示，物點散射法(Point source holograms)將物離散化為一個個獨立的點光源，將每個物點的光場的復振幅分布在全息面上進行疊加，得到總的復振幅分布. 對于某個物點P(rl)，在全息面上某點P(r)處產生的光場為

(5)

利用(5)式疊加即可. 實際采用這種方法生成計算全息圖時，當采樣比較密集，計算量很大，需要較長時間完成，但由于完全模擬實際光場的傳播，沒有采取近似處理，所以成像十分清晰(參見3.2的實驗結果).

圖2 物點散射法的原理示意圖

1.2.2 層析法

層析法[2-3]的原理如圖3所示，沿著垂直于光軸方向，對物做分層處理，將每層的菲涅耳衍射復振幅進行疊加，在菲涅耳近似下，每層ui(rl)在全息面的衍射場為

因此，多層物面的衍射場分布為

(6)

可以采用快速傅里葉變換算法計算(6)式，從而提高計算效率. 這種方法適合有層次結構的物體，而對一般三維物體分層較難.

圖3 層析法的原理示意圖

1.2.3 主菲涅耳波帶法

為了改進普通物點散射法的運算速度，除層析法外，也可以采取主菲涅耳波帶法來簡化運算[4-6]. 其基本思想在于，相近深度(光軸方向)的點集可視作同一平面上的點源，而同一平面上的點源的復振幅分布可視作相同的菲涅耳波帶(稱為主菲涅耳波帶)的平移疊加. 主菲涅耳波帶根據相位生成，即：

(7)

圖4(a)為由(7)式計算得出的1個點源的主菲涅耳波帶，圖4(b)為利用主菲涅耳波帶法得到的“十”字形物面的全息圖.

(a)點源 (b)“十”字圖4 點源和“十”字的全息圖

實驗中發現主菲涅耳波帶法計算平面物體時，可大幅減少運算量，但在對三維物體的處理上，對點集的“歸類”(根據深度近似劃分為一個個平面)帶來的誤差不可忽略，在點較多并且分布不規則時更是如此. 鑒于本實驗目的在于研究三維全息成像的效果，不刻意要求即時生成全息圖，所以對運算速度要求[7]不高. 之后的研究主要采用一般的物點散射法，以保證清晰度，并盡可能模擬真實光傳播的情況.

1.3 抽樣與采樣定理

實際的光學圖像連續分布，但是計算機只能處理離散信號，用離散點對應的函數值(抽樣值)來表示連續函數，即f(x)=f(t0+nΔt),如何選取Δt才不會丟失原函數的信息，需要滿足采樣定理.

采樣的過程可以表示為原函數與梳狀函數的卷積：

(8)

其中，

Δx和Δy是采樣間距.

由此得到函數的頻譜為

(9)

可見函數在空間域被抽樣，導致在頻域的周期性重復，當f(x,y)為有限帶寬函數[頻譜在(-Bx,Bx),(-By,By)不為0]時，只需采樣間隔滿足：

即可保證頻譜不出現重疊，從而可以通過濾波還原出原函數的頻譜.

1.4 編碼與再現

1.4.1 四級迂回相位編碼

實驗所用的四級迂回相位編碼是在每個采樣點附近開小單位的矩形孔,如圖5所示.

用開孔面積對振幅進行編碼，對于光波的相位編碼則利用了不規則光柵的衍射效應：假設柵距恒定，第1級衍射都是平面波，則等相位面為垂直于該波的平面，并且設柵距為d，第k級衍射角為θk，則在θk方向上相鄰光線的光程差為

dsinθk=kλ.

(10)

(a) 通光矩形孔示意圖

(b)不規則光柵的衍射效應圖5 四級迂回相位編碼的原理示意圖

如果在某一位置柵距增加了Δ，則θk方向上的衍射光在該位置引起的相位延遲為

(11)

迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級次成正比，而與入射光波長無關，因而可通過局部改變光柵柵距的方法，在某個衍射方向上得到相應的相位調制.

實驗中取k=1，計算出對于每個采樣點(m,n)，若該點的復振幅為Amneiφmn,則小孔的縱向高度為

Lmn=Amn，

(12)

小孔中心偏離采樣點為

(13)

需要在頻譜面上進行濾波，從而濾去其他雜光，只獲得+1級衍射光. 在本實驗中，LCD的像素陣列為1 024×768，綜合考慮了采樣定理和圖像質量后，將每個矩形孔設定為7×7的像素陣列. 每個像素點設置為0和1二值像素值(0為通光)，通過編程設定每個像素陣列中0像素值的排列來確定每個通光矩形孔，排列規則如上所述.

1.4.2 濾波

進行光波再現時，參考光通過編碼后的全息面后，需用傅里葉變換透鏡進行傅里葉變換，得到其頻譜如圖6所示.

圖6 頻譜圖

在迂回相位編碼過程中，由于選擇x方向的+1級衍射光，因此需要制作濾波器，只使x方向的+1級衍射光通過；同時又由于物平面進行了離散采樣，因此需要在+1級衍射點附近再選取低通濾波器，濾去由于采樣帶來的周期性重復的頻域(見采樣部分的分析). 光通過濾波器之后再進行逆傅里葉變換即可還原出之前的物面.

2 二維全息的實驗結果

2.1 實驗裝置

實驗裝置如圖7所示，其中LCD液晶屏[8]的尺寸為0.9英寸(對角線)，分辨率1 024×768，透鏡焦距為300 mm.

圖7 實驗裝置示意圖

2.2 實驗結果與比較

采用計算像面全息法生成全息圖. 圖8為采用物點散射法計算得到的幾種圖案的全息圖及觀察效果.

圖9為采用層析法，取菲涅耳近似，用快速傅里葉變換算法(FFT)加快運算得到的全息圖.

(a) CGH字樣

(b) 卡通鳥

(c) “光”字圖8 物點散射法計算得到的全息圖與成像效果

(a)全息圖 (b)成像效果圖9 層析法得到的“光”的全息圖與成像效果

對比圖8(c)和圖9可見，盡管取菲涅耳近似并做FFT后，運算速度明顯提高，但是成像質量下降. 為了得到更高的清晰度和還原度，本實驗在之后的實驗中選擇了物點散射法進行三維全息的探究.

3 三維計算全息的探究

3.1 不同焦面的成像

基于物點散射法，將圖8(c)所示的“光”字圖片，以平面點陣的形式導入計算機中. 將2個這樣的“光”字距離全息面的距離分別設置為2 m和4 m，2個物實際上構成具有2個面的“三維物體”. 理論上，這樣的物在成像時可以實現逐層再現，即在某個“光”字對應的成像距離上，一個呈清晰的像，另一個呈現模糊的衍射圖案. 實驗中成功觀察到了這一現象. 圖10所示分別為距離LCD 2 m處和4 m處觀察的像，前者右下的“光”更清晰，后者左上的“光”更清晰.

(a)全息圖 (b) 2 m處成像 (c)4 m處成像圖10 前后放置(2 m和4 m)的2個“光”字

這樣的結果表明：采用物點散射法得到復振幅分布，并用四級迂回相位編碼得到三維全息圖，可以使處在不同位置的物點成像在不同焦面上. 但是，由于像的清晰度受到多種因素的影響，并且分辨何處為最清晰的像時帶有一定的主觀性，這樣的三維效果并不是最佳. 另外，本次實驗使用的2個“光”字嚴格意義上不能算作三維物體，不是真正的三維全息成像.

3.2 利用丁達爾效應觀察圓柱體的全息像

為了在空間中體現三維物體，實驗采用煙霧散射的丁達爾效應進行了觀察. 以外壁有一定厚度的圓柱體作為物，設置其軸線平行于光軸，同樣采用物點散射法進行三維全息圖的制作，得到的全息圖如圖11(a)所示. 實驗中將1炷香產生的煙彌散在透明盒中，放置在設定的成像距離處接收還原的物光波前，觀察到的成像效果如圖11(b)所示.

(a)全息圖 (b)成像效果圖11 圓柱體的全息圖和煙霧中的成像效果

波前的每個截面均為圓環狀. 可以觀察到，在為圓柱設定的上底面和下底面之間的區域，光會聚最強，圓環的邊緣最銳利. 由此可見圓柱的立體效果和之前在不同焦面的成像一樣，清晰度的判據仍然帶有主觀性，另外受到激光器光柱的影響，圓柱的上下底面位置不夠明顯. 較之前不同，這次實驗是對真實三維物體的全息成像，并且也是在三維空間中進行觀察，取得了較好的效果.

3.3 立方體的全息像

為了進一步優化三維物體的顯示效果，選取了棱角更加分明的立方體作為物，并相對于光軸傾斜放置. 實驗中設定立方體的邊長為8 mm，距離全息面3 m.

3.3.1 實心立方體的像

將邊長為8 mm的實心立方體抽樣為30×30×30的點陣，導入計算機生成的計算全息圖如圖12(b)所示，呈現出的像如圖12(c)所示.

(a) 三維點陣圖 (b) 全息圖 (c)成像效果 圖12 實心立方體的像

觀察該立方體的像，可清晰辨別六邊形輪廓(傾斜放置導致)，但中間頂點較為模糊，立方體的面表現得也較為離散. 顯然這是由于采樣點數過低導致，由于是實心立方體，總的采樣點數隨邊長的離散間隔的減小呈三次方遞增，導致計算量急劇增加，因此為了計算速度犧牲了一定的清晰度. 這也恰恰是計算全息的缺陷所在，即還原度(采樣密集度)與運算能力的矛盾，后面會繼續討論這一問題.

3.3.2 空心立方體的像

實心立方體除了受到采樣密集度的限制之外，還有一項缺陷在于，三維物體的內部通常不會作為光源發光(除非透明物體). 因此，空心立方體是自然的選擇，一方面符合實際物體的發光情況，另一方面也可以大幅增加采樣密集度. 實驗中立方體的每條邊由7×7×100的長柱狀點陣構成，達到了較高的采樣密集度，點陣的排布如圖13(a)所示，圖13(b)和(c)分別是全息圖和成像效果.

(a) 三維點陣圖 (b) 全息圖 (c)成像效果圖13 空心立方體的像

由圖13可以清晰地看到立方體的三維效果，并且具有很高的清晰度和對比度. 當然由于物體的軸向長度和x，y方向相同，僅為1 cm左右，前后移動光屏，清晰度的變化不太明顯.

3.3.3 系統孔徑對像的影響

實驗中物的大小始終限制在1 cm左右，沒有超出LCD屏的大小，這是由于在本實驗的共軸系統中，LCD屏既是全息圖的成圖設備，又起到了限制孔徑的作用. 下面以空心立方體的實驗為例進行驗證.

將立方體的邊長改為18 mm，30 mm和50 mm，其余步驟不變，得到的全息圖和成像結果如圖14所示. 可見，盡管計算全息圖時計入了所有點產生的復振幅，但是還原波前時，受到共軸系統中LCD孔徑的限制，僅能觀察到像的局部，邊長越大，觀察到的范圍越小.

(a)邊長18 mm，大致觀察到整個立方體

(b)邊長30 mm，觀察到立方體的中部

(c)邊長50 mm，僅觀察到立方體的角落圖14 孔徑對成像的影響

3.3.4 原物軸向距離增大后頻譜的異常

實驗中為了觀察不同距離處立方體棱的成像清晰度，刻意增加了光軸方向立方體的長度，觀察到的像如圖15所示. 在圖15中，立方體與軸向夾角最小的四條棱“消失”了，實際觀察到其出現在了其他的頻譜島中(如左下角是一部分)，也就是說，此時全息面上的頻譜出現了分離，平行于軸向的物與垂直于軸向的物的頻譜間隔很大，具體原因有待進一步探究.

圖15 軸向距離增大后頻譜分離現象

4 討論與總結

本實驗基于實驗室中的XGY-1型電尋址光閥，參考文獻[1]中對計算全息，尤其是計算像面全息和編碼的闡述，自主設計了光路及成像系統，與其他關于計算像面全息的文獻[9-10]中均不相同. 在LCD分辨率較低的情況下，在計算復振幅分布、編碼等方面進行了優化，得到了較高清晰度的實像；相比于這套儀器出廠附帶的集成化全息軟件，更是實現了調控度更高、效果更優的計算全息. 基于本實驗中的LCD透過率不可以做到0～1對比度的情況，選擇四級迂回相位編碼，從而將背景光與物光在頻譜面上進行區分(分別位于0級、1級)，因此有效地去除了雜光的影響，使得圖像較為清晰. 另外，嘗試了3種計算物面復振幅分布的方式，從中發現物點散射法得出的圖像最為清晰，但是計算量也最大. 因此借鑒層析法中的菲涅耳近似與快速傅里葉變換算法，提高了計算效率. 當然，后期進行三維全息的探究時，為保證成像效果和還原度依然采取了物點散射法.

實驗還存在一些問題尚待解決. 例如3.3.3中提到的孔徑的影響，如何擺脫此限制以呈現更大的物體；3.3.4中提到的頻譜異常的產生機理. 在成三維實像時，沒有找到更有效的辦法逼真地再現三維圖像，原因在于成像之后的光線依然會向后傳播，因此只能做到用光屏承接每個截面的二維圖像，通過在不同位置圖像的清晰程度不同來間接表現三維的效果. 此外，在實驗中沒有成功地觀察到虛像也值得繼續探究，理論上虛像會有更好的三維效果.

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