基于模型構(gòu)建與應(yīng)用能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)研究

張賽男，張婷婷，劉艷云，蔣園園

（中國(guó)人民解放軍陸軍工程大學(xué)指揮信息系統(tǒng)學(xué)院，江蘇南京210007）

離散數(shù)學(xué)是信息技術(shù)相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域最重要的基礎(chǔ)課程之一。文章提出結(jié)合探究式教學(xué)模式，在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建能力及利用構(gòu)建的模型解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力。

離散數(shù)學(xué)；教學(xué)目標(biāo)；探究式教學(xué)模式；離散結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建；應(yīng)用能力

0 引言

離散數(shù)學(xué)隸屬自然科學(xué)類別，它的主要研究對(duì)象為離散結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系，該課程集成了研究離散對(duì)象性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)的若干數(shù)學(xué)專題。專題涉及集合論、邏輯學(xué)、數(shù)論、圖論、代數(shù)系統(tǒng)等重要數(shù)學(xué)分支[1]。離散數(shù)學(xué)在信息技術(shù)相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域，特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域，得到了廣泛的應(yīng)用。

離散數(shù)學(xué)每個(gè)模塊概念多、內(nèi)容散、模塊之間知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系少，理論、原理及證明具有極強(qiáng)的理論性和高度的抽象性。在教學(xué)過程中，教師只重視概念、定義和定理的證明以及理論知識(shí)的完整性，會(huì)使學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為這是一門純理論課或者是一門數(shù)學(xué)課，學(xué)生會(huì)感覺學(xué)習(xí)這門課程沒有任何用處。如何讓學(xué)生感覺離散數(shù)學(xué)有用，如何能夠把抽象的定理證明轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問題的手段，這就需要將教學(xué)的重點(diǎn)放在基本的概念、理論和方法的應(yīng)用上。

1 離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)學(xué)科的理論基礎(chǔ)

離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容由計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程實(shí)踐中所需的數(shù)學(xué)理論和方法構(gòu)成，具有重要的應(yīng)用背景，是數(shù)字邏輯電路、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等專業(yè)課程的基礎(chǔ)，這些專業(yè)課程的基本概念、基本方法和基本原理都和離散數(shù)學(xué)密不可分。例如邏輯電路的設(shè)計(jì)需要邏輯學(xué)的支撐；集成電路的布線和網(wǎng)絡(luò)線路的鋪設(shè)過程中如何最優(yōu)最快需要圖論模塊的支撐，密碼學(xué)則需要代數(shù)知識(shí)的支撐，數(shù)據(jù)庫(kù)的管理則需要組合論的支撐，等等。離散數(shù)學(xué)和這些課程有千絲萬縷的聯(lián)系，并且在計(jì)算機(jī)學(xué)科發(fā)展過程中起著重要作用，如圖1所示[2]。

圖1 離散數(shù)學(xué)知識(shí)模塊和各專業(yè)課程之間的關(guān)系

2 離散結(jié)構(gòu)的建模是離散數(shù)學(xué)用于解決計(jì)算機(jī)學(xué)科實(shí)際問題的重要手段

模型是人們?yōu)榱四撤N目的，運(yùn)用一定的手段對(duì)某種事物或過程所作的一種既突出其特點(diǎn)和規(guī)律，而又比較簡(jiǎn)化的表現(xiàn)形式，這種描述可以是定性的，也可以是定量的。模型的建立主要是為了方便問題的解決。

如何讓離散數(shù)學(xué)的理論知識(shí)應(yīng)用于各專業(yè)課程實(shí)際問題的解決是體現(xiàn)離散數(shù)學(xué)價(jià)值所在的關(guān)鍵。這時(shí)對(duì)離散對(duì)象及其關(guān)系的建模就起到非常重要的作用。對(duì)于待解決的實(shí)際應(yīng)用問題，可首先將涉及的離散對(duì)象以及之間的相互關(guān)系梳理清楚，然后抓住關(guān)鍵要素和關(guān)鍵關(guān)系抽象為離散數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的模型，再用離散數(shù)學(xué)的方法對(duì)離散模型求解。由此可見，離散結(jié)構(gòu)的建模是離散數(shù)學(xué)的理論方法用于解決問題的重要手段。離散結(jié)構(gòu)的模型構(gòu)建過程是對(duì)客觀世界事物的數(shù)學(xué)抽象，不僅是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的有效方法，而且對(duì)模型的求解更是對(duì)學(xué)生抽象思維與邏輯思維能力的綜合訓(xùn)練[3]。

因此，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建以及應(yīng)用能力是離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。

3 基于離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建與應(yīng)用能力培養(yǎng)的教與學(xué)環(huán)節(jié)的組織

為了培養(yǎng)學(xué)生模型的構(gòu)建能力和應(yīng)用能力，筆者提出將具有實(shí)際應(yīng)用背景的問題貫穿整個(gè)教學(xué)過程的探究式和問題驅(qū)動(dòng)相結(jié)合的教學(xué)模式，整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)按照“實(shí)際應(yīng)用背景問題提出—知識(shí)點(diǎn)的切入—模型構(gòu)建與理論驗(yàn)證—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證求解—知識(shí)點(diǎn)的延伸”過程來展開。

首先以一個(gè)有實(shí)際應(yīng)用背景的問題作為教學(xué)的主線，在問題的討論中切入相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的概念以及性質(zhì)，然后對(duì)實(shí)際問題展開分析討論，教師發(fā)揮引導(dǎo)作用，在與學(xué)員的多次交流互動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵要素，完成模型的分析與構(gòu)建過程，并通過實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)完成驗(yàn)證求解，最后回到相關(guān)知識(shí)點(diǎn)概念以及性質(zhì)，討論知識(shí)點(diǎn)在其他方面的應(yīng)用，讓學(xué)生分組查閱資料分析解決。在教學(xué)組織環(huán)節(jié)中要注重如下幾個(gè)方面。

3.1 注重引入問題的重要性

離散數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，有很多定理公式，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該在基本概念、基本理論與方法的應(yīng)用上，因此，引入的問題就顯得非常重要。問題一定要結(jié)合實(shí)際，關(guān)聯(lián)已有的知識(shí)且有趣味性，能夠吸引學(xué)生討論，激發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心。在現(xiàn)有知識(shí)解決不了的情況下引出新知識(shí)。例如，數(shù)理邏輯中包含兩部分命題演算和謂詞演算，講完命題演算要進(jìn)入謂詞演算的學(xué)習(xí)，兩個(gè)內(nèi)容之間如何過渡，如何設(shè)問引出謂詞演算的知識(shí)點(diǎn)。教師可通過蘇格拉底三段論經(jīng)典邏輯推理案例引入，這個(gè)推理的正確性是人們所共知的。教師可提出能否用命題邏輯解決？針對(duì)學(xué)生在解決問題中出現(xiàn)的矛盾和對(duì)立觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生分析討論發(fā)現(xiàn)用命題演算并不能證明其正確性，從而切入謂詞的基本概念以及推理準(zhǔn)則，即謂詞演算邏輯等價(jià)式以及邏輯蘊(yùn)涵式等知識(shí)點(diǎn)。

引入問題應(yīng)該易于學(xué)生模型的構(gòu)建，體現(xiàn)模型構(gòu)建的過程。蘇格拉底三段論符號(hào)化形成命題公式并不能證明其正確性，必須在有了謂詞演算知識(shí)的儲(chǔ)備下，重新進(jìn)行模型的構(gòu)建，即符號(hào)化為謂詞公式，再利用推理準(zhǔn)則，即離散數(shù)學(xué)的方法，去證明其正確性。整個(gè)教學(xué)以問題為驅(qū)動(dòng)，以問題為主線，構(gòu)建授課內(nèi)容的結(jié)構(gòu)框架。

3.2 教學(xué)過程中充分體現(xiàn)“雙主”地位

教學(xué)過程的中要注重學(xué)生和教師的“雙主”地位。所謂“雙主”就是在發(fā)揮教師的主導(dǎo)性作用的同時(shí)也要發(fā)揮學(xué)生的主體性作用。教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重施教策略，優(yōu)化教學(xué)過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，開展多種形式的互動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。教與學(xué)的互動(dòng)方式包括教師與學(xué)生分析討論、實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)、學(xué)生與學(xué)生之間的交流等一切利于教學(xué)的互動(dòng)。教師在發(fā)揮主導(dǎo)作用的同時(shí)需適時(shí)指導(dǎo)學(xué)生并給予學(xué)生必要的協(xié)作和幫助，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位并不是放任學(xué)生不管，教師還需適度調(diào)控把握教學(xué)節(jié)奏，做到“收”和“放”并重。學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，需要積極參與教學(xué)組織過程中的多種互動(dòng)，并且要投入學(xué)習(xí)熱情。學(xué)生既要交流思想，也要?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)；不僅要關(guān)心問題的答案，更要關(guān)心解決問題的過程[4]。

3.3 強(qiáng)調(diào)離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建以及應(yīng)用能力的培養(yǎng)

離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建就是要將實(shí)際問題進(jìn)行抽象，抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)以及關(guān)鍵要素，利用離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行符號(hào)化、形式化，抽象出問題的本質(zhì)，建立問題的模型，并給予求解和驗(yàn)證。我們以一個(gè)經(jīng)典案例——中國(guó)郵政問題[1]來說明離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建過程。

案例：中國(guó)郵政問題。一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，到所管轄的街道投遞郵件，最后返回郵局，若必須走遍所管轄街道中每一條街至少一次，則怎樣選擇投遞路線可以使得所走的路程最短？

將經(jīng)典案例作為整個(gè)課程的主線，給出實(shí)際街道圖以及相關(guān)的數(shù)據(jù)，和學(xué)生一起分析。想要解決問題首要任務(wù)就必須進(jìn)行抽象，也就是建模。建模過程按照4個(gè)步驟進(jìn)行，首先，模型準(zhǔn)備。要了解問題的實(shí)際背景，搜集必需的各種信息，盡量弄清對(duì)象的特征。郵政問題涉及的對(duì)象包括郵遞員、街道、投遞點(diǎn)、郵件。各個(gè)對(duì)象的特征，例如，街道的名字、街道的長(zhǎng)度是街道的特征。第二步，模型假設(shè)。根據(jù)對(duì)象的特征，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，抓住關(guān)鍵對(duì)象和關(guān)鍵特征，是建模至關(guān)重要的一步。從實(shí)際問題出發(fā)，關(guān)注的焦點(diǎn)應(yīng)該在郵局、街道以及街道的長(zhǎng)度。第三步，模型構(gòu)成。根據(jù)各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系以及對(duì)象的特征規(guī)律，構(gòu)造模型關(guān)系結(jié)構(gòu)。根據(jù)圖論前面知識(shí)的探討，必定要將街道轉(zhuǎn)為圖中的邊，街道與街道之間轉(zhuǎn)為圖中的點(diǎn)，形成了一個(gè)關(guān)于邊的賦權(quán)圖（為了說明問題方便，假設(shè)每條街道權(quán)值為1），如圖2（a）所示。因此，整個(gè)郵政問題就轉(zhuǎn)化為圖論的問題。用圖論的語言來描述：在這個(gè)邊賦權(quán)圖中，能否找到一條閉的擬路徑C，使C包含圖中的每條邊最少一次且C的權(quán)值最小？

離散結(jié)構(gòu)的模型構(gòu)建好以后，最后一步，利用離散數(shù)學(xué)方法模型求解。根據(jù)用圖論的語言描述郵政問題，聯(lián)想到應(yīng)該用歐拉圖知識(shí)來解決。如果圖中一條經(jīng)過所有頂點(diǎn)、所有邊的閉路徑即為歐拉圖。判斷歐拉圖的充分必要條件所有頂點(diǎn)的度均為偶數(shù)。如果街道賦權(quán)圖是歐拉圖那么問題迎刃而解。如果圖2（a）不是歐拉圖，則必然有些街道要被重復(fù)走過才能回到原點(diǎn)。解決問題的思路并不復(fù)雜：在奇數(shù)度的頂點(diǎn)間加邊或者路徑（表示重復(fù)走原圖上的邊或者路徑），使其成為歐拉圖。為達(dá)到使C權(quán)值最小的目的，應(yīng)當(dāng)選擇權(quán)值盡可能小的添加邊或路徑，如圖2（b）所示。如何使得所加邊的長(zhǎng)度最小，歸結(jié)為求奇數(shù)度之間的最小匹配。

基于上述的分析，解決郵政問題的基本步驟是：

（1）判斷街區(qū)是否為歐拉圖，若是，則問題迎刃而解；

（2）若不是歐拉圖，則找出所有奇數(shù)度的頂點(diǎn)（由握手定理知奇數(shù)度的頂點(diǎn)必為偶數(shù)個(gè)），令其集合為X；

（3）對(duì)X中的頂點(diǎn)兩兩作檢查，計(jì)算兩頂點(diǎn)之間最短路徑的權(quán)值，并以小于或者等于關(guān)系排序；

（4）在具有最小權(quán)值的一對(duì)頂點(diǎn)（例如{x，y}）間加邊，取該權(quán)值為新添加的邊的權(quán)值。在權(quán)值序列中刪除所有與頂點(diǎn)x、y相關(guān)的權(quán)值；

（5）回到步驟4，直到權(quán)值序列為空。

（6）通過Fleury（佛羅萊）算法來求解最短閉的擬路徑。

完成第（5）步，便得到一個(gè)所有頂點(diǎn)度數(shù)均為偶數(shù)的連通圖，即歐拉圖，且添加的邊的權(quán)值和是最小的。郵遞員從郵局出發(fā)，走遍整個(gè)歐拉圖，便走遍所管轄街道中每一條街至少一次。到這里只是解決了街道至少走一次，要保證走的路最短還未解決，因此還需完成第（6）步。

從上述的例子不難看出模型構(gòu)建的方法，首先摸清待解決問題的背景，分析涉及的各類對(duì)象以及它們之間的關(guān)系；其次，抓住主要對(duì)象以及關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵要素進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)建關(guān)系模型；最后利用離散數(shù)學(xué)中歐拉圖的知識(shí)點(diǎn)去解決構(gòu)建的模型。整個(gè)過程鍛煉了學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力，抽象出的模型又能方便地解決問題。

3.4 通過實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)解決問題提高應(yīng)用能力

通過模型構(gòu)建，學(xué)生將概念、定理和性質(zhì)變成用于解決問題的重要方法。解決郵政問題的思路以及方法很明確了，最后還需要通過實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)計(jì)算出最終的方案，即需要通過計(jì)算機(jī)編程體現(xiàn)解決問題的思路。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)和模型構(gòu)建過程同等重要，都考驗(yàn)學(xué)生計(jì)算機(jī)動(dòng)手能力。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)可以加深對(duì)抽象概念和知識(shí)的理解，讓學(xué)生進(jìn)一步理解離散數(shù)學(xué)在解決計(jì)算問題中的作用，并提高其利用計(jì)算機(jī)解決問題的能力，同時(shí)，通過解決問題的成就感對(duì)提高學(xué)習(xí)興趣也有很大的幫助，這是一個(gè)相輔相成，循環(huán)促進(jìn)的關(guān)系。

圖2 賦權(quán)圖街道

4 總結(jié)

離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建與應(yīng)用能力，使學(xué)生深入理解并學(xué)會(huì)使用這些模型解決實(shí)際問題。將離散結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建過程融入到教學(xué)過程，使學(xué)生感受到理論知識(shí)可以用于解決實(shí)際問題，提高學(xué)習(xí)該課程的興趣以及主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維能力、邏輯思維能力以及解決問題能，為后面的專業(yè)課夯實(shí)了基礎(chǔ)知識(shí)的儲(chǔ)備。

[1]王元元.離散數(shù)學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]王彩玲.問題驅(qū)動(dòng)模式下離散數(shù)學(xué)小班化教學(xué)方法探討[J].計(jì)算機(jī)教育,2012(15):19.

[3]徐潔磐.應(yīng)用型計(jì)算機(jī)本科中離散數(shù)學(xué)課程目標(biāo)定位與課程改革的探討[J].計(jì)算機(jī)教育,2010(5):6-9.

[4]薛占熬.論“雙主”在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的作用[J].計(jì)算機(jī)教育,2011(18):37-40.