積累非演繹思維經(jīng)驗(yàn) 培養(yǎng)再創(chuàng)造意識

劉永江

【摘 要】 正在修訂中的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，把“四基”和“四能”作為了課程的基本目標(biāo)，把“培養(yǎng)創(chuàng)新意識”作為課程目標(biāo)的重要落腳點(diǎn)之一，而發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力顯然是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的重要前提，所以問題意識的培養(yǎng)就顯得尤為重要，在三類重要的數(shù)學(xué)推理形式中相較于演繹推理，歸納推理與類比推理顯然更有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題，但就現(xiàn)有教材和教學(xué)而言，關(guān)于歸納與類比的教學(xué)嘗試還顯然有很多欠缺之處，本文以等比數(shù)列的學(xué)習(xí)為例闡述了如何進(jìn)一步加強(qiáng)非演繹思維經(jīng)驗(yàn)的積累進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生再創(chuàng)造意識的一些思考與嘗試.

【關(guān)鍵詞】 感性類比；理性類比；再感性類比；再創(chuàng)造

史寧中教授在他的著作《數(shù)學(xué)基本思想18講》中對什么是數(shù)學(xué)基本思想給出了兩個基本原則：一、數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的那些思想；二、學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本的思維特征.根據(jù)這兩個原則史教授把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個核心要素：抽象、推理、模型.這也正是史教授解釋數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)時常講的三句話，即：數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型[1].從史教授對數(shù)學(xué)基本思想的精辟解讀中不難看出：數(shù)學(xué)推理毋庸置疑應(yīng)該是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要的思維方式，也恰恰是教師通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要落腳點(diǎn).

通常情況下，我們認(rèn)為的數(shù)學(xué)推理大致有以下三種形式，即：由一般到特殊的演繹推理；由特殊到一般的歸納推理；還有就是由特殊到特殊的類比推理.為了說明三種推理方式的內(nèi)在關(guān)系，我們不妨簡單梳理一下數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展的過程：通常情況下，人們由自己的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)通過觀察并借助歸納與類比的方式得到一些主觀上的知識，我們稱之為猜想；接下來我們再借助演繹的方式進(jìn)行嚴(yán)格的證明從而去偽存真；在此基礎(chǔ)上，人們又通過數(shù)學(xué)抽象的方式人為地制造出一些公理或定理，這些公理或定理又將成為進(jìn)一步演繹推理的依據(jù).在這一過程中，演繹推理是純粹的邏輯推理，是從人為制造的知識出發(fā)；歸納（類比）推理也是一種邏輯推理，卻是從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，這是二者的本質(zhì)區(qū)別所在.對于數(shù)學(xué)論證而言，歸納、類比是為了得到結(jié)論的推理，演繹是為了證明結(jié)論的推理.由此不難看出知識創(chuàng)造與產(chǎn)生的本真過程恰恰更多地源于非演繹的思維方式[2].從培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的角度看，非演繹思維的價值就凸顯重要，但是，這又恰恰是以往教材編寫和教師教學(xué)比較容易忽視的地方.因而，作為身處一線的數(shù)學(xué)教師如何在重視演繹推理能力培養(yǎng)的同時更多的在課堂教學(xué)中有意識地加強(qiáng)非演繹思維方式的培養(yǎng)就顯得尤為重要.

另外，正在修訂中的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）把“四基”（基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)）和“四能”（發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題能力）作為了課程學(xué)習(xí)的初級目標(biāo)；把“提升創(chuàng)新意識”作為課程學(xué)習(xí)的重要落腳點(diǎn)之一.從這些目標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系上看，這種課程目標(biāo)的設(shè)定實(shí)際上是一脈相承循序漸進(jìn)的，創(chuàng)新意識的形成一定是以學(xué)生的問題意識為前提，因而發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力就尤為重要，而在發(fā)現(xiàn)與提出問題的過程中類比與歸納為我們提供了有力的方法支撐.因而從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度上看，我們甚至可以認(rèn)為非演繹思維更有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，更利于培養(yǎng)學(xué)生的再創(chuàng)造能力與創(chuàng)新意識.

正是基于以上的這些認(rèn)識，筆者認(rèn)為：身在一線的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有強(qiáng)烈的時代使命感，自覺擔(dān)當(dāng)起“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識與能力”的重?fù)?dān)，這就要求我們必須主動地在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造機(jī)會引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)使用歸納、類比的思維方式去親歷知識的再創(chuàng)造過程，進(jìn)而彌補(bǔ)以往對非演繹思維方式重視不足的遺憾.相較于歸納推理的教學(xué)實(shí)踐，類比推理的教學(xué)資源相對較少，因而本文中將僅以等比數(shù)列的學(xué)習(xí)為例來呈現(xiàn)如何借助類比推理的教學(xué)來豐富學(xué)生的非演繹推理經(jīng)驗(yàn)進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的再創(chuàng)造意識的一些思考與嘗試.

我們知道，類比的思維模式在于當(dāng)兩個或兩類以上事物在諸多方面都相同時，便可以參照一類事物的已知屬性推斷另一類事物具有相同屬性.簡單地說：結(jié)構(gòu)相近，性質(zhì)相似.從知識的呈現(xiàn)形式上看等比數(shù)列與等差數(shù)列完全符合類比推理的這一特征，因而等比數(shù)列的學(xué)習(xí)非常適合運(yùn)用類比教學(xué)進(jìn)行展開.根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為類比教學(xué)大致可以分為三個學(xué)習(xí)階段，第一個階段是簡單的形式上的類比，我們可以稱之為“感性類比階段”.在這一階段，學(xué)生往往可以通過自己的觀察比較容易發(fā)現(xiàn)兩者的同與不同，進(jìn)而得到初步的類比規(guī)律，產(chǎn)生新的類比結(jié)論，但是這種類比結(jié)論往往只是類似文字變動的機(jī)械替換，學(xué)生還并未對類比規(guī)律的本質(zhì)進(jìn)行理性的思考；類比學(xué)習(xí)的第二階段是類比本質(zhì)的揭示，我們稱之為理性類比階段.這是類比學(xué)習(xí)的最關(guān)鍵的階段，在這一階段，學(xué)生會在教師的引導(dǎo)幫助下逐步發(fā)現(xiàn)類比規(guī)律背后的本質(zhì)特征，對于這一本質(zhì)特征的理解將很好地促進(jìn)類比學(xué)習(xí)的下一階段的展開；類比學(xué)習(xí)的第三個階段就是運(yùn)用類比規(guī)律進(jìn)行類比推廣的階段，我們可以稱之為“再感性類比階段”.這一階段其實(shí)就是類比規(guī)律的更加深入的應(yīng)用階段，正是因?yàn)閷︻惐纫?guī)律的本質(zhì)有了更加理性的理解，所以學(xué)生就可以把類比規(guī)律作為一種思維工具進(jìn)行非常豐富的再創(chuàng)造工作，類比思維的寶貴價值也恰恰體現(xiàn)在這一階段.綜合來看，類比學(xué)習(xí)的三個階段實(shí)際上是循序漸進(jìn)相輔相成的，如果類比僅僅停留在第一個階段，那么學(xué)習(xí)者就會錯過了“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”的恍然大悟的欣喜，必然會陷于“不識廬山真面目，只緣身在此山中”的盲然之中；如果我們在第二個階段就戛然而止，那么學(xué)習(xí)者也不會領(lǐng)悟“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的悠遠(yuǎn)境界，就會錯失“極目楚天闊”的別樣風(fēng)景，那么類比的創(chuàng)造價值就會蕩然無存.

基于以上的經(jīng)驗(yàn)，我為等比數(shù)列的學(xué)習(xí)設(shè)計了如下三個教學(xué)階段：

第一階段——感性類比階段

根據(jù)等差、等比數(shù)列的知識體系特征我設(shè)計了如圖1（部分）的知識方法類比表.需要說明的是：課前發(fā)給學(xué)生的表格只有第一行和第一列的項(xiàng)目內(nèi)容，在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的課前要求學(xué)生把等差數(shù)列的相應(yīng)內(nèi)容先進(jìn)行整理和總結(jié)，關(guān)于等比數(shù)列的內(nèi)容則有待課上生成.endprint

對于類比表格中的每一橫行的問題就內(nèi)容的生成而言學(xué)生并不是很吃力，他們很容易從字面的對比中找到類比的關(guān)鍵點(diǎn).以等比數(shù)列的定義為例：在組織同學(xué)們訂正完成圖一中的關(guān)于等差數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容后，我設(shè)計了這樣一個問題：剛才我們又簡單地回顧了一下等差數(shù)列相關(guān)的知識體系，那么我們今天將繼續(xù)學(xué)習(xí)另一種重要的數(shù)列——等比數(shù)列，我想問一下同學(xué)們：如果讓你嘗試著給等比數(shù)列下一個定義，你覺得應(yīng)該怎樣說？

對這個問題，學(xué)生很快就會照貓畫虎地給出如下內(nèi)容的定義：一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)d，那么這個數(shù)列叫等比數(shù)列，常數(shù)d叫做公比.學(xué)生僅僅用“比”替換掉了等差數(shù)列中的“差”就得到了等比數(shù)列的定義（當(dāng)然這一定義是不嚴(yán)格的），應(yīng)該說這一階段其實(shí)是類比學(xué)習(xí)中最低級的階段，是學(xué)生根據(jù)等值這一個共性簡單模仿而制造類比結(jié)論的過程，但需要強(qiáng)調(diào)的是，這一階段看似乏善可陳，但這種簡單的模仿卻是類比學(xué)習(xí)的激發(fā)點(diǎn)，因?yàn)閺慕Y(jié)果上看，這一看似簡單的模仿其實(shí)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了新知識的創(chuàng)造，只不過這種創(chuàng)造還僅僅處于形式類比的毛坯階段.如果說這是“感性類比”的求同存異的尋找共性的環(huán)節(jié)，那么接下來的就是和而不同辨別個性的環(huán)節(jié).就等比數(shù)列的定義而言公比不等于零的條件是它與等差數(shù)列最大的不同，這也是等比數(shù)列定義的關(guān)鍵的特征.在這一點(diǎn)上，為了讓學(xué)生充分感受揭示本質(zhì)的過程，我并沒有直接追問公比是否可以為零，而是在得到等比數(shù)列的定義后我又設(shè)計了以下問題：哪位同學(xué)能給大家舉幾個等比數(shù)列的例子？這個問題的設(shè)計看似簡單，但我的用意卻是希望學(xué)生在運(yùn)用等比數(shù)列的定義構(gòu)造具體等比數(shù)列的過程中，能夠感知等比數(shù)列“等值”的特征，進(jìn)而加深對定義內(nèi)涵的反思與理解.另外，我也會在板書他們的例子的時候有意識地把公比為正號與負(fù)號的兩種情況進(jìn)行歸類書寫，為辨析公比是否可以為零做好素材上的鋪墊；在從正面舉例應(yīng)用定義的基礎(chǔ)上我又接著設(shè)計了這樣的問題：誰能舉幾個看似是等比數(shù)列，但又不是的反例？這種舉反例的做法從本質(zhì)上講其實(shí)也是在正向應(yīng)用定義，但是舉反例還會更好地幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化對定義外延的界定.

在以上一正一反舉例的過程中關(guān)于公比是否可以為零的問題極有可能會自然而然地呈現(xiàn)出來，這時候老師就可以引導(dǎo)學(xué)生揭示公比不等于零的原因所在，即便沒有呈現(xiàn)，老師也可以用“常數(shù)列是等差數(shù)列，那么常數(shù)列是等比數(shù)列嗎？”這樣的問題引出零常數(shù)列可否為等比數(shù)列的議題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考等比數(shù)列中可否出現(xiàn)某項(xiàng)為零的情況.至此，學(xué)生對q不等于零的根本原因——除數(shù)不可為零就會形成更為深刻的認(rèn)識.這種教學(xué)設(shè)計既完成了幫助學(xué)生在利用共性創(chuàng)造知識的“知其然”的階段，又引導(dǎo)學(xué)生從特性的角度揭示了新知識自身的特征，完成了“知其所以然”的學(xué)習(xí)過程.

第二階段——理性類比階段

模仿“制造”等比數(shù)列定義的方式，我引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方式生成并辨析了圖一表格中的遞推關(guān)系式、通項(xiàng)公式、廣義通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)這四項(xiàng)內(nèi)容之后，又和學(xué)生們一起完成了角碼和相等的重要性質(zhì)以及如何構(gòu)造新等比數(shù)列的常見方法的學(xué)習(xí).正因?yàn)檫@些內(nèi)容的生成模式近于雷同，所以我認(rèn)為它們還應(yīng)屬于類比學(xué)習(xí)的毛坯階段，即：感性類比階段.顯然，如果僅僅把我們的學(xué)習(xí)停留在這樣的水平上是無法真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生問題意識和創(chuàng)新能力的教學(xué)目的的，要想把類比引向深刻就必須更加深入地揭示類比的規(guī)律與本質(zhì).為了幫助學(xué)生達(dá)成以上目的，我引導(dǎo)學(xué)生對多次類比的運(yùn)算變化情況進(jìn)行了如下的歸納與對比：

在師生的共同努力下，我們得到了等差數(shù)列與等比數(shù)列在運(yùn)算形式上的升級關(guān)系：

圖2為了進(jìn)一步幫助學(xué)生體會與理解“運(yùn)算升級”這一類比的本質(zhì)，我又設(shè)計了這樣一個問題：我們能把一個等差數(shù)列構(gòu)造成一個新的等差數(shù)列，也能把一個等比數(shù)列構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，那么我們能不能把一個正項(xiàng)等比數(shù)列改造成一個等差數(shù)列呢？這個問題實(shí)際上是為考查學(xué)生對“等差數(shù)列中的乘法運(yùn)算會對應(yīng)等比數(shù)列中的乘方運(yùn)算”這一類比規(guī)律的理解與應(yīng)用情況；從另一層面上看，也是對對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)： logabn=nlogab的理解程度的考查.由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們可以看出，只要對一個正項(xiàng)等比數(shù)列每一項(xiàng)求對數(shù)就可以達(dá)到運(yùn)算降級的目的.

第三個階段——再感性類比階段

按照圖2的這種運(yùn)算升級的類比規(guī)律，我在備課時突然發(fā)現(xiàn)了一個挺矛盾的現(xiàn)象：我們在等差數(shù)列中研究的是前n項(xiàng)和的求和公式，在等比數(shù)列中我們研究的也是前n項(xiàng)和的求和公式，但是按照我們剛才的這種運(yùn)算升級的類比規(guī)律，我們在等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中應(yīng)該研究的是等比數(shù)列的前n項(xiàng)積才對呀（當(dāng)然，從數(shù)學(xué)知識體系的角度看，之所以研究數(shù)列求和其出發(fā)點(diǎn)之一就是為了呈現(xiàn)離散型的函數(shù)的積分問題，這是與連續(xù)型函數(shù)求積分相呼應(yīng)的）！這一發(fā)現(xiàn)的確讓我非常興奮，于是我就為學(xué)生設(shè)計了這樣一個問題：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：Sn=a1+an2·n，那么等比數(shù)列的前n項(xiàng)積應(yīng)該是什么呢？根據(jù)前面的類比經(jīng)驗(yàn)學(xué)生們比較容易得出這樣的結(jié)論：等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為（a1·an）n=（a1·an）n2.這一式子從意義上可以解讀為“n個等比中項(xiàng)之積”.

對比前面的類比階段，如果把“毛坯階段”的類比過程稱為“形似”階段，那么剛才對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)積的類比過程就是“神似”的階段，而“等比數(shù)列的前n項(xiàng)積應(yīng)該是什么？”這一問題的發(fā)現(xiàn)恰恰是在深刻理解類比本質(zhì)的基礎(chǔ)上得到的神來之筆，嚴(yán)格意義上講，這才是真正“創(chuàng)造”知識的過程.但是，正如我們在前面談到的關(guān)于數(shù)學(xué)知識的生成與發(fā)展的過程那樣，我們借助類比這一思維工具“創(chuàng)造”了“新”知識，接下來，我們就必須依據(jù)學(xué)過的知識，借助演繹的方式來嚴(yán)格證明“新知識”的真?zhèn)?那么，我們又該如何來完成這種證明呢？

其實(shí)，我們的證明還可以從類比開始：求一個等差數(shù)列前n項(xiàng)和我們可以采取倒序相加的方法，那么求等比數(shù)列前n項(xiàng)積似乎就可以采取倒序相乘的方法來得出.類比結(jié)果如下：

算到這里就出現(xiàn)了兩個問題，第一個問題是到底取正值還是負(fù)值？第二個問題是必須是正的才可以開平方呀.該怎么解決這兩個問題呢？在這里我引導(dǎo)學(xué)生采取了我們一貫的做法——抽象問題具體化.我引導(dǎo)學(xué)生列舉了根據(jù)a1與q的符號分類得到的四類具體的等比數(shù)列：

通過逐類觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（a1·an）n的符號干擾的只是最終結(jié)果的正負(fù)，而n個數(shù)乘積的符號又取決于負(fù)因數(shù)的個數(shù)，鑒于以上兩點(diǎn)，我們可以采取以下的處理方式來解決最初的兩個問題：

這樣一來，只需要確定數(shù)列中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個數(shù)就可以決定Πn最終的符號了.這一結(jié)果的類比生成與嚴(yán)格證明充分體現(xiàn)了歸納、類比推理發(fā)現(xiàn)合情猜想，演繹推理證明猜想合理的多種推理方式有機(jī)結(jié)合的本真過程.

事實(shí)上，除了利用運(yùn)算升級的類比規(guī)律去發(fā)現(xiàn)新大陸，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生回到本節(jié)課最開始借助類比創(chuàng)造新數(shù)列的思維模式上來，例如：讓學(xué)生在課下模仿本節(jié)課的學(xué)習(xí)方式，去建構(gòu)諸如等和數(shù)列或者等積數(shù)列的知識體系，從橫向思考的角度再次發(fā)揮類比這一思維工具的創(chuàng)新價值.

需要強(qiáng)調(diào)的是：我們提倡幫助學(xué)生積累非演繹思維的經(jīng)驗(yàn)的先決條件是要求教師首先要形成運(yùn)用歸納、類比進(jìn)行教學(xué)思考的習(xí)慣與意識；另外，教師要有強(qiáng)烈的教會學(xué)生運(yùn)用歸納與類比進(jìn)行思考的教學(xué)意向，然后才是在教學(xué)實(shí)踐中一招一式的示范.只有在老師的示范與幫助之下，學(xué)生才有機(jī)會通過日積月累來逐漸增強(qiáng)歸納與類比推理的經(jīng)驗(yàn)，形成歸納與類比的思維能力，也唯有此，我們數(shù)學(xué)教育改革中一直希冀的“培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題和分析與解決問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)創(chuàng)新的意識與能力”的目標(biāo)才會不僅僅是改革的一種希望.

參考文獻(xiàn)

[1] 《數(shù)學(xué)基本思想18講》[M].史寧中.北京：北京師范大學(xué)出版社，2016-10.

[2] 《數(shù)學(xué)與知識的探索》[M].（美）M·克萊因著，劉志勇譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2011-12.endprint