高中數學排列組合問題解析

趙欣然

摘 要：本文介紹分析了排列組合問題的核心思想。從更高的角度看待排列組合問題。從而探尋其內在聯系和普遍規律。從生活中的具體問題入手，將常見的排列組合問題進行了歸納總結，并給出了通用解法。分析并指出常見錯誤，并給出通用解題步驟。通過規范化的處理避免方法。

關鍵詞：高中數學 排列組合 解析

引言

依據已知條件求出可能的排列和組合的情況總數，是排列組合問題的核心考點。其難點在于實際問題中眾多的條件限制，往往使得正確運用公式變得比較困難。本文通過梳理解題的一般步驟，使得能夠在解題正確迅速的找到思路。[1]

一、區別排列組合的內在含義

排列：每種情況下，各個元素間有順序的區別；組合：每種情況下，只考慮這種情況包含有哪些元素，不考慮這些元素間是否有先后順序的區別。兩者的內在區別在于有無順序。這是一個易錯點。在實際解決問題中，往往通過判斷替換元素間相互替換后有無區別來判斷是否有內在的順序限制。有區別，則為排列，無區別，則為組合。[2]

二、常見的排列組合問題解法

解決排列組合問題，核心是通過排列組合的不斷運用，最終實現題目中描述的事件。因此，解決一個排列組合問題問題均可以分為以下三個步驟：①理清事件是如何完成的（分步，且每個步驟不能有交集）；②每一個步驟間邏輯順序如何；③每一個步驟是排列還是組合。這三步極其關鍵，也是最出易錯的環節。[3]

三、常見的解題思路

1.捆綁法：將每種可能的完成事件的重疊部分捆綁作為一個步驟，根據乘法原理，總情況數=捆綁部分的情況×剩下步驟的情況

例1.有8本各不相同的字典，其中漢語字典3本，英語字典2本，法語字典3本，若將這些字典排列成一列放在柜子里，讓漢語字典排在一起，并要求2本英語字典間夾一本字典。問：一共有多少情況？

解：由于漢語字典要相鄰排放，故而兩本英語字典夾的必為法語字典。因而本題有兩個捆綁元素——“三本漢語字典”和“兩本英語字典夾一本法語字典”。

三個步驟可以分成：①需要捆綁“三本漢語字典”和“兩本英語字典夾一本法語字典”②將兩個新元素和剩下的字典排列在一起③前兩個步驟均適用于乘法原則。故共有種，其中是元素“兩本英語字典夾一本法語字典”的數量。

這個例子雖然簡單，卻很好的說明了解決問題的①②③步是解決問題的通用思路，在這里要注意，在復雜問題中，理清事件如何完成，常常要同時使用加法原理和乘法原理。

2.有特殊要求的元素優先處理

特殊元素優先的技巧，實質上是在不改變事件本質的情況下，優化第一個步驟，目的是減少分組討論（變加法原理為乘法原理），從而使得②③步的情況大為簡化。

例2：在一個電子游戲中將X，Y，Z，A，B，C六個字母排成一排，且電腦要求X，Y均在Z的同側。請問：游戲中不同的組合方法共有多少種？

分析：此題中因為有特殊元素X，Y，Z，故需要優先排列這些元素。解題的基本三個步驟如下：①分析條件，Z最特殊，故由Z在第1到第6位分成六類。②已經安置好Z后，再優先考慮X，Y的位置。③分析邏輯關系，則知Z在1～6的位置上遵循加法原則。

解：因為Z在第一、二、三位與在四、五、六位的情況數量是相同的，所以只需要計算一半的情況，

故共有種

小結：本題計算一般直接乘以2，是因為前后部分完全對稱（等可能），在解題中常用“部分×2”或“整體÷2”的方法處理對稱或者等可能的問題。

3.排除法：有些問題從正面實現甚是復雜，此時應考慮從實現事件的反面

例 3.袋中 4 個有編號紅球，6 個編號的白球，若取得一個紅球得 2 分，取得一個白球得 1 分.現從袋中任取 4 個球，使總分大于等于 5 分，這樣的取法有幾種？

解：考慮反面，不滿足條件的只有得 4 分，既所取均為白球情形.故有：種。

4.插空法 插空法的核心，是將沒有限制的分成一個步驟先進行處理，有限制的分成之另一個步驟后處理。

例4在一張菜單中原要依次上6個菜，若保持這些菜品的上菜的相對順序不變，再添加進去3個菜品，則所有不同的添加方法共有多少種？

此題使用插空法很方便，但是如果不仔細分析題意，極其容易出現理解上的錯誤

錯解1：原來的6個菜品之間有7個空，選三個空分別插入三個菜品，則共有：種

首先，注意審題，是添加的方法，不是總的排序法，所以多余。

錯解2：共有種

注意，添加三個菜品，并未要求這3個菜品一定要分開。所以不一定是三個空。

正解：先插入在一個空位一個菜，有種。繼續插入第二個，有種，最后插入一個，有種。故共有7×8×9=504種。

5.插板法——在題目中的元素沒有差別時使用

例5某校準備參加2009年全國高中數學聯賽，把20個名額分配給高三的4個班，要求每個班至少3個名額，則有多少種分配方法？

解答與分析：因為名額是無差別元素，所以可以先每個班分配2個名額，剩下的12個名額就用插板法分配給四個班。剩下的十二個參賽名額里一共有十一個空位可以插，所以每個班至少有個。

一般的；把n個相同的元素分配給m人，要求每個人至少能夠分到t個元素，這樣的分法有：種。

結語

在排列組合中合理劃分步驟，并找到對應的邏輯關系，是正確解題的關鍵。步驟間內在邏輯，不僅僅只有先后和并列兩種，也有可能存在交叉或者缺失，這就是常常犯的“重復”“遺漏”的錯誤。所以，分三步想清楚事件是如何完成的，才是解決問題最關鍵之處，才能合理正確運用學到的基礎知識解決問題。本文列出所有常見方法，也是以此為基礎，萬萬不可生硬的直接套用。

參考文獻

[1]馬瑜優.一類排列組合的解題技巧分析[J]解題技巧與方法2017，（09）：147-148

[2]戴建忠.解排列組合問題的十種常規技巧[J]新課程（下旬），2017，（04）：72

[3]喻天.高中數學排列組合學習策略[J]祖國.2017，（04上）：228endprint