淺談波導的幾何結構與導行波速的關系

作者/陸羽翃，南京郵電大學

1.從光線的幾何路徑角度

我們先定義光在某一段波導中的傳播時間:

式中，Qm為光線在該波導中的起點位置，Qn為光線在該波導中的終點位置，為光路在該波導中的傳輸路徑幾何長度；c為光速。

則光波在該波導中的等效波速:

我們考慮兩種形狀的波導，一種是曲線型波導，一種是直線型波導，分別如圖1和圖2所示。

圖1 曲線型波導中的光線

我們知道，對于曲線型波導中的任何一路入射光，無論其入射位置、入射角度，總會在波導兩個內表面經歷若干次全發射以進行傳輸，故截取該曲線形波導中傳輸光線的一段，如圖一所示。其中1A前的虛線表示只是截取整個光路中從1A到A11的一段。故根據以上定義，光在該段曲線型波導中的傳輸時間：

則光在該曲線型波導中的等效波速：

圖2 直線型波導中的光線

現在證明,圖1中，有：

等五個三角形，根據兩邊之和大于第三邊，容易得到：

由(7)得：

這就證明了(6)式，繼而說明了：

即曲線型波導中的等效波速小于直線型波導中的等效波速，其物理原因是由于曲線型波導中光線的全反射，使得光的傳播路徑長度較直線型波導中的長。

2.從電磁場理論的角度

設波導軸線沿z方向，則沿z方向，導行電磁波的電場分量和磁場分量可以表示為：

γ為傳播常數，描述電磁波的傳播特性。

將式(9)帶入齊次波動方程，則其電場分量可以表示為

2.營養物質缺乏。當日糧缺鈣或鈣磷比例不當，日照不足或缺乏運動，維生素源不能轉變成維生素時均可導致血鈣濃度降低，胃腸蠕動減弱、胃液分泌量下降、食欲下降和消化障礙。

把對應于截止頻率 fc的（自由空間）波長稱截止波長,由波導的本征值kc決定。

v為真空中的波速，亦可理解為在無限大媒質中波的相速度。

即我們得到了波導中的波速 vwaveguide與真空無限大媒質中的波速v之間的關系，二者截止頻率 fc與導波頻率 f的比值相聯系，而如式(11)所示，且波導的本征值kc與波導的幾何形狀和尺寸大小有關，故我們得到結論，即波導中的波速 vwaveguide與波導的幾何形狀和尺寸大小有關。

3.從波導材料的結構安排角度

波導中的波速 vwaveguide=λf， f為導波頻率。參考一些研究固體波導層結構與導波頻散特性關系的文章，我們知道，頻散是導波的一個重要特性，其頻散關系與波導層的速度結構，波導層厚度等幾何參量密切相關。個人認為，固體波導中導行波傳播的一種機理就是通過共振的方式。不同材料的晶格排列決定其固有頻率 finherent，當一列導行波的頻率f與 finherent接近時，晶格振動較為劇烈，進而晶格間的相互作用將此導行波傳播出去。而波導中不同材料的幾何結構安排方式也決定了在特定區域某一特定頻率 f的導行波的衰減程度（可以將衰減理解為受阻礙程度，受阻礙程度大，頻散劇烈），進而決定在這一特定區域內的波速。

本質上這一角度也可以歸結為材料對波速的影響。波導在現實中的一個具體體現就是地震波的傳播。在地下地層結構中，通常存在這樣一系列特殊的地層，其縱波速度、介質密度與圍巖相比相對較低，因此其與圍巖的分界面是一個較強的反射界面。如果這時有一個震源在該低速層中激發地震波，那么振動能量就在其與圍巖邊界處產生來回多次全反射，使振動的相當一部分能量被禁錮在低速層內，并且產生相長干涉，形成一類特殊的沿低速層傳播的干涉波，進而取得較大的能量。我們稱這樣的低速層為波導層，沿著波導層傳播的波叫做導行波，在這里就是地震波。

4.結語

影響導行波速的原因是多方面的，除了受波導幾何結構的影響，也受到波導材料屬性的影響。例如，我們知道，折射率是波長的函數，且若材料是各向異性的，在一束光線的不同偏振模式下也會有不同的傳播速度，這也是形成偏振模色散的基本原理。在學習的過程中，我們要善于發現物理現象背后的原因，才能做到知其然且知其所以然。

* [1]M.伯恩，E.沃耳夫.楊葭蓀等譯.光學原理[M].北京：電子工業出版社.2005

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* [3]胡鴻璋，凌世德.應用光學原理[M].北京：機械工業出版社，1993

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