基于剪切變形規(guī)律的剪力滯分析的有限梁段法

周朋，藺鵬臻，何志剛

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基于剪切變形規(guī)律的剪力滯分析的有限梁段法

周朋1，藺鵬臻2，何志剛1

(1. 蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

選取基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法分析箱梁的剪力滯效應(yīng)。該翹曲位移函數(shù)的定義是從剪力滯效應(yīng)是由于翼板剪切變形引起的這一基本機(jī)理出發(fā)的，原理更加明確并且分析精度高。建立基于最小勢(shì)能原理的變分法的箱梁剪力滯控制微分方程及邊界條件，在此變分法微分方程的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出相應(yīng)梁段單元剪力滯系數(shù)矩陣和廣義荷載列陣，運(yùn)用有限梁段法來分析剪力滯效應(yīng)，分析試驗(yàn)?zāi)Ｐ图拌F路簡(jiǎn)支箱梁分別在均布荷載和跨中集中荷載作用下以及懸臂箱梁箱在均布荷載作用下的剪力滯效應(yīng)。分析簡(jiǎn)支梁和懸臂梁分別在均布荷載和跨中集中荷載作用下的剪力滯效應(yīng)。并與相應(yīng)的變分法解析結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果吻合良好，從而驗(yàn)證本文方法的正確性。

箱梁；剪力滯；剪切變形；有限梁段

薄壁混凝土箱梁由于抗扭剛度大、整體性能良好、可塑性強(qiáng)和現(xiàn)場(chǎng)整體澆注方便等優(yōu)點(diǎn)而在橋梁中廣泛使用[1]。剪力滯效應(yīng)是指箱梁上下翼板由于剪切變形的影響，而使得翼板的縱向正應(yīng)力沿橫向分布不均勻的現(xiàn)象。在箱梁的設(shè)計(jì)計(jì)算中，若不考慮剪力滯效應(yīng)，會(huì)高估箱梁的抗彎剛度，使撓度計(jì)算值偏??；還會(huì)使箱梁翼緣板中實(shí)際應(yīng)力峰值無法得到真實(shí)反映，從而造成結(jié)構(gòu)安全隱患。現(xiàn)階段預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁的發(fā)展趨勢(shì)為長(zhǎng)懸臂板、大腹板間距、薄壁輕型化，剪力滯效應(yīng)對(duì)箱梁應(yīng)力分布和撓度的影響會(huì)更加顯著。因此，分析研究箱梁的剪力滯效應(yīng)顯的越加重要[2]。剪力滯效應(yīng)分析主要采用能量變分法、比擬桿法、數(shù)值分析法、彈性理論 法[3]。變分法中，剪滯翹曲位移函數(shù)的選取是分析剪力滯效應(yīng)的關(guān)鍵。Reissner[4]假設(shè)翼板剪滯翹曲位移函數(shù)為二次拋物線，橫截面上引入一個(gè)翼板剪切變形最大差，建立矩形雙軸對(duì)稱箱梁的剪力滯效應(yīng)的變分解。羅旗幟[5]取能量變分法導(dǎo)出的控制微分方程的齊次解作為梁段的有限元位移模式，在變分原理的基礎(chǔ)上，提出分析箱梁剪力滯效應(yīng)的有限段法。郭金瓊等[6]應(yīng)用變分法和有限條法分析箱梁的剪力滯效應(yīng)。吳幼明等[7]在文獻(xiàn)[5?6]基礎(chǔ)上提出底板、頂板和懸臂板3個(gè)不同的剪滯翹曲位移函數(shù)，以考慮箱梁不同翼板及結(jié)構(gòu)上下不對(duì)稱對(duì)翹曲位移幅度的影響。周世軍等[8]與文獻(xiàn)[5?7]考慮剪力滯效應(yīng)的基本思路相似，不同的是在變分原理基礎(chǔ)上，采用每結(jié)點(diǎn)有2個(gè)剪力滯自由度有限梁段法求解剪力滯效應(yīng)。本文采用的翹曲位移函數(shù)是基于翼板間剪力流的差異定義的，在此基礎(chǔ)上采用每結(jié)點(diǎn)有2個(gè)剪力滯自由度有限梁段方法求解剪力滯效應(yīng)。文獻(xiàn)[8]方法與一般桿系有限元法配合使用，提出與一般梁?jiǎn)卧治鱿噙m應(yīng)的分析箱梁剪力滯效應(yīng)的方法。本文在文獻(xiàn)[8?9]的基礎(chǔ)上采取基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的箱梁剪力滯效應(yīng)分析的有限梁段法分析簡(jiǎn)支梁、懸臂梁分別在集中荷載和均布荷載作用下箱梁的剪力滯效應(yīng)，將計(jì)算結(jié)果與其他文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

1 變分法剪滯控制微分方程

混凝土薄壁箱梁在豎向荷載作用下，截面的彎曲變形將伴隨著截面面外的翹曲而產(chǎn)生剪力滯后效應(yīng)，從而在橫截面上存在服從平截面假設(shè)的剪滯翹曲位移。結(jié)合文獻(xiàn)[5?6, 10]，定義()為橫截面任一點(diǎn)(,,)的豎向撓曲位移，￠()為相應(yīng)轉(zhuǎn)角，(,,)為縱向位移，()為截面廣義剪滯翹曲位移，(,)為剪滯翹曲位移函數(shù)。箱梁截面尺寸及坐標(biāo)方向如圖1。

圖1 箱梁尺寸及坐標(biāo)方向

橫截面的縱向位移可表示為：

由文獻(xiàn)[9]已知基于剪切變形的翹曲位移函數(shù)：

式中：2=c/t，即懸臂板和內(nèi)側(cè)頂板面積之比；3=zAb/zss；s為頂板的面積包括懸臂板和內(nèi)側(cè)頂板；A為底板面積。

翹曲位移函數(shù)選定后，可根據(jù)截面任一點(diǎn)的縱向位移，得到截面的彈性應(yīng)變?yōu)椋?/p>

梁體的應(yīng)變能可表示為對(duì)梁體積的積分：

梁段的總勢(shì)能：

對(duì)式(5)變分，并令P=0，得到下列微分方程及邊界條件：

式(6)中第3式為邊界條件，整理式(6)，并令

和稱作瑞斯納參數(shù)

得到梁段的剪力滯控制微分方程：

式中：為彈性模量；為剪切模量；()和()分別為梁上任意截面處的剪力和彎矩。

全截面豎向彎曲慣性矩：

全部翼板的剪滯翹曲慣性矩：

全部翼板的剪滯翹曲慣性積：

全部翼板的剪滯翹曲面積：

2 剪力滯計(jì)算的有限梁段公式

圖2為考慮剪力滯的梁段單元。結(jié)合文獻(xiàn)[8]在豎向分布荷載作用下，單元兩端的桿端力分別為Q，M和Q，M。假定梁的剪力在單元上線性分布，即

式中：為單元長(zhǎng)度。

圖2 梁段單元示意圖

與此同時(shí)，假定剪力滯只影響梁截面上正應(yīng)力的分布，但沿梁縱向的截面內(nèi)力不發(fā)生改變。于是，可由一般有限元法得到單元兩端的桿端力Q，M和Q，M。則微分方程(7)的一般解形式為：

由邊界條件可確定系數(shù)1和2。對(duì)式(10)求導(dǎo)，可得：

0，u=u，￠=u￠和，j，￠j￠代入式(10)和式(11)可得：

系數(shù)1和2可由(12)～(15)的任意兩方程聯(lián)立解得。首先將式(12)和式(14)聯(lián)立解出第1組1和2，然后代入式(13)和(15)，可得式(16)和(17)；同理將式(13)和式(15)聯(lián)立解出第2組1和2，然后代入(12)和(14)，可得式(18)和(19)。

式中：

將式(17)和(18)次序調(diào)整后合并，寫成矩陣 形式：

[]{}={} (24)

式中：

式中：[]為單元系數(shù)矩陣；{}為廣義單元結(jié)點(diǎn)位移列陣；{}為廣義單元外荷載向量。

按以上方法進(jìn)行單元分析后，就可以根據(jù)剪力滯廣義平衡與變形協(xié)調(diào)條件，把作為分離體的各個(gè)單元重新組成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)。由單元的剪力滯系數(shù)矩陣[]是對(duì)稱矩陣，可得結(jié)構(gòu)的總剪力滯系數(shù)矩陣也是對(duì)稱矩陣。總剪力滯系數(shù)矩陣的組集和形成與形成總剛度矩陣的方法相同，因此總的剪力滯系數(shù)矩陣也具有等帶寬性質(zhì)，求解方程組的方法與一般有限元法相同。

3 截面應(yīng)力

按初等梁理論算得箱梁任意截面上的應(yīng)力為

考慮剪力滯影響，由式(1)，(2)及式(6)第1式得箱梁任意截面上的應(yīng)力為：

剪力滯系數(shù)表示為：

式(26)中(,)取式(2)中的第1式，則頂板應(yīng)力為：

懸臂板、底板應(yīng)力同理可得。

腹板與翼板的交界處(1)剪力滯系數(shù)為：

頂板中點(diǎn)處(0)剪力滯系數(shù)為：

4 與實(shí)驗(yàn)解的對(duì)比驗(yàn)證

以文獻(xiàn)[5, 9, 12]中跨徑800 mm簡(jiǎn)支梁有機(jī)玻璃模型為例，模型的截面尺寸見圖3。試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷钠骄鶑椥阅Ａ?3 000 MPa，泊松比=0.385。模型分別在跨中作用=0.272 2 kN集中荷載和滿跨=0.01 kN均布荷載[5]。

采用基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法，組集剪力滯系數(shù)矩陣[]與廣義外荷載向量{}，運(yùn)用MATLAB軟件編程求解得簡(jiǎn)支梁跨中截面各翼板的縱向應(yīng)力以及相同截面形式的懸臂梁任意位置處沿梁縱向的縱向應(yīng)力分布，本文取=1與=0處的沿梁縱向的縱向應(yīng)力。為驗(yàn)證本文方法的有效性和準(zhǔn)確性，采用ANSYS有限元軟件建立板殼模型進(jìn)行數(shù)值分析，并與模型試驗(yàn)值和文獻(xiàn)[9]進(jìn)行對(duì)比。簡(jiǎn)支梁跨中截面的各翼板的縱向應(yīng)力如圖4和圖5。

單位：mm

圖4 集中力作用下跨中截面縱向應(yīng)力分布

由圖4和圖5可得，用基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法分析簡(jiǎn)支梁分別作用跨中集中荷載和滿跨均布荷載時(shí)，跨中截面的縱向應(yīng)力分布與文獻(xiàn)[9]及ANSYS解析結(jié)果吻合良好，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文分析結(jié)果具有較高的吻合。

圖5 均布荷載作用下跨中截面縱向應(yīng)力分布

分析與簡(jiǎn)支梁相同截面形式的懸臂梁在=1與=0處沿梁縱向的縱向應(yīng)力，如圖6和圖7。

圖6 y=b1時(shí)縱向應(yīng)力沿梁縱向分布

圖7 y=0時(shí)縱向應(yīng)力沿梁縱向分布

由圖6和圖7可得，分析懸臂梁作用均布荷載時(shí)=1與=0處的沿梁縱向的縱向應(yīng)力與文獻(xiàn)[11]解析解及ANSYS解析解吻合良好，且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布與本文分析結(jié)果也吻合良好，進(jìn)一步證實(shí)了本文方法的有效性性與準(zhǔn)確性。

5 鐵路箱梁的剪力滯效應(yīng)分析

1) 基本參數(shù)

以時(shí)速250 km/h客運(yùn)專線(城際鐵路)無砟軌道混凝土簡(jiǎn)支整孔箱梁為例。為簡(jiǎn)化計(jì)算，全橋截面尺寸均采用跨中截面形式。該簡(jiǎn)支梁的物理參數(shù)：混凝土等級(jí)C50，=3.55×104MPa，=1.42×104MPa；跨中截面幾何尺寸如圖8所示。

單位：mm

2) 剪力滯系數(shù)計(jì)算

與有機(jī)玻璃模型類似運(yùn)用MATLAB軟件編程計(jì)算分析簡(jiǎn)支梁分別在跨中集中荷載和滿跨均布荷載作用下的剪力滯效應(yīng)，并將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]變分法解析結(jié)果對(duì)比，見圖9和圖10。

圖9 跨中集中荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

圖10 均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布

由圖9和圖10可得，在結(jié)構(gòu)形態(tài)、邊界條件和荷載條件完全對(duì)稱的情況下，用本文方法分析得到的剪力滯系數(shù)結(jié)果關(guān)于跨中截面完全對(duì)稱。沿梁縱向某個(gè)截面的剪力滯系數(shù)較大或變化幅度較大，則說明這個(gè)截面彎矩絕對(duì)值相對(duì)較小，剪力滯系數(shù)急劇變化是由于其本身的定義導(dǎo)致的(式(29)和式(30)彎矩在分母上)。以上分析可得在不同邊界條件和荷載工況下，本文分析得到的沿梁縱向的剪力滯系數(shù)結(jié)果與變分法所得結(jié)果吻合良好。由文獻(xiàn)[3, 6, 11]可知，運(yùn)用變分法分析箱梁的剪力滯效應(yīng)與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，有較好精度。因此本文方法結(jié)果同樣也具有較高的精度。

6 結(jié)論

1) 基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)，在變分法微分方程的基礎(chǔ)上，提出有限梁段法，利用單元的邊界條件導(dǎo)出相應(yīng)梁段單元剪力滯系數(shù)矩陣和廣義荷載列陣來分析剪力滯效應(yīng)，該翹曲位移函數(shù)從剪力滯效應(yīng)是由于翼板剪切變形引起的這一基本機(jī)理出發(fā)原理更加明確，分析精度更高。

2) 大量文獻(xiàn)表明，變分法分析剪力滯效應(yīng)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果、有限條法及板殼有限元法結(jié)果吻合良好且具有較高的精度，而本文方法結(jié)果與變分法解析結(jié)果基本一致，表明本文方法結(jié)果同樣具有很高的精度。

3) 分析試驗(yàn)?zāi)Ｐ秃丸F路箱梁在集中荷載和均布荷載條件下剪力滯系數(shù)沿梁長(zhǎng)和特殊截面的分布，其結(jié)果與變分法解析結(jié)果吻合良好，為復(fù)雜橋梁形式分析剪力滯效應(yīng)提供參照。由于計(jì)算公式簡(jiǎn)單方便，可適于各種邊界條件下的箱梁剪力滯效應(yīng)分析。

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Finite segment method of shear lag analysis of box girders based onflange-slab shear deformation law

ZHOU Peng1, LIN Pengzhen2, HE Zhigang1

(1. Key Laboratory of Road & Bridge and Underground Engineering Gansu Province, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China; 2. School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Through the finite segment method based on the warping displacement function is caused by shear deformation analyzes the shear lag effect of the thin-wall box girder. The warping displacement function is defined from the shear lag effect caused by the shear deformation of the wing plate. The principle is more explicit and high degree of precision. The governing differential equation for shear lag of box girders and the corresponding boundary calculus method based on the variation principle of the minimum potential energy. Based on the method to define the warping displacement function of shear lag and the governing differential equations by variational principle, derived the shear lag coefficient matrix and generalized load vector, using finite element method to analyze shear lag effect. The shear log effect of the simply supported box girder indude experimental model and railway under uniform load or mid-span load and the cantilever box girder under uniformly distributed load are analyzed. The results obtained from the finite segment procedure accurately agree with those from variational analysis method. which validates the effectiveness of the present analytical method.

box girder; shear lag; shear deformation; finite segment method

U411.5

A

1672 ? 7029(2018)01 ? 0103 ? 07

2016?11?21

國(guó)家自然科學(xué)基金重大資助項(xiàng)目(51368031)；中國(guó)鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃課題(2017G010)；蘭州交通大學(xué)優(yōu)秀平臺(tái)資助 項(xiàng)目(201601)

藺鵬臻(1977?)，男，甘肅甘谷人，教授，博士，從事橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論研究；E?mail：pzhlin@mail.lzjtu.cn