高斯光束參數簡介及束腰的快速測量計算

崔立夫，羅瑞芳

(中國電子科技集團公司第四十六研究所 天津300220)

0 引 言

激光器是重要的光源，其光源的特性，如腰斑、束角、束寬、能量密度、脈寬等參數，對光纖傳能的應用，如激光打標、起爆光纖等有著很大的影響。光纖系統中使用的激光光源其輸出一般近似做高斯光束處理。本文從高斯激光束強度的角度出發，簡要介紹了與高斯光束有關的實用概念，如高斯光束的束寬、瑞利距離、共焦參數、“M2”值、光強分布、光斑的有效面積及能量密度等，并介紹了一種快速測量高斯光束腰斑尺寸的方法——90/10刀口法，與孔徑法、CCD掃描法、曲線擬合法等其他測量方法相比更快速、更簡便、更精確。高斯光束腰斑尺寸的精確測量對與之相關的應用，如光斑的有效面積、光束質量因子的判定等有著重要的意義。

1 光斑強度分布

光源通常產生的是非均勻的光束，其強度在橫截面上的分布與其模數有關，圖1和圖2分別介紹了幾種低階埃爾米特-高斯函數和幾種低階埃爾米特-高斯光束的截面光強分布圖。

在光纖系統中使用的光源，一般近似選用 LP01模式，其橫向分布呈現高斯分布，是我們熟悉的鐘形曲線分布，如圖 1(a)所示，其光斑分布如圖 2(a)。多數的氣體激光器及經特殊設計的激光發光管都是此類分布。

圖1 幾種低階埃爾米特-高斯函數Fig.1 Several low-order Hermite-Gaussian functions

圖2 幾種低階的埃爾米特-高斯光束的截面光強分布圖。Fig.2 Intensity distributions of several low-order Hermite-Gaussian beams in the transverse plane

1.1 高斯光束光強分布

在傳能的應用中，其效能都直接與光的強度有關，從光強的角度而不是從電磁波振幅的角度來討論，可使概念清晰化，對應用而言并無影響。

高斯光束的光強分布可用下式表示：

式中I0表示最大峰值強度，w0為最高峰值強度下降到時光斑半徑。高斯光束經透鏡聚焦后，其焦面上的強度分布仍為高斯分布，但強度有所降低，其斑點尺寸：

高斯光束經聚焦后，絕大部分能量(86.5%)都被“封閉”在以為直徑的圓域內稱為斑點直徑。

1.2 高斯光束光強分布式的歸一化

因高斯光束是軸對稱分布的，式(1)經參量變換后，可得：為數學上處理簡單起見，將式(3)作歸一化處理，即

式(3)變為：

光斑的總能量P既為曲線(4)繞縱軸旋轉體的體積，或是曲面(3)在圓域(r)的積分：

圖3 高斯光束的強度分布(歸一化)Fig.3 Normalized intensity distribution of Gaussian beam

圖 3和圖 4分別為高斯光束歸一化處理后的二維和三維強度分布圖，其中三維圖形象化地展現了能量密度的分布，等高圖則近似為實際的能量分布。

圖4 高斯光束三維強度分布示意圖(歸一化)及其等高線圖Fig.4 Three-dimensional diagram of normalized Gaussian beam intensity distribution and the contour

2 高斯光束參數介紹

2.1 高斯光束的束寬、瑞利距離和共焦參數

由激光物理可知，高斯光束呈雙曲線函數發散，如圖5所示。

這里z=0定義為束腰w0的位置，被稱為瑞利距離，與束腰軸向距離等于瑞利距離zR處的束寬為這兩點間的距離稱為“共焦參數”

圖5 高斯光束參數關系示意圖[2]Fig.5 Parameter relationships of Gaussian beam[2]

由式(6)可得出，波長為λ的高斯光波的腰斑位置在Z軸上的分布為：

其光束的偏移既擴散角為：

由式(8)可知，較小的w0其發散角則較大，應用時應予以注意。

2.2 高斯光束的“M2”值

激光束的質量可以用束參數乘積(BPP)來衡量，BPP的數值就是光束的偏移量與束腰w0的積。實際光束的 BPP與理想光束的比值稱為“M,2”，高斯光束的 M,2＝1。實際光源的“M,2”都大于 1，M,2越接近1表明此光束越近似于高斯光束。

2.3 高斯光束的能量分布

從高斯光束的能量分布圖來看，中心的光強度最大(r=0)，隨后以負指數下降，可用下式表示：

從式(5)可知，光強的峰值I0與總能量的關系為平均能量的 2倍，平均能量等于總能量除以半徑為的圓面積：

2.4 高斯光束光斑的有效面積及能量密度

實際激光能量的分布是非均勻的，激光器由于調制的原因，會有多個峰值，并且存在一個最大的峰值。在這個最大峰值能量密度下，光學材料(光纖)最易受損傷，即對傳能光纖而言有一個損傷閥值(等離子點火)。

由于調制激光器輸出能量有多峰性，計算時往往取其最大峰值能量。對于連續工作激光器，其功率用瓦(W)來表示，而脈沖激光器用焦耳/秒表示。如10,mJ輸出，脈寬 10,ns，則輸出的峰值功率為10(mJ)/10(ns)＝100,MW。

高斯光束光斑的有效面積(Aeff)定義如下：高斯光束的能量密度定義：激光的總能量除以光斑的有效面積就等于光斑的能量密度。

如果光束(100,MW)聚焦在束腰半徑w0=200,μm的腰斑上，則其光斑的能量密度為：所謂光損傷閥值是指激光與光學材料(如光纖)相互作用后不產生損傷的最大允許的激光能量密度。

3 高斯光束腰斑的快速測量及計算

3.1 測量方法

無論用何種方法(孔徑法、CCD掃描法)測量高斯的光強分布及其后的擬合計算都冗長、耗時。采用曲線擬合的方法要求測量點數要盡量多，若用內插或外插的數據雖可增加擬合的數據點數，但因精度的問題擬合得出的數據準確度差。這里介紹一種快速確定腰斑尺寸的方法——刀口法，因其測量 90%及10%的透過光強，又稱 90/10刀口法，其測量示意圖和刀口切割光束示意圖如圖6所示。

此方法的特點是利用高斯光束的數學特征，轉換成以誤差函數來表征的高斯分布，只需測量特定點的光強，經簡單的計算即可求出光束的腰斑尺寸。

圖6 刀口法測量示意圖Fig.6 The blade measurement method

3.2 理論計算方法

將式(3)，重寫為下列形式：

其中，xω和yω分別為光束在x及y方向的半徑，I0為峰值強度。光束中的總能量Ptot為上式的積分：

在刀口法中，一般只測x方向上的能量，則：

方差＝1/2的高斯分布的二倍積分。)對比方程(14)的表達式可知：

所以，光束在x方向的能量(以誤差函數形式)的表達式為：

以誤差函數表示的高斯分布函數，為高斯概率密度函數的積分，如下式：

測量 10%,的功率對應的X并記為X10，代入(16)中，得：

整理后為：

帶下標的ω表示是經由x方向測得的光束腰斑的半徑。

采用刀口法，理論上任何的功率透過率的比值[P%,/(1-P%,)]都存在有的等式(A為常數，但并不相同)。為了便于應用，計算了各種功率比值的比值表，使用中測出P%,/(1-P)%,的X方向的差值ΔX ，再選取所對應的A代入(20)，即可得到高斯光束的腰斑半徑(見表1)。

表1 P,%/(1-P)%和對應的A值Tab.1 P,%/(1-P)%, and the corresponding A values

誤差分析表明，采用 90%/10%法，因其使用了誤差函數最大變化區域的端點，故其誤差最小。為保證測量的準確性，一般采用多次測量，再取平均值的方法以消除測量誤差。

4 結 論

本文從高斯激光束強度的角度出發，簡要地介紹了高斯光束的概念及相關參數，如高斯光束的束寬、瑞利距離、共焦參數、“M,2”值、光強分布、光斑的有效面積及能量密度等，并介紹了一種測量高斯光束腰斑尺寸的新方法——90/10刀口法。能夠更加快速、精確地測量高斯光束的腰斑尺寸，這對與之相關的應用如光斑的有效面積、光束質量因子的判定等有著重要意義。

［1］ Palais J C. Fiber Optic Communications[M]. 5版. 北京：電子工業出版社，2009.

［2］ Mathews J H. Numerical Methods Using MATLAB[M]. 3版. 北京：電子工業出版社，2002.

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