對數求導法的問題探討

宋大謀+鄭愛武

摘 要：針對用對數函數求導法去求函數的導數，函數的值域的正負、利用對數的性質改變了函數的定義域對求導的影響以及對數求導法求出的不可導點是否真的是函數的不可導點，本文作出論述。

關鍵詞：對數；值域；定義域；求導數

在教學中，教師只介紹對數求導的方法后就講例題應用，而一些肯鉆研的學生總覺得這種方法有些不嚴謹，對此提出質疑。本文對此作出一些探討。

問題一：若函數的值域是負數，能否取對數？

對數求導的方法是在原函數的兩邊取對數，而不管函數值的正負。我們知道負數是沒有對數的，故心存疑惑。針對這個問題，先將原函數兩邊取絕對值，即將函數y=f（x）先變為|y|=|f（x）|，然后再兩邊取對數就有：ln|y|=ln|f（x）|，下面討論[ln|y|]′=（lny）′。

（1）當y>0時，顯然有|y|=y，所以ln|y|=lny，

故[ln|y|]′=（lny）′=1yy′，這就是教材上常用的對數求導法的第一步。

（2）當y<0時，有|y|=-y，所以ln|y|=ln（-y），

故有[ln|y|]′=[ln（-y）]′=1-y（-y）′=1-y（-1）y′=1yy′，即有[ln|y|]′=（ln）y′。

綜上不論y>0還是y<0，都有[ln|y|]′=（lny）′=1yy′，這說明不論y>0還是y<0，函數的兩邊都可以直接取對數，然后再去求導。

問題二：取對數后，利用對數性質運算時，改變了函數的定義域，對函數的求導是否有影響？

本文以例題說明：求函數y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）的導數。

解：兩邊取對數：lny=ln（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）（a）

lny=12[ln（x-1）+ln（x-3）-ln（x-5）-ln（x-6）]（b）

兩邊求導數：1yy′=121x-1+1x-3-1x-5-1x-6

所以：y′=12（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）1x-1+1x-3-1x-5-1x-6（c）

在這個求解過程中，很多同學認為式（a）變到式（b），定義域明顯地改變了，定義域只是原來函數定義域的一個區間，這種改變是否影響到所求的導數？為解決此問題，我們把原函數的定義域按區間分成3個對應區間來討論。

函數y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）的定義域為：x∈（-∞，1]∪[3，5）∪（6，+∞）

（1）當x>6時，顯然取對數后得到式（b），而式（b）的定義域仍為x>6，這個變化是恒等變形。（b）兩邊求導后得到的結果是式（c）。

（2）當3

y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）=（x-1）（x-3）（5-x）（6-x）

兩邊取對數則有：

lny=12[ln（x-1）+ln（x-3）-ln（5-x）-ln（6-x）]（d）

式（d）的定義域仍是3

（3）當x<1時，用同樣的方法，將函數恒等變形為

y=（x-1）（x-3）（x-5）（x-6）=（1-x）（3-x）（5-x）（6-x）

同樣有：lny=12[ln（1-x）+ln（3-x）-ln（5-x）-ln（6-x）]（e）

式（e）的定義域仍為x<1。最后求導的結果仍可以化為式（c）。

綜上3種情況，用對數的性質后，對定義域沒有影響，所求得的函數的導數的結果都是一樣的。

基于以上的討論，我們發現，對于復雜的根式分式函數，不論f（x）>0，還是f（x）<0，都可以用對數求導法去求導數。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學.北京：高等教育出版社，2014.

作者簡介：

宋大謀，鄭愛武，湖北省宜昌市，湖北三峽職業技術學院。