基于非球面透鏡組激光光束整形設計

張元芫+劉海勇

摘 要：本文針對激光顯示領域激光光束光強均勻分布要求，本研究基于非球面透鏡組激光光束進行整形設計。文中通過闡述激光光束光強均勻分布原理，著重論述了出射光束分布選擇、線映射函數及球面參數確定3個非球面透鏡組設計內容。在此基礎上，選擇勻化洛倫茲函數為輸出光束的光強分布函數，展開實例設計分析，旨在基于該設計方法將入射光束準直的單模高斯激光光束整形為光強均勻分布的準直平頂激光光束。

關鍵詞：非球面透鏡組；激光光束整形；設計

中圖分類號：TN249 文獻標志碼：A

激光具有高亮度、高單色性優點，但其在光存儲、平板印刷、顯示領域對激光光束的均勻性要求很高。因激光光束光強服從高斯分布，故為了獲得均勻性很好的激光光束，通常需對高斯激光光束進行整形。以往在激光光束整形時，需對其進行擴束，然后通過光闌獲取均勻分布的激光光強。這種激光光束整形設計方法盡管較為簡單，但其受光學元件光束光強透過率影響，能量損失較大。在此背景下，國外學者rieden于20世紀60年代提出一種基于非球面透鏡組的激光光束整形方法，該方法不僅可獲得均勻分布的光強，而且當激光光束通過光學元件時，能量損失較小。

1 基于非球面透鏡組激光光束整形原理

兩個非球面透鏡即可構成一個非球面透鏡組整形系統。結合一個非球面透鏡形狀可將非球面透鏡組整形系統劃分為兩種類型。若一個非球面透鏡形狀為凸面時，非球面透鏡組整形系統為開普勒型；若一個非球面透鏡形狀為凹面時，非球面透鏡組整形系統為伽利略型。

本文著重以伽利略型的非球面透鏡組整形系統為例，對激光光束光強均勻分布原理進行論述、分析。該整形系統分別由一個關于光軸旋轉對稱的“平-凸”非球面鏡L2和“平-凹”非球面鏡Ll組成。其中，非球面鏡L2的主要功能是對激光光束的相位分布狀態進行調整，以保證經Ll調制的準直激光光束在“平一凸”非球面鏡L2中平行出射，從而獲得強度均勻分布的激光光束。

對此，基于這一原理，本研究主要遵循兩非球面透鏡間任意光束光程相等、斯涅爾折射定律及激光入射與出射束能量守恒定律，對非球面透鏡組整形系統進行設計分析。

2 選擇合適的輸出光束形狀

只有激光出射光光強均勻分布，方可滿足激光光束均勻化要求。故基于非球面透鏡組進行激光光束整形設計時，首先需對激光輸出光束的具體形狀進行合理選擇。因激光出射光束函數分布狀態趨于階梯形，邊界陡峭，故通常選擇Lorentzian函數、Fermi-Dirac distribution函數、超高斯函數等，作為激光出射光的均勻分布光束函數。

可確定激光光束軸上光強最大值Δzmax。

當S=0時，公式（7）過渡到光闌-透鏡分離系統，最終可得到所需的平頂高斯光束。通過上述函數關系運算分析可知，選擇Lorentzian函數或超高斯函數都可得到設計所需的平頂光束分布。當確定激光出射光的光強均勻分布后，還需對“平——凸”非球面鏡L2和“平——凹”非球面鏡Ll兩個非球面之間的光線映射函數進行確定；同時，需合理確定“平——凸”非球面鏡L2和“平——凹”非球面鏡Ll兩個非球面各自的間距和具體形狀，從而完成非球面透鏡組激光光束整形設計。

3 確定線映射函數

在設計過程中，要想獲得“平——凸”非球面鏡L2和“平——凹”非球面鏡Ll兩個非球面各自的形狀，需基于能量守恒定律，確定以下勻化洛倫茲光束分布函數（即光線映射函數）不同曲線之間的關系，如圖2所示。

根據能量守恒條件可知，激光出射光束包括在s內的能量與出射光束包括在s范圍內的能量相等。則由激光出射與入射光束間的能量守恒定律可得如下洛倫茲函數：

4 確定描述兩個非球面形狀的方程

在對兩個不同形狀的非球面方程進行描述時，可基于光線傳輸時的等方程條件和斯涅爾折射定律及幾何光學方法等，確定非球面參數。20世紀70年代，國外學者reuzer提出了一種通用的非球面參數確定方法，其中在球面形狀計算原理示意圖中，出射光線、第二個非球面的交點與光軸的垂直距離用r2表示，入射光線、第一個非球面的交點與光軸的垂直距離用r1表示；另外，R和d分別表示兩個透鏡的最大尺寸和兩個球非球面之間的距離；t為兩個非球面透鏡平面之間的間距。故基于非球面透鏡組進行激光光束整形設計時，可結合非球面形狀計算原理，對t與d、折射角、入射角4個參數進行確定。其中，θ表示兩個非球面間的光軸與光線的夾角；W表示位于兩個非球面之間的激光光線長度。

為了進一步簡化設計流程，本研究假設兩個非球面透鏡之間夾雜的主要介質為空氣，折射率均n=1；兩個非球面透鏡的形狀分別由z1（r）和z2（r）表示，函數如下：

（11）

由此得到描述兩個非球面形狀的函數，二者均不存在解析解，計算時需對各自的間距值進行求解。在具體計算過程中，可基于激光光束經光闌-透鏡分離系統后的函數矩陣，假設激光光束波長λ和兩個非球面透鏡之間的焦距f分別為1.06m和200mm。

（1）在光強隨S的變化曲線中，N、Fa和Fw分別取10、2.0與4.0；S依次取0、100、200、300和400。通過光強隨S的變化曲線圖可知，S不論取何值，焦點處光強均為39.2。但隨著S取值不斷增大，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax逐漸在由焦點左側向右側移動。當s/f <1，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax位于焦點左側，此時激光光束軸上光強分布最大值Δzmax<0；而隨著S取值不斷減小，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax逐漸在向左側移動；當s/f =1，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax為0，此時激光光強最大值位于焦點處；當s/f >1，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax>0。隨著S取值不斷增加，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax又會不斷由左向右移動，最后遠離焦點位置。endprint

（2）在光強隨Fa的變化曲線示意圖中，當S=100mm時，N和Fw分別取10、2.0，由激光光束軸上光強分布最大值Δzmax隨Fa的變化曲線可以發現，當Fw取2.0，N取10時，隨著光闌菲涅耳數Fa不斷增大，焦點附近軸上光強最大值逐漸與非球面透鏡焦點相互靠近。在此過程中，焦移逐漸減小。當光闌菲涅耳數Fa取值增大到一定程度后，光闌衍射效應就會散失，此時激光光強分布曲線逐漸趨于穩定，激光光束軸上光強分布最大值Δzmax不再焦移。由此分析結果可知，當光闌菲涅耳數Fw不斷增大時，焦移現象也會更加明顯；當其達到一定數值后，焦移現象散失。

（3）在光強分布隨Fw的變化曲線中，同樣假設S=100mm，N=10，Fa=2.0。此時由變化曲線可知；隨著Fw不斷增大，軸上光強最大值靠近透鏡焦點，焦移減小。當Fw值增大到一定條件后，軸上光強分布最大值Δzmax趨于穩定。由此可知，隨著Fa不斷增大，Fw不斷減小，仍有焦移現象，Fw越小，焦移現象越顯著。

5 基于非球面透鏡組激光光束整形設計案例

5.1 整形參數選取

基于以上理論分析，本文著重選取波長為10.6μm的CO2激光器出射光線為整形研究對象，并基于上述研究過程，選擇勻化洛倫茲函數作為該CO2激光器激光輸出光束光強分布函數，結合不同S值時的函數形狀，取激光光束光闌菲涅耳數Fa=10，Fw=3.0，兩個非球面鏡的半徑r=5mm，兩個透鏡的折射率n和射光束束腰半徑分別為1.4852mm和2.359mm。

在對該系統進行整形設計前，首先需確定透鏡材料及非球面透鏡厚度。因單片透鏡整形系統筒長小于雙片結構，單片結構與雙片結構相比，其光線在經過第1個折射面后，會有較大的偏折角度。所以，為了確保非球面鏡各區域曲率半徑保持在合理的設計范圍內，本研究將透鏡厚度d控制在20mm左右。在選擇透鏡材料時，主要綜合考慮透鏡折射率與透過率兩大指標。因高功率二氧化碳激光器波長所在波段為紅外波段。故為了提高能量吸收率，本研究所選透鏡材料為ZnSe，其不僅吸熱系數小，而且折射率符合激光光束整形設計要求；當波長為10.6μm時，其折射率為2.402662。

5.2 計算與擬合矢高

將初始設計參數代入前文勻化洛倫茲函數中，可得透鏡半徑與前后表面矢高之間的關系數據組[（z，r）和（Z，R）]；然后，采用龍貝格積分法進行參數求解并對計算結果進行非線性擬合，從而綜合權衡激光光束整形難度與擬合精度，最終得到表1所示的包括 8 個非球面項和一個二次曲面項在內的單片非球面透鏡參數，該參數不僅易于加工整形，且具有良好的光學性能。

5.3 性能優化

結合上述計算參數，可求得兩個球面的數值解，最終分別由開普勒型和伽利略型非球面方程的數值解曲線，可以發現光軸旋轉對稱的“平—凸”非球面鏡L2和“平—凹”非球面鏡Ll兩種類型的非球面都關于光軸旋轉對稱。

在具體設計過程中，二者主要區別在于開普勒型的第一個非球面為凸面結構，而伽利略型的第一個非球面為凹面結構。因ZnSe非球面與基片材料加工成本高，故為了避免在實際設計過程中出現技術缺陷，在整形前，還要對其設計性能進行優化，主要在ZEM-AX中輸入非球面初始化條件及結構參量，然后基于物理光學傳播原理進行非球面透鏡組激光光束整形設計性能優化。

最終分析優化結果表明，OPD=±0.01λ，波前峰谷值=0.0002λ，從而使激光出射光束為平頂光束，達到了激光光束整形目的，且伽利略型的凹面結構彎曲程度要小于開普勒型的凸面結構的彎曲程度。

結語

綜上所言，本文基于非球面透鏡組激光光束整形原理，分別選擇光軸旋轉對稱的“平-凸”非球面鏡L2和“平-凹”非球面鏡L1兩種類型的非球面，通過設計一種光闌-透鏡分離系統，依次選擇了Lorentzian函數、Fermi-Dirac distribution函數、超高斯函數等，作為激光出射光的均勻分布光束函數。遵循兩非球面透鏡間任意光束光程相等、斯涅爾折射定律及激光入射與出射束能量守恒定律，對非球面透鏡組整形系統進行設計分析。研究過程中，分別經過選擇合適的輸出光束形狀、確定線映射函數及確定描述兩個非球面形狀的方程，通過具體的非球面參數對兩種類型的非球面激光光束進行整形優化設計。結果表明，基于準直單模高斯光束整形的非球面透鏡設計方法，通過數值計算精度控制和激光輸出光束函數選擇變換，最終可得到更為精確的數值解。但該設計方法也存在一定的不足，如設計過程忽略了光束衍射效應影響。因此，要想得到效果更好的均勻光束，在今后設計實踐中還需考慮激光光束衍射效應帶來的影響。

參考文獻

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