從一些具體的線性方程組中了解線性代數中一些概念的產生

王文婭++郭仲凱

摘要：本文從一些具體的線性方程組的解法出發，考察線性代數中一些相關概念的提出。

關鍵詞：線性方程組；行列式；矩陣；向量組

華羅庚曾經說過，從具體到抽象是數學發展的一條重要大道。因此教師在教授相關知識的時候也應該遵循這個原則，從具體的東西出發，一步一步的抽出其中包含的內在規律從而達到一般化，使學生對其所學的內容有著較為深刻的理解。本文從一些具體的線性方程組的解法出發，考察線性代數中一些相關概念的給出，使學生了解到一些概念的給出是自然的，是為了在線性方程組的解的問題上方法更為統一，從而提高學生對數學中一些問題的分析能力和認知能力。

線性代數教材的第一章一般都是講行列式以及行列式的各種計算，行列式概念的提出應該不止一種原因，但我們應該選擇一種學生已有知識結構的情況下從已有的知識過渡到行列式的概念。讓學生了解原來所學的東西與我們以前的知識是相關的，并且比之前所學的更一般，得出這樣一般的結論的原因是因為我們對過去所學的東西做了充分的觀察與分析，正因為作了充分的觀察與分析我們發現了一定的內在規律，為了把這些內在的規律顯現出來我們需要一些新的概念，從而新的概念就誕生了，這是一個很自然的過程。

考慮線性方程組 ，很容易得出方程的解為 當然如果就此罷手則我們永遠停留在如何解這種形式具體的方程組，這好像一個人每次碰到一個不同的圓時都能花時間求出這個圓的面積一樣，但他卻不知道圓面積的內在規律是半徑的平方乘以π，類似的道理我們要問，有沒有一種方法能夠把這種形式為 個有效方程 個未知量的方程組統一解決呢？答案是肯定的，這就是克萊姆法則所所回答的，通過運算我們發現如下規律： 不難看出分子分母形式上看其實都一樣，這可以說算得上是一個內在的規律，因此我們可以給一個統一的定義，這個定義就是行列式，定義如下： ，由此，方程的解為 ，

因此分母其實就是有方程組等式左邊相應位置的系數構成的，而分子分別用方程組右端的數分別替換掉 的系數（當分別求解 時），這就是一種統一的方法，也是我們尋找的內在規律，當然我們如果需要解決這種類型更一般的方程組，我們需要給出一般方程組的系數所構成的行列式的定義，以及行列式的算法，為此會產生逆序等相關的概念以及一系列行列式的計算方法。

考慮方程組 ，對于這種方程組我們能不能利用克萊姆法則去解呢？顯然不行，因為其系數行列式沒有定義，因此處理這種方程組我們得尋求其他方法，或者尋找其他處理工具，為此我們引入矩陣，其實就是把方程組里的系數列成一個數表，如下：

，因此我們可以以這個角度來看線性方程組，即一個方程組對應一個矩陣。

考察線性方程組 ，其對應的矩陣為

利用初中解方程的方法可得原方程組等價于 ，其對應的矩陣為 再次做等價變換則原方程組等價于 ，其對應的矩陣為

再次做等價變換則原方程組等價于 ，其對應的矩陣為

再次做等價變換則原方程組等價于 ，其對應的矩陣為

從上面的過程可以看出，為了解出方程我們運用了交換兩個方程，對應于矩陣中為交換兩行；某一個方程乘以倍數，對應于對矩陣中某行乘以倍數；某個方程的倍數加減到另一行，對應到矩陣為某一行的倍數加到另一行，對于矩陣中這樣的運算我們稱為初等變換。由此看出初等變換這個概念其實就是我們初中解方程組的另一種描述而已。同時行階梯行最簡矩陣相應而生，因為行最簡的形式就是與我們消元法中把方程組等價變形為最簡單形式的等價方程組對應。

考慮方程組 ，對應的矩陣為

利用消元法的出其等價方程 ，無解，其對應矩陣為 ，即如果方程組對應的矩陣滿足 這種情形則原方程無解，其特點除去最后一列則非零行為1行，加上最后一列，非零行為2不等于1，對于只考察通過初等變換化成行階梯形式中的非零行的行數，書上給出的概念為秩（秩的大小可以理解為有效方程的個數），并且有相應的結論，即除去最后一列和加上最后一列兩種情況的秩如果不同： 則方程無解，由此可以看出秩的這個概念對于方程組有解還是無解的判定有一定的方便，具體參看教材利用秩判定齊次方程和非齊次方程有解無解的條件。

考察方程組 ，不難計算該方程組等價于 ，即不存在 使得 成立，按照教材上的定義稱向量 不能由 與 線性表示。

所以線性表示其實是非齊次方程有解無解的另一種描述。類似的，線性相關與線性無關對應于齊次方程是否有零解與非零解的另一種描述。

考慮方程 ，不難利用矩陣的運算可得方程組可化為 ，抽象為 ，其中 ，而 類似于初中的 ，對于 兩邊同時乘以 可得 即可解出未知量，那么對于 是否有類似的運算呢？使得 ，為此我們需給出 的定義，也就是矩陣逆的概念，當然需要注意只有可逆的方陣才能求逆，因此該方法只能處理一部分方程組。

一般的線性代數教材大部分內容其實都圍繞線性方程組是否有解，如果有，解的具體形式是什么，如果沒有，為什么沒有等一系列問題展開，從而引入一系列相關的概念以及工具和結論，從而達到在統一的框架下解決所有線性方程問題。這與圓的面積有統一的計算公式是一個道理。所以數學學習還是要從具體出發，然后過渡到一般，最后再回到一般的具體（練習），從而熟能生巧，統一解決類似的問題。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系 線性代數 （第四版） [M] 北京：高等教育出版社. 2003

[2]張軍好， 余啟港， 歐陽露莎. 線性代數 （第二版）[M] 北京：科學出版社. 2014

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