從兩道競賽題看冪級數展開式的應用

張建軍+宋業新++瞿勇

摘 要：冪級數展開式的應用是高等數學理論體系中和實踐聯系最為緊密的內容之一。本文進一步探討了冪級數展開式的應用，介紹了運用冪級數展開式討論定積分和反常積分的論證和計算問題的理論基礎和思想方法，通過兩道典型的數學競賽題的難點分析及求解過程，說明了運用冪級數展開式求解相關問題的主要步驟和要點，幫助學生充分重視、全面掌握相關知識點。

關鍵詞：高等數學 冪級數展開式 反常積分 定積分 和函數

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）10（c）-0224-02

冪級數展開式的應用是大學高等數學課程中的重要內容，是高等數學理論體系中和實踐聯系最為緊密的內容之一。

筆者在長期教學實踐特別是本校全國大學生數學競賽的培訓教學中，深深感到，歷年的預賽和決賽中經常出現定積分特別是反常積分方面的難題，它們大都無法運用常規方法求得，需要借助于冪級數展開才能得到有效解決；同時與此形成反差的是，學習中部分學生對冪級數展開式的應用及反常積分的計算這兩方面的理論和方法重視很不夠且不得要領，因而掌握較差。因此我們在各項教學中一直非常重視對相關知識點的教學法進行探索，幫助學生充分重視、全面掌握這些知識點。以下介紹我們在競賽培訓中“運用冪級數展開式討論定積分和反常積分的論證和計算”的教學中的做法，希望起到拋磚引玉之作用。

1 冪級數、定積分與反常積分

（1） 冪級數。

冪級數是一種特殊形式的函數項級數，由于其方便的代數運算性質以及在收斂域內連續、可積和在收斂區間內可無限次求導等非常良好的分析運算性質，使得其天生就是數學中處理基本計算如函數的微積分、微分方程的重要工具；同時更為重要的，它也是表達函數、研究函數和數值計算的一個利器，除了高等數學教材中介紹的它在近似計算等方面的應用之外，冪級數的理論及方法在科學技術和工程的多個領域均具有極其廣泛的應用。

（2） 定積分與反常積分。

通常，定積分指積分區間為有限區間及被積函數為有界函數的積分；反常積分包括兩類，即無窮限區間的積分或無界函數的瑕積分，在高等數學教材中對反常積分的審斂法進行了簡要介紹，反常積分不僅在數學的概率統計分支具有重要的基礎作用，在物理學及工程領域也由于其廣泛的應用越來越顯現其重要性。

2 運用冪級數展開式求解定積分和反常積分問題

復雜的定積分和反常積分問題，其困難往往在于被積函數的原函數很難求得或無法用初等函數表示，也就無法直接運用牛頓─萊布尼茨公式計算。運用被積函數的冪級數展開式計算定積分或反常積分，首先可按冪級數展開方法將被積函數在積分區間上展開成冪級數或普通函數項級數，然后利用冪級數的逐項求導或逐項積分性質以及積分號和求和號的交換，將復雜的積分轉化為相對簡單的級數項的積分，進而將原問題轉化為常數項級數的求和問題。

例1：證明： 。

分析：本題非常復雜，若從等式左邊入手，的原函數難于求得；從等式右邊入手，該級數的和用常規方法很難求出，也無法直接運用冪級數的和函數來求得。因此要進一步分析題意。由于，故可將左邊的積分看作正常積分。要理解題目的意圖：事實上，由定積分的定義，等式的左邊可以看作為乘積和式的極限，再由數項級數的定義，右邊也可視為部分和式的極限，因此證明二者相等非常自然；那么，能否把二者轉化成為同一類呢？其實，可先按指數函數的冪級數展開將函數展開，利用逐項積分性質交換積分號和求和號的次序，計算級數項的積分后再求和，即可證明該等式。

證：利用指數函數的冪級數展開式，并逐項積分，就有

，

而為求得等式右邊級數通項中的積分部分，考慮

，

其中，在上式第三個等式中的，是由于

因此，故

。

在競賽培訓課中講解該題目，可先提問，使學生意識到問題的復雜性，同時揭示困難所在；再提示冪級數展開方法，重點分析該方法如何起到“化難為易”的作用。按上述教學設計，通過深入淺出的題意分析，運用級數展開、分部積分等方法，解題的過程一氣呵成。

證明上述結論后，教師還可以啟發學生繼續思考：本題的結論能否給我們帶來有益的啟示呢？事實上，如果從等式右端向左端看，盡管級數和的精確值無法通過常規方法得出，但可以通過定積分給出其精確值的一個表達式；另一方面，如果從等式左端向右端看，雖然無法得出定積分的精確值，卻可以給出其值的一個級數表達式，真是相映成趣、耐人尋味！通過這樣的教學設計，能夠加深學生對上述方法和結論的理解。

例2：設，。

（1）證明：時，；（2）計算。

分析：本題是一個有難度的綜合題。要準確分析題意：第一問中，對冪級數，能直接按常規方法求出其和函數的表達式嗎，求出后不是可以方便地驗證欲證的恒等式嗎？另一方面，能否不求出的表達式而直接證明該式呢？可讓學生反復思考這兩個問題，把前者留待學生課后討論完成；對于后者，可揭示只需將和對數函數均展開成冪級數，再運用冪級數和函數的運算性質證明左端函數的導數為0即可；對第二問，首先，似乎所求積分為定積分，但注意到，故該積分實為無界函數的反常積分，點為被積函數的瑕點；其次，如采用高等數學教材中介紹的常用方法計算該瑕積分，欲采用牛頓─萊布尼茨公式計算，由于被積函數較為復雜，換元法、分部積分法等各種方法均難奏效。

這時，如果注意到函數在上可展開成冪級數，再交換求和號與積分號，即可將反常積分轉化為常數項級數和的計算，這是第二個難點。該常數項級數的和通常可將其轉化為某冪級數的和函數在收斂域內某點處的值，再根據第一問，問題就可能迎刃而解。

解：（1）易見冪級數的收斂域為，且和函數在上連續。令

由于，以及，可知函數在上連續。當時，運用和函數的逐項求導性質及對數函數的冪級數展開式，就有

，

因此時，恒為常數。由于，故時，

。

（2）注意到時，，故

，

其中第三個等號成立是由于根據例1中的結果，有。

而級數的和，不難看出它正好是冪級數的和函數在的值。在（1）中的等式中，令，可得，從而，因此，。

教師在講解完此題后，肯定有很多學生會有疑問，能否直接求出s（x）的解析表達式呢，計算的困難又在哪兒呢？教師可要求學生課后小組討論并體會直接求解s（x）的困難，從而使他們深刻地體會解題方法的重要性，并幫助他們更好地掌握冪級數和函數的運算性質。

盡管競賽題綜合性強、難度大，但只要深入細致地分析問題，綜合運用相關基本理論和基本方法，問題都能迎刃而解；同時教師在教學時還應該強調，冪級數展開式之所以能很好地運用于定積分或反常積分問題的論證和計算，其根本原因還在于，從本質上而言，冪級數和定積分或反常積分均為無窮和的極限，二者同根同源，定然存在千絲萬縷的關系，因而在求解相關問題時，運用二者的關系，往往能收到很好的效果。教師在數學競賽培訓等教學中應該不斷創設困難問題的情境，以疑難問題的科學分析驅動競賽教學，激發學生的創新思維，不斷提高其分析問題和解決問題的能力。

參考文獻

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