基于Matlab的數(shù)字圖像離散傅里葉變換及應(yīng)用

趙宇杰 石海麗 趙彥敏 高楠 蘭州城市學(xué)院電子與信息工程學(xué)院

1 緒論

圖像是人們獲取信息的主要形式之一，要對(duì)圖像進(jìn)行有效和快速的處理和分析，可采用空間變換、傅里葉變換、離散余弦變換等間接處理技術(shù)，能夠減少計(jì)算量、提高效率。本文闡述了數(shù)字圖像的離散傅里葉變換的基本原理，并用Matlab來實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的頻域正變換、低通或高通濾波和頻域逆變換。

2 數(shù)字圖像的離散傅里葉變換及應(yīng)用

2.1 原理

利用離散傅里葉變換（DFT），對(duì)數(shù)字圖像的信號(hào)實(shí)現(xiàn)從空間域到頻率域的變換，使數(shù)字信號(hào)處理中常用的頻域處理技術(shù)能夠直接應(yīng)用于數(shù)字圖像的處理，能夠大大拓展圖像處理的思想和方法。假設(shè)表示一幅經(jīng)過均勻采樣并進(jìn)行灰度量化后的M行N列的二維數(shù)字圖像的離散函數(shù)（即灰度分布函數(shù)），其DFT定義為

其反變換為

2.2 應(yīng)用實(shí)例

以提高圖像清晰度、改善圖像視覺效果為目的的圖像增強(qiáng)技術(shù)，能夠使圖像轉(zhuǎn)化成一種更適合人工觀察或機(jī)器分析的形式[2]。圖像增強(qiáng)技術(shù)有兩類方法：空間域法和頻率域法?？臻g域法是在空間域中對(duì)數(shù)字圖像的像素灰度值直接進(jìn)行運(yùn)算處理；而頻率域法是在數(shù)字圖像先進(jìn)行某種變換域，再對(duì)變換值進(jìn)行運(yùn)算。本文中采用頻率域法，先對(duì)圖像進(jìn)行DFT，再對(duì)圖像頻譜進(jìn)行濾波，然后將濾波后的變換值反變換到空間域，最終得到被增強(qiáng)的圖像。

巴特沃思低通濾波器的低通效果比較理想[3]。下面是采用巴特沃思低通濾波器進(jìn)行圖像增強(qiáng)的實(shí)例，依次使用Matlab的imread、rgb2gray、double、fft2、ifft2等進(jìn)行圖像數(shù)據(jù)讀取并將其轉(zhuǎn)換成灰度圖像、數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換、FFT正變換、濾波和反變換得到圖1所示的結(jié)果。若原圖像的灰度為突變狀態(tài)，則經(jīng)過FFT正變換后在頻域中得到高頻分量；若灰度的變化比較平緩，經(jīng)過FFT正變換后在頻域中得到低頻分量[4]。原圖像中的老人臉上布滿皺紋，增強(qiáng)后的圖像中皺紋不再明顯。從一幅尖銳的原始圖像產(chǎn)生平滑、柔和的外觀，這就是圖像平滑的過程，但此時(shí)圖像的邊緣清晰度可能會(huì)降低，圖像變模糊的實(shí)質(zhì)是高頻分量被衰減。

圖1 采用低通濾波的變換效果

上面的實(shí)例通過衰減DFT的高頻成分使圖像變模糊。對(duì)低通濾波進(jìn)行“反操作”（即高通濾波）的過程，能夠使圖像銳化化，突出圖像的邊緣信息，是原其圖像輪廓特征得到，這種處理與圖像平滑正好相反。由于高通濾波可以增強(qiáng)圖像的邊緣和輪廓，可視為一種特殊的圖像增強(qiáng)操作[5]。下面為采用巴特沃思高通濾波器進(jìn)行圖像增強(qiáng)的實(shí)例，處理效果如圖2所示。圖像中的汽車、樹木和房屋經(jīng)過處理濾去了低頻分量后只顯示原圖像的邊緣信息，突出了整體輪廓。

圖2 采用高通濾波的變換效果

從上述圖示效果來看，DFT的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為頻率分布函數(shù)，而反變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)，低通濾波和高通濾波在正變換和反變換之間作用于圖像灰度值，實(shí)質(zhì)上是作用于圖像的頻率。

3 結(jié)論

通過分析上述兩次圖像處理的效果，可以看出數(shù)字圖像的灰度反映了圖像頻率，灰度突變對(duì)應(yīng)于高頻分量，而灰度變化緩慢對(duì)應(yīng)于低頻分量。低通濾波能夠削弱圖像的高頻分量，平滑了圖像信號(hào)，同時(shí)有可能使區(qū)域邊界變模糊；而高通濾波通過增強(qiáng)高頻成分來減少模糊，會(huì)使模糊的邊緣部分得到增強(qiáng)。這就是用DFT進(jìn)行圖像平滑和邊緣提取的依據(jù)。

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