一類HJB方程的迭代算法求解

李明偉 云南開放大學(xué)

在實(shí)踐當(dāng)中，HJB方程應(yīng)用范圍較廣，涉及到科研、工程建設(shè)以及經(jīng)濟(jì)建設(shè)等多個(gè)領(lǐng)域，尤其是對(duì)一些最優(yōu)控制問(wèn)題的求解，常用的技術(shù)手段為動(dòng)態(tài)規(guī)劃，直接產(chǎn)生的形式為HJB方程。在這一過(guò)程中，對(duì)于一些非線性期權(quán)定價(jià)方面的工作，也可以使用HJB方程，完成問(wèn)題的轉(zhuǎn)換和解決，下面筆者結(jié)合相關(guān)方面的研究，對(duì)本課題進(jìn)行詳細(xì)論述[1]。

1 對(duì)一類HJB方程進(jìn)行介紹

1.1 HJB方程數(shù)值解

對(duì)于HJB方程主要是對(duì)于有關(guān)方面研究的三位專家名字首字母的縮寫，其具體形式如下所示：

當(dāng)u（x）=0時(shí)，x的取值范圍在θΩ范圍之內(nèi)，在具體判定過(guò)程中，主要的依據(jù)是Ω是否屬于Rn，如果在其范圍之內(nèi)，則可判斷光滑，存在界域，將fv（x）從屬于C2（Ω）設(shè)置為既定函數(shù)，那么Av可以被定義為二階一致橢圓算子。在具體應(yīng)用過(guò)程中，相關(guān)的求解方法源于動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理[2]，而對(duì)于HJB方程的求解方法，最早出現(xiàn)的是對(duì)其進(jìn)行離散化處理，使用的是有限元法或者限差方法，然后求解離散化方程的數(shù)值，具體步驟如下：

首先，當(dāng)v屬于1——m范圍之內(nèi)，進(jìn)行方程組求解，將具體的解記做u0h，m.公式如下：

其次，在n值不小于1的情況下，且1≤v≤m時(shí)，給出條件為在這一過(guò)程中求解方程組，并將具體的解記做.需要求解的方程組如下所示：

1.2 多重網(wǎng)格法

有關(guān)于多重網(wǎng)格法的基本思想體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：通過(guò)實(shí)際的計(jì)算案例可以證明，需要使用常規(guī)單網(wǎng)格迭代模式，保證迭代法的科學(xué)性，促進(jìn)橢圓型邊值求解的準(zhǔn)確和方便，收斂速度會(huì)隨著迭代的進(jìn)行逐漸減慢，之所以產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因是：相對(duì)網(wǎng)格步長(zhǎng)，可以將初始誤差分為低頻光滑分量和高頻擺動(dòng)分量，只要松弛因子選擇合理，高頻分量的誤差衰減效果將會(huì)較為明顯，而對(duì)于低頻分量，通過(guò)松弛因子的選擇來(lái)提高誤差衰減效果是不可能的，因此，可以總結(jié)為，采用固定的單網(wǎng)格迭代模式時(shí)，光滑的誤差分量衰減速度較慢，降低了收斂速度。使用多重網(wǎng)格法就是為了消除這一隱患，根據(jù)網(wǎng)格尺度來(lái)劃分，細(xì)網(wǎng)格上面被認(rèn)定為低頻光滑分量，粗網(wǎng)格上面被認(rèn)定為高頻擺動(dòng)分量，在使用該方法的過(guò)程中，先進(jìn)行細(xì)網(wǎng)格迭代，衰減掉相應(yīng)的擺動(dòng)分量，然后在粗網(wǎng)格上完成低頻光滑分量的衰減，這樣會(huì)早知網(wǎng)格逐漸加粗，消除各種誤差分量，當(dāng)處于最后層粗網(wǎng)格時(shí)，節(jié)點(diǎn)數(shù)量較少，可以通過(guò)直接解法計(jì)算，最后通過(guò)粗網(wǎng)格逐步返回各層細(xì)網(wǎng)格開始計(jì)算，經(jīng)過(guò)多次計(jì)算，得到所需的數(shù)值[4]。

1.3 瀑布型多重網(wǎng)格法

根據(jù)多重網(wǎng)格法，相關(guān)人士研究出了瀑布型多重網(wǎng)格法，這一方法的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在，無(wú)需在粗網(wǎng)格上面完成校正工作，具有單向性。在具體操作過(guò)程中，當(dāng)?shù)l(fā)生在細(xì)網(wǎng)格之上時(shí)，與粗網(wǎng)格之間存在關(guān)聯(lián)性的誤差將會(huì)降低頻率，由高頻轉(zhuǎn)化為低頻，無(wú)法實(shí)現(xiàn)通過(guò)磨光算子來(lái)減小的目標(biāo)，因此，要保證使用瀑布型多重網(wǎng)格法時(shí)，每層求解的精度要滿足最細(xì)網(wǎng)格的要求，致使粗網(wǎng)格上面發(fā)生較多的迭代。對(duì)于瀑布型多重網(wǎng)格法的最優(yōu)化評(píng)價(jià)指標(biāo)是誤差估計(jì)保持在能量范數(shù)以下，這是該方法的不足之處，而這一方法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在簡(jiǎn)捷、對(duì)于每層所發(fā)生的迭代可以進(jìn)行預(yù)先確定，主要依據(jù)是最細(xì)網(wǎng)格層數(shù)與當(dāng)前網(wǎng)格層數(shù)之差，并不依據(jù)空間維數(shù)來(lái)判斷，因此，可以用于高維問(wèn)題的解決，能起到理想效果。

2 迭代法及其收斂性的介紹

在具體分析過(guò)程中，以max1≤j≤k{Aj（u）-Fj}=0為例進(jìn)行具體分析，其中K是Rn的子集，并將K到Rn的算子記做A，對(duì)于在（v1，v2...，vn）T∈Rn范圍內(nèi)的每一個(gè)v值用v++v-來(lái)表示，對(duì)于v+代表的是max{v，0}，v-代表的是min{v，0}，其中最大值和最小值的選取依據(jù)為分量情況，F(xiàn)j從屬于Rn，對(duì)于T的單調(diào)函數(shù)記做Aj，對(duì)于j的取值范圍在{1，2，...k}之間。

在討論收斂性的過(guò)程中，如果v∈Rn且滿足：max{AJ（u）-Fj}≥0，（1≤j≤k），這時(shí)可以將v定義為max1≤j≤k{Aj（u）-Fj}=0迭代算法中的一個(gè)上解，并將所有上解組成一個(gè)集合，稱之為上解集，用S來(lái)表示。

具體算法如下：

第一步，對(duì)相關(guān)條件進(jìn)行設(shè)置，假定ε＞0，u0屬于S上解集合范圍，m：=0.

第二步，對(duì)l取值為{1，2，...n}等不同情況進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算對(duì)象為ulm+1，計(jì)算目標(biāo)主要是實(shí)現(xiàn)max1≤j≤k{(Aj（um+1，l）-Fj)l}=0，在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中，對(duì)于um+1，l要包含在{u1m+1，...ulm+1...ul+1m，..unm}范圍之內(nèi)。

第三步，假設(shè)um+1與um+1，n相等，如果ε＞‖um+1-un‖，那么停止計(jì)算，否則，將m：=m+1，回歸到第二步重新開始計(jì)算。

相關(guān)的引理如下：

設(shè)置A屬于K上面的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，將N的子集合設(shè)置為I和J，且二者之間的關(guān)系為J=N/I。所有屬于K范圍內(nèi)的y和z，如果滿足yI=zI，與此同時(shí)，還要保證yJ≥zJ，這時(shí)，得出的結(jié)論是AI（z）≥AI（y）。對(duì)其進(jìn)行論證，主要表現(xiàn)在以下方面：

只要保證y，z屬于K范圍之內(nèi)，并且保證yI=zI，與此同時(shí)，還要保證zJ≥yJ，在這種情況下，假設(shè)I∧={j∈I：A（jy）＞Aj（z）}，且還要求=，并且對(duì)于I∧的情況進(jìn)行限定，務(wù)必保證非空。

在w2=y的情況下，對(duì)于w1的定義主要分為兩種情況，當(dāng)時(shí)，（w1）j=zj+δ，當(dāng)時(shí)，（w1）j=zj，在這一過(guò)程中，δ取值為正數(shù)，并在函數(shù)A的連續(xù)性支持下，δ取值可以足夠小，這樣就可以得出，一切滿足的情況下，都可得出Aj（w2）＞Aj（w1），對(duì)這一結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，結(jié)果有兩種，其一，當(dāng)，（w1-w2）j+=δ，其二，當(dāng)時(shí)，（w1-w2）j+=0，所以，在此情況下，可以推論出：（Aj（w1）-Aj（w2））＜ 0 與（A（w1）-A（w2），（w1-w2）+）≥0相等，這是一個(gè)矛盾結(jié)果，所以，當(dāng)與Φ相等時(shí)，Al（z）≥ Al（y）。

3 區(qū)域分解法

區(qū)域分解法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)大規(guī)模問(wèn)題的分析和解決，并可以進(jìn)行并行計(jì)算，下面對(duì)其收斂性進(jìn)行驗(yàn)證，假設(shè)N=N1∪N2∪N3∪N4...∪Nq，其中q的取值為正數(shù)。

具體算法如下：

第一步，進(jìn)行條件設(shè)定，假定ε＞0，u0屬于S上解集合范圍，m：=0.

第二步，在p=1，2，3，4，...，q的情況下，分別進(jìn)行并行計(jì)算，求出非線性方程組解，

um+1，p 屬 于 Qpm+1， 結(jié) 果 如 下：max1≤j≤k{(Aj（um+1，p）-Fj)Np}=0，在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中，對(duì)于Qpm+1，要滿足與{v∈Rn：vs=usm，s∈N/Np}相等.

第三步，對(duì)um+1進(jìn)行取值的最小化，使其等于min{um+1，p}，在這一過(guò)程中，p的取值要滿足在{1，2，3，...q}范圍之內(nèi).

第四步，假設(shè)ε＞‖um+1-um‖，那么停止計(jì)算，否則，將m：=m+1，回歸到第二步重新開始計(jì)算。

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，有關(guān)于一類HJB方程的迭代算法求解方法較多，隨著研究的不斷深入，對(duì)原有的求解方法在不斷更新和改進(jìn)，但總體的原則是務(wù)必保證求解的準(zhǔn)確性，且要求簡(jiǎn)化求解過(guò)程的計(jì)算量，根據(jù)相關(guān)解法的優(yōu)劣勢(shì)進(jìn)行對(duì)比分析，互相借鑒，滿足實(shí)際需求。除此以外，研究人員，還要明確研究方向，以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決和發(fā)展趨勢(shì)為主要目標(biāo)，對(duì)于一類HJB方程的迭代算法求解進(jìn)行創(chuàng)新，為相關(guān)方面的工作開展奠定基礎(chǔ)。

[1]謝水連，許鴻儒，胡漢章.求解一類HJB方程的迭代算法[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27(2):000200-205.

[2]楊建鵝，黃曉梅.求解HJB方程的兩類迭代法研究[J].江西科學(xué)，2014，32(2):185-188.

[3]鄒戰(zhàn)勇，周叔子.求解HJB方程的擬變分不等式組的迭代法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，35(4):747-755.

[4]梁莉，李勝軍.一類HJB方程的上解和下解[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，27(6):18-20.