(2+1)-維Toda-like晶格方程的對稱變換和精確解

呂 娜，張 靜，邱旭東

(1.大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116650；2.北方民族大學 數學與信息科學學院，寧夏 銀川 750021)

1 引論

微分差分方程存在于很多領域，并具有廣泛的應用，例如計算機科學、生物數學、經濟學、組合學、數學物理、離散幾何、量子物理，等等。對于微分差分方程的研究最初是從Fermi等人在1950年的工作開始的。1991年，D. Levi和P. Winternitz[1]將李群方法推廣到離散方程，并得到了這些方程的對稱。近來科學家們對于微分差分方程的對稱性質和構造精確解以及相應的物理現象愈發感興趣，許多有效的分析方法相繼產生[2-5]。2005年，樓森岳[6]在CK直接法的基礎上巧妙地構造了一種修正的直接法，稱為“樓直接法”，該方法不涉及群論思想，結果形式簡單，易于使用。

樓直接方法的主要思想為：對于給定的非線性微分方程

F(xi,u,uxi,uxixj,…,)=0,i,j=1,2,…,n,

(1)

設方程(1)具有如下形式的解

u(x1,x2,…,xn)=W(x1,x2,…xn,U(ξ1,ξ2,…ξn))。

(2)

式中：ξ1是(x1,x2,…,xn)的函數，且U(ξ1,ξ2,…,ξn)滿足與(1)形式相同的另一個方程

F(ξi,U,Uξi,Uξi,ξj,…,)=0,i,j=1,2,…,n。

(3)

將(2)代入到(1)，并結合(3)進行整理和化簡，得到一個關于W和ξi的確定方程組。通過逐步化簡來求解這個方程組，從而確定W和ξi的具體表達式，進而通過關系式(2)得到方程(1)的對稱變換。本文主要利用樓直接方法研究一個微分差分方程的對稱變換，并給出該方程的新精確解和數值算例。

2 (2+1)-維Toda-like晶格方程的對稱變換

考慮如下的(2+1)-維Toda-like晶格方程[7]

(4)

式中：vn=vn(x,t)。引入變換

(5)

則方程(4)變為

(6)

為了獲得方程(6)的對稱變換，令

un=A+B·U(n,ξ,τ)。

(7)

式中：A、B、ξ和τ都是關于n、x、t的函數。令U(n)≡U(n,ξ,τ)，使其與晶格方程(6)有相同的形式，但關于新的獨立變量ξ,τ，有

U(n)ξτ=U(n)τ(2U(n)-U(n-1)+U(n+1))。

(8)

將(7)式帶入方程(6)，然后利用(8)消去U(n)ξτ，得到

B(n,x,t)ξtξxU(n)ξξ+B(n,x,t)τtτxU(n)ττ+V1(n,x,t,U(n-1),U(n),U(n+1),U(n)ξ,U(n)τ)=0。

(9)

式中：V1是一個與U(n)ξξ,U(n)ττ無關的復雜函數。方程(9)對于任意解U成立，當且僅當U的各階導數項的系數為零。從方程(9)可以看出ξtξx=0,τtτx=0,不失一般性，假設

ξ=ξ(n,x),τ=τ(n,t)，

(10)

將(10)代入方程(6)，有

B(n,x,t)tξxU(n)ξ+V2(n,x,t,U(n-1),U(n),U(n+1),U(n)τ)=0。

(11)

式中：V2是一個與U(n)ξ無關的函數。消去U(n)ξ的系數，可以看出B(n,x,t)與t無關，設B(n)=B(n,x)，所以(7)可以化簡為

un=A(n,x,t)+B(n)·U(n,ξ(n,x),τ(n,t))。

(12)

下面將(12)代入晶格方程(6)中，由于U(n),U(n-1),U(n+1)是方程(8)的任意解，收集U(n),U(n+1),U(n-1)和其導數項的系數，可得關于可微函數A,B,ξ和τ的確定方程組

τt[2A(n)B(n)-A(n-1)B(n)-A(n+1)B(n)-B(n)x]=0,

B(n)τt[ξx-B(n-1)]=0,B(n)τt[ξx-B(n+1)]=0,2B(n)τt[ξx-B(n)]=0,

B(n-1)At=0,B(n)At=0,B(n+1)At=0,

A(n)xt-2A(n)tA(n)+A(n)tA(n-1)+A(n)tA(n+1)=0。

(13)

式中：A(n)=A(n,x,t)。

求解上述方程組得到

(14)

式中：f1(x),f2(x),b(x),h1(n),τ(n,t)是任意函數；n是任意常數。

結合(14)式，(7)化為

(15)

因此得到了關于Toda-like晶格方程的一個定理。

定理1 如果U(n)=U(n,x,t)是方程(6)的一個解，那么由(15)確定的un也是其一個解。

利用文獻[8]中的方法，獲得方程(6)的一個雙曲函數解，

(16)

式中：φn=dn+kx+G(t)+c，且d,k,c,δ是常數，F(x),G(t)是任意函數。

根據定理1，

(17)

是方程(6)的一個新的類孤子解，其中

(18)

3 數值算例

圖1 類孤子解(17)在n=5時的圖像

圖2 類孤子解(17)在n=5時的圖像

圖3 類孤子解(17)在n=3時的圖像

圖4 類孤子解(17)在n=7時的圖像

4 結 語

本文利用樓直接法得到了(2+1)-維Toda-like晶格方程的對稱變換，并給出這個方程一個新的類孤子解。若想直接獲得微分差分方程帶有豐富任意函數的精確解，往往計算過程比較復雜，而借助于對稱變換則可以較輕易地達到這個目的。因此對稱變換是獲得微分差分方程豐富精確解的有效工具。

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