一類基于線性排序函數的直覺模糊線性規劃的求解方法

劉坤，熊文濤，張歷洪，文俊輝

(湖北工程學院數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

線性規劃是工程技術和管理科學中廣泛使用的一類數學規劃模型，然而，在一些實際問題中，由于不確定的因素，線性規劃的系數或決策變量可能是模糊或直覺模糊不確定的。文獻[1]最先提出了帶有模糊數的線性規劃問題并給出了求解方法，但模糊數不能反映猶豫度的信息。近年來，系數或決策變量為直覺模糊數的線性規劃問題受到了研究者們的廣泛關注，提出了一系列求解方法。文獻[2]假設線性規劃中約束條件右端列向量為對稱的直覺模糊數，擴展了傳統的單純形方法；文獻[3]考慮帶有三角直覺模糊數的直覺模糊線性規劃問題，根據直覺模糊數的運算算子，提出了單純形方法的矩陣描述形式；當約束條件右端列向量是直覺模糊數時，文獻[4]利用直覺模糊數截集的概念，將直覺模糊線性規劃問題轉化為參數規劃模型并求解，得到原問題不同參數下的最優解和最優值；文獻[5]對于系數矩陣和右端列向量是直覺模糊數的線性規劃問題，利用梯形直覺模糊數的加權期望值，將其轉化成精確的線性規劃問題，得到原問題的最優解和綜合評估系數；當線性規劃的系數和決策變量均是三角直覺模糊數時，文獻[6]提出了一種排序函數，并用來求解直覺模糊線性規劃，文獻[7]指出其排序公式是無效的，并對之進行了改進，提出了一種不同的直覺模糊線性規劃求解方法。在這些求解方法中，排序函數的設計是一個關鍵的內容，不同的排序函數可能得到不同的結果，其中很多都是線性排序函數[7～9]。下面，筆者給出了一種一般線性排序函數的定義，并用來處理決策變量為精確數的直覺模糊線性規劃問題。若決策變量為精確數，系數全部或部分為直覺模糊數，則可利用線性排序函數，將直覺模糊線性規劃問題直接轉換成精確的線性規劃問題，可證明二者具有相同的最優解。然后，根據直覺模糊數的運算算子，進一步得到原直覺模糊線性規劃問題的最優值，計算的結果與直接擴展單純形法得到結果相同，但計算量大大減小，給這類問題的計算帶來了極大的方便。

1 直覺模糊數的相關概念

直覺模糊數是定義在實數集上的一種直覺模糊集，常見的直覺模糊數有梯形直覺模糊數和三角直覺模糊數，其中三角直覺模糊數可看作是一種特殊的梯形直覺模糊數。不失一般性，筆者采用文獻[6]中三角直覺模糊數的定義和基本運算算子。

在線性規劃問題中，加法和數乘是2種最常見的運算，三角直覺模糊數的運算法則如下：

(1)

(2)

文獻[3,7～9]提出了大量的直覺模糊數排序方法，并且一些方法用來求解直覺模糊線性規劃。考慮一般的線性排序函數，筆者給出三角直覺模糊數的線性排序函數定義如下。

(3)

(4)

(5)

作為一種特殊的線性排序函數，文獻[7]利用隸屬函數和非隸屬函數的α截集，給出了直覺模糊數的排序公式(6)：

(6)

筆者在文獻[7]的基礎上，考慮2種α截集的權重因子λ∈[0,1]，得到式(7)：

(7)

式中，ω,u是事先給定的，可反映決策者對直覺模糊數的主觀態度。

2 直覺模糊線性規劃的求解方法

考察如下的直覺模糊線性規劃問題：

(P1)

類似精確的線性規劃問題，可得出問題(P1)的直覺模糊可行解和直覺模糊最優解、直覺模糊最優值等概念。

定義4 若x={x1,x2,…,xn)T滿足問題(P1)所有的約束條件，則稱x為問題(P1)在L排序函數下的可行解。

為計算問題(P1)的最優解和直覺模糊最優值，可得到如下的結論。

定理1 若L為線性排序函數，則問題(P1)與問題(P2)：

(P2)

證明 (i)設Ω1、Ω2分別是問題(P1)和問題(P2)的可行域，則x=(x1，x2，…，xn)T∈Ω1當且僅當x滿足約束條件(P1-1)～(P1-3)。

定理2 在問題(P1)中，若決策變量x無符號限制，則新問題依然與對應的精確問題有相同的最優解。

證明 在問題(P1)中，若決策變量x無符號限制，則可令x=y1-y2,y1,y2≥0，問題(P1)變為問題(P3)：

(P3)

由于L為線性函數，利用定理1，問題(P3)與問題(P4)：

(P4)

又x=y1-y2,y1,y2≥0，則：

與

具有相同的最優解，故結論成立。

值得說明的是，盡管問題(P1)和問題(P2)有相同的最優解，但二者并不等價，原因是問題(P2)的最優值為精確的實數；而在問題(P1)中，當價值系數為直覺模糊數時，其最優值也為直覺模糊數，可根據式(1)和式(2)確定。

定理1和定理2說明，當排序函數為線性函數時，在直覺模糊線性規劃問題中，若已知決策變量為精確的實數，則可直接轉換成精確的線性規劃計算，這給計算帶來了極大的方便。

3 算例

問題1[6, 7]考察如下的直覺線性規劃問題：

給定不同的λ取值，使用排序公式(7)，根據定理1，轉換成精確的線性規劃后，用Matlab軟件計算結果見表1。

表1 問題1 不同方法計算的最優解和最優值

問題2 考慮如下直覺模糊線性規劃問題：

給定不同的λ取值，使用排序公式(7)，根據定理1，轉換成精確的線性規劃后，用Matlab軟件計算結果見表2。

表2 問題2 不同方法計算的最優解和最優值

從表2可以看出，當λ取不同值時筆者的方法計算出的最優解不同，問題2中價值系數也不相同，因此得到原問題的直覺模糊最優值一般也不相同(見表2第4列)。

4 結語

給出了直覺模糊數比較的一類一般線性排序函數，并用來求解直覺模糊線性規劃問題。當決策變量為精確數，其他參數(價值系數、技術系數、右端向量)全部或部分為直覺模糊數時，直覺模糊線性規劃可在給出的線性排序函數下直接轉換成一個精確的線性規劃，精確線性規劃的最優解即為原問題的最優解，并且通過一種特殊的線性排序函數驗證了結論。事實上，由于直覺模糊數是比精確數、區間數、模糊數等更一般的不確定形式，若決策變量要求是精確數時，該方法也可處理系數全部或部分為精確數、區間數、模糊數的不確定線性規劃問題。

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