數(shù)學(xué)

許志強(qiáng)

壓縮感知

許志強(qiáng)

目的：壓縮感知是近來(lái)國(guó)際上熱門的研究方向，其主要思想為：利用信號(hào)稀疏性的特征，通過(guò)盡量少的觀測(cè)信息恢復(fù)信號(hào)。壓縮感知在多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，如醫(yī)學(xué)成像、圖像處理、地質(zhì)勘探等中具有很好的應(yīng)用前景。此外，它與逼近論、最優(yōu)化、隨機(jī)矩陣及離散幾何等領(lǐng)域密切相關(guān)，由此產(chǎn)生了一些漂亮的數(shù)學(xué)結(jié)果。本文綜述壓縮感知一些基本結(jié)果并介紹最新進(jìn)展，主要包括RIP矩陣編碼與Δ1解碼的性能、RIP（restricted isometry property）矩陣的構(gòu)造、Gelfand寬度、個(gè)例最優(yōu)性及OMP（orthogonal matching pursuit）解碼等。方法：本文主要介紹壓縮感知的一些基本結(jié)果。在每節(jié)里，我們采用注記的方式介紹當(dāng)前的一些研究進(jìn)展及研究問(wèn)題，同時(shí)提供與之相關(guān)的參考文獻(xiàn)，以使感興趣的讀者可進(jìn)一步探索。結(jié)果：第2節(jié)中我們介紹了稀疏信號(hào)的編碼、解碼方法。特別是，我們將介紹矩陣的零空間性質(zhì)，及RIP矩陣編碼與l1解碼的性能。我們?cè)诘?節(jié)中介紹RIP矩陣的構(gòu)造方法，包括隨機(jī)矩陣、結(jié)構(gòu)隨機(jī)矩陣及確定性矩陣。在第4節(jié)中，為理解最優(yōu)編碼、解碼對(duì)的性能，我們介紹了Gelfand寬度與編碼、解碼對(duì)性能的關(guān)聯(lián)。我們?cè)诘?節(jié)中介紹了編碼、解碼對(duì)在不同范數(shù)意義下的個(gè)例最優(yōu)性。最后一節(jié)簡(jiǎn)要介紹實(shí)現(xiàn)解碼的算法。結(jié)論：本文綜述了壓縮感知基本結(jié)果，并介紹了一些新的研究進(jìn)展。壓縮感知是一個(gè)理論及應(yīng)用皆具潛力的研究方向。理論方面，其將逼近論、隨機(jī)矩陣及離散幾何等領(lǐng)域有機(jī)的結(jié)合在一起。此外，壓縮感知已經(jīng)應(yīng)用于醫(yī)學(xué)成像、斷層掃描等，并有更多的應(yīng)用領(lǐng)域待探索。在該方向，亦有更多的問(wèn)題值得深入研究，如確定性RIP矩陣的構(gòu)造、數(shù)據(jù)量化對(duì)壓縮感知的影響、OMP算法的理論分析等。我們相信對(duì)該方向的深入研究將會(huì)促進(jìn)多個(gè)理論及應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展。

來(lái)源出版物：中國(guó)科學(xué)（數(shù)學(xué)）, 2012, 42(9): 865-877

入選年份：2015