“火眼金睛”識圖，“七十二變”推理

平行線是最基本的平面圖形，七年級上學期我們已經初步認識了它的定義和基本性質，即在同一平面內兩條不相交的直線，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.本學期學習平行線的性質和判定要在理解的基礎上牢記于心，運用的關鍵是要識別或者構造基本圖形：、、.三角形是多邊形中最為簡單、最基本，也是最重要的圖形，是初中幾何研究的主要內容之一，很多多邊形的問題都要轉化為三角形的問題來解決，三角形的內角和以及外角和定理是幾何中的基本定理，要熟練掌握、靈活運用.

例1 （2017·南充）如圖1，直線a∥b，將一個直角三角尺按如圖1所示位置擺放，若∠1=58°，則∠2的度數為（ ）.

A.30° B.32° C.42° D.58°

【解決思路1】如圖2，過點A作AB∥b，則有∠3=∠1=58°，因為∠3+∠4=90°，所以∠4=90°-∠3=32°，因為a∥b，AB∥b，所以AB∥a，所以∠2=∠4=32°，故選B.

[圖2]

【說明】問題解決的關鍵在于添加輔助線，并根據平行線的性質得到兩對內錯角相等，從而把題目給出的條件有效聯系在一起，構造基本圖形是解決問題的關鍵和突破口.

【解決思路2】如圖3，延長BA交直線a于點C，因為a∥b，所以∠1=∠DCA=58°，因為∠BAD+∠DAC=180°，所以∠DAC=90°.在△ACD中，∠DAC+∠2+∠DCA=180°，所以∠2=32°，故選B.

【說明】求角的度數，通常把角放到三角形中，利用三角形的內角和等于180°來求，本題延長BA既構造了三角形，又出現了內錯角相等，得到兩個基本圖形就可以解決問題了.當然也可以延長DA.

【解決思路3】如圖4，連接BC，在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，所以∠ACB+∠ABC=90°，因為a∥b，所以∠DBC+∠ECB=180°，也就是∠1+∠2+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠1+∠2=90°，∠2=32°，故選B.

[圖4]

【說明】連接BC，構造了三角形ABC，同時得到一對同旁內角，利用平行線的性質和三角形內角和定理問題得到解決，對于幾何問題要善于在復雜問題中找到基本圖形或者構造出基本圖形.

例2 （2017·慶陽）已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡[a+b-c]-[c-a-b]的結果為（ ）.

A.2a+2b-2c B.2a+2b

C.2c D.0

【解決思路】化簡含有絕對值的代數式，關鍵就是要判斷絕對值里面代數式的符號，由三角形兩邊之和大于第三邊可知：a+b-c>0，c-a-b<0，[a+b-c]-[c-a-b]=a+b-c-（-c+a+b）=a+b-c+c-a-b=0，故選D.

【說明】與三角形的三邊有關的不等式問題通常是利用三角形的“三邊關系”，即“任一邊大于另兩邊之差，小于另兩邊之和”來解決問題，對于含有字母的式子要注意符號，特別容易出錯.

例3 如圖5，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

<（1）請判斷AB與CD的位置關系并說明理由；

（2）如圖6，當∠E=90°且AB與CD的位置關系保持不變，移動直角頂點E，使∠MCE=∠ECD，當直角頂點E點移動時，問∠BAE與∠MCD否存在確定的數量關系？并說明理由；

（3）如圖7，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點且AB與CD的位置關系保持不變，當點Q在射線CD上運動時（點C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數量關系？猜想結論并說明理由.

[圖7]

【解決思路】（1）AB∥CD.因為CE平分

∠ACD，所以∠DCA=2∠ACE，同理∠BAC=2∠EAC，

所以∠BAC+∠DCA=2∠EAC+2∠ACE=180°，所以AB∥CD.

（2）如圖8，延長AE與CD相交于點F，因為AB∥CD，所以∠BAE=∠AFC.在△CEF中，∠CEF+∠EFC+∠ECD=180°，所以∠EFC+∠ECD

=90°，∠BAE+[12]∠MCD=90°.

[圖8]

（3）∠CPQ+∠CQP=∠BAC.因為AB∥CD，所以∠BAC+∠ACD=180°，在△CPQ中，∠CPQ+∠ACD+∠CQP=180°，所以∠CPQ+∠CQP=∠BAC.

【說明】要探索兩條直線是否平行，仍然要找到基本圖形，問題（1）是用整體思想證明一對同旁內角互補.問題（2）可以找∠BAE的內錯角，利用三角形內角和定理解決問題，也可以過點E作AB的平行線解決.解決問題的思路往往是多種多樣的，因此，數學學習的過程中要多觀察，多思考，同一個問題的解決過程中不妨多思考幾種方法或思路.

（作者單位：江蘇省江陰市第一初級中學，無錫市龐彥福名師工作室）