中考數學創新型試題的類型及評析

姜艷紅 余小芬 董萬平

摘?要：本文研究了中考數學創新型試題的八種類型：社會熱點型、趣味邏輯型、實踐操作型、數據分析型、歸納推理型、閱讀理解型、空間想象型、方案設計型，列舉并評析了這些類型對應的中考數學試題

關鍵詞：數學;中考試題;創新

習近平總書記在全國兩會參加廣東代表團審議時的重要講話中提出“三個第一”的重要論斷，即“發展是第一要務，人才是第一資源，創新是第一動力”.的確，創新是推動民族進步和社會發展的不竭動力，它已經普及每一個領域，它也是教育領域最重要的詞匯?.數學是研究數量關系和空間形式的學科，它是“思維的體操”，它具有的高度抽象性、嚴謹邏輯性、廣泛應用性決定了數學是培養創新意識和創新能力的重要途徑?.所謂創新意識，表現為認識創新的重要性，在學習數學的過程中有好奇心，對新事物感興趣，不斷地發現和提出問題，有創新的欲望，嘗試去做一些對自己是新的、沒有想過、沒有做過的事情，用學過的數學方法解決問題?.而創新能力是指完成創新工作的能力[1].

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《標準》）把“創新意識”確定為數學教學的十大核心概念之一，強調“創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終”“要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用”.[2]中考作為人才選拔的重要方式，中考命題也應體現這一導向，重視對學生創新意識、創新能力的考查?.本文以近年中考數學試題為例，評析中考創新型試題的七大類型：社會熱點型、趣味邏輯型、實踐操作型、數據分析型、歸納推理型、閱讀理解型、空間想象型、方案設計型?.

一、社會熱點型

《標準》特別強調數學背景的現實性和“數學化”，以學生熟悉的現實生活和社會實踐為問題的背景，注重讓學生在實際背景中理解基本的數量關系和變化規律，注重使學生經歷從實際問題中建立數學模型、估算、求解、驗證解的正確性與合理性過程，最終解決實際問題[2].社會熱點型試題取材生產生活實際，不僅展示時代特征，還聚焦社會熱點，引導學生關注社會和國家熱點問題?.

例1?（2017年湖南衡陽市中考24題）為響應綠色出行號召，越來越多市民選擇租用共享單車出行，已知某共享單車公司為市民提供了手機支付和會員支付兩種支付方式，圖1描述了兩種方式用支付金額y（元）與騎行時間x（時）之間的函數關系，根據圖象回答下列問題?.

（1）求手機支付金額y（元）與騎行時間x的函數關系式;

（2）李老師經常騎行共享單車，請根據不同的騎行時間幫他確定選擇哪種支付方式比較合算.

評析?本例以當前社會熱點“共享單車”為命題背景，不僅考查了學生對一次函數及其圖象的理解，也發揮了“立德樹人”的功能，宣傳了綠色出行的交通方式，培養了學生的環保意識?.

二、趣味邏輯型

我國古代教育家孔子曾說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”?.興趣是最好的老師，要使學生對枯燥的數學問題產生濃厚興趣，便是將數學問題進行趣味化?.而邏輯推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式[1].新穎有趣的數學邏輯問題能極大激發學生的學習、探究興趣，提高學生學習數學知識的積極性?.

例2?（2017年湖北恩施中考16題）如圖2，在6×6的網格內填入1至6的數字后，使每行、每列、每個小粗線宮中的數字不重復，則a×c=.

評析?數獨是源自18世紀瑞士的一種運用紙、筆演算的數學邏輯游戲?.本例以數獨游戲為命題背景，考查學生的邏輯推理能力，滲透了分類討論、正難則反的數學思想?.

三、實踐操作型

《標準》強調：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學生學習數學的重要方式”[2].通過實踐操作，例如折紙、拼剪、繪制、測量等，讓學生積極主動地參與學習過程，更能發揮學生學習的主體性，更有助于知識的內化和經驗的積累?.

例3?（2017年內蒙古通遼中考25題）鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下的一個四邊形，稱為第一次操作;在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作;…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形.如圖3，平行四邊形ABCD中，若AB=1，BC=2，則平行四邊形ABCD為1階準菱形.

（1）猜想與計算

鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是階準菱形;已知平行四邊形ABCD的鄰邊長分別為a，b（a>b），滿足a=8b+r，b=5r，請寫出平行四邊形ABCD是階準菱形.

（2）操作與推理

小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖4，把平行四邊形ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F處，得到四邊形ABFE.請證明四邊形ABFE是菱形.

評析?本例以新定義“n階準菱形”為載體，考查學生的實踐操作能力?.（1）問中，結合“n階準菱形”的定義，通過剪（或畫），不難分析出n的值?.（2）問中，通過折疊圖形，利用對稱性和平行線性質即可證四邊形ABFE是菱形.（1）、（2）問緊密銜接，從認識理解“n階準菱形”，到由定義計算n的值;再通過折疊為求解n值提供實踐操作的方式;最后推理驗證操作的科學合理性?.該試題對獲得數學體驗和心理認知，積累數學活動經驗具有積極導向功能?.

四、數據分析型

以數據進行推斷的思考方式已成為現代社會普遍應用的思維模式[3]，培養學生“用數據說話”的理性思維是培養適應現代生活的合格公民的必由之路?.王尚志、史寧中等專家也特別強調“數據分析”應是學生在數學學習中應具備的核心素養之一?.近年中考常考查學生畫（或完善）頻率頻數分布表、頻數分布直方圖，能從樣本數據中提取或計算如中位數、眾數、平均數等數據，并能對總體進行合理的解釋或評價.

例4?（2017年北京中考25題）某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工的生產技能情況，進行了抽樣調查，過程如下，請補充完整.

（1）收集數據

從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進行了生產技能測試，測試成績（百分制）如下：

甲??78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙??93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

（2）整理、描述數據

按如下分數段整理、描述這兩組樣本數據：

（說明：成績80分及以上為生產技能優秀，70—79分為生產技能良好，60—69分為生產技能合格，60分以下為生產技能不合格?.）

（3）分析數據

兩組樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：

得出結論：a?.估計乙部門生產技能優秀的員工人數為;

b?.可以推斷出部門員工的生產技能水平較高，理由為.（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

評析?本例考查對數據的收集、整理、分析，考查對平均數、中位數、眾數的計算，考查學生利用樣本數據特征估計總體特征的應用意識.

五、歸納推理型

歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理?.波利亞很早就注意到“數學有兩個側面……用歐幾里得方式提出來的數學是一門系統演繹的科學;但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學”.法國數學家拉普拉斯曾說過：“發現真理的主要工具是歸納和類比?.”人們在科學研究中，往往是首先通過對事物的觀察、分析，運用類比、歸納，提出合理猜測，這種猜測既可能是具體的結論，又可能是具體的解決問題的方法?.中考作為人才選拔性考試，不僅注重對知識本身的考查，還側重于對學生能力測試.其中，對學生歸納能力的考查越來越受命題者的青睞?.

例5?（2017年河北中考22題）發現任意五個連續整數的平方和是5的倍數?.

驗證?（1）（-1）2+02+12+22+32的結果是5的幾倍？

（2）設五個連續整數的中間一個為n，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數?.

延伸?任意三個連續整數的平方和被3除的余數是幾呢？請寫出理由?.

評析?《標準》提出：“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”“在觀察、試驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”[2].解決例5，從“發現”到“驗證”，學生經歷從“猜想”到“證明”的問題探索，經歷用合情推理發現結論，用演繹推理證明結論的完整推理過程，讓學生感悟從特殊到一般的數學思想，體會用字母表示數的代數優越?.“延伸”又體現了類比推理，通過“任意五個連續整數的平方和是5的倍數”到思考“任意三個連續整數的平方和被3除的余數是幾？”體現了知識的遷移和發散，有助于培養學生的類比思維和創新意識?.

六、閱讀理解型

數學閱讀是指學生根據已有的知識和經驗，通過閱讀數學材料（數學公式、方法、圖形、符號、文字等）汲取信息，建構數學意義和方法的心理和智力過程[4].數學閱讀過程是一個完整的心理活動過程，包含語言符號的感知和認讀，新概念的同化和順應，閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素?.?同時它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程[4].近年中考中，閱讀理解型試題成為了一道亮麗的風景線，考查學生對文字、數學符號等信息的分析、處理能力，以及對知識的靈活運用能力?.

評析?本例（Ⅰ）問利用折疊對稱性不難證明ΔPBC是等邊三角形;（Ⅱ）問探究出矩形ABCD中較大等邊ΔPBC對學生的空間觀念要求較高，需要學生能夠想象三角形不斷擴充的過程，從而大膽猜想出最大等邊三角形的位置;（Ⅲ）問中，在矩形中畫出最大的等邊三角形也需依靠學生的空間想象能力，進而才能為驗證“誰”的面積最大提供圖形依據，最終保證作圖有理有據;（Ⅳ）問用一張正方形鐵片剪一個已知直角邊長的直角三角形鐵片，求所需正方形鐵片的最小邊長也要充分發揮學生的空間想象能力，只有明確直角三角形在正方形內的位置，才能依據相似、勾股定理等知識展開計算?.

八、方案設計型

《標準》指出：“通過數學學習，要培養學生能夠形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的多樣性[2].”方案設計型題要求學生在具體的問題情景中給出滿足條件的方案，強調發展學生的應用能力、關注學生的個性培養、體現學生的創新思維?.

例8?（2017年黑龍江龍東中考27題）為了推動“龍江經濟帶”建設，我省某蔬菜企業決定通過加大種植面積、增加種植種類，促進經濟發展.2017年春，預計種植西紅柿、馬鈴薯、青椒共100公頃（三種蔬菜的種植面積均為整數），青椒的種植面積是西紅柿種植面積的2倍，經預算，種植西紅柿的利潤可達1萬元/公頃，青椒1?.5萬元/公頃，馬鈴薯2萬元/公頃，設種植西紅柿x公頃，總利潤為y萬元.

（Ⅰ）求總利潤y（萬元）與種植西紅柿的面積x（公頃）之間的關系式;

（Ⅱ）若預計總利潤不低于180萬元，西紅柿的種植面積不低于8公頃，有多少種種植方案？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，該企業決定投資不超過獲得最大利潤的18在冬季同時建造A、B兩種類型的溫室大棚，開辟新的經濟增長點.經測算，投資A種類型的大棚5萬元/個，B種類型的大棚8萬元/個，請直接寫出有哪幾種建造方案？

評析?本例以一次函數和一元一次不等式（組）為知識背景，通過“問題情境—建立模型—求解驗證”，讓學生深刻感受到數學知識“到哪里去”，體會到數學在生產、生活中無處不在，進而真正理解數學有用，要用數學，活用數學?.

創新型試題作為中考數學的一種重要題型，是數學知識、思想、能力交融的良好載體，是立德樹人、發展素養的典型素材.因此，創新型試題在未來的命題中必將成為永恒的焦點?.

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會?.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012?.

[2]中華人民共和國教育部?.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2012?.

[3]胡成龍.2010年高考理科試題對高中統計與概率教學的啟示[J].遵義師范學院學報，2010（5）：111-115?.

[4]劉成龍，黃祥勇?.2014年中考成都卷第23題分析及啟示[J].中學數學（初中），2015（2）：40-43?.