密度矩陣重整化群的學習

徐梓涵

（江蘇省常州高級中學 江蘇 常州 213000）

密度矩陣重整化群的學習

徐梓涵

（江蘇省常州高級中學 江蘇 常州 213000）

在計算Kondo模型時，人們首先用蒙特卡洛方法去進行數值計算，但是發現有很大的誤差，不能很好地刻畫Kondo模型。后來，Wilson發明了NRG方法，并用它很好地刻畫了Kondo模型。但是，當用NRG方法計算一些其他模型如一維海森堡模型時，卻又很大誤差。1992年，White在NRG的基礎上進行改進，又提出了DMRG（密度矩陣重整化群 DMRG）方法，以此更好地解決問題。因此，有必要對DMRG方法進行學習。

量子蒙特卡洛方法；NRG方法；DMRG方法

1 引言

量子蒙特卡洛方法是強關聯體系中的基本方法，有廣泛的應用。NRG方法是DMRG方法的前身，主要是為了減少計算，去除不必要的自由度。DMRG方法是NRG方法的改進，處理好了邊界問題，解決了達不到最大豐度的問題。這三種方法都是強關聯體系中的重要方法。因此，很有必要學習這三種方法。

2 密度矩陣重整化群算法

2.1 歷史背景

一個量子多體系統，如果想要對它進行數值計算用來求它的近似解就會遇到一些困難。由于希爾伯特空間呈指數增長的緣故，當系統尺寸呈指數增長時，希爾伯特空間會以n次方倍的速度迅速增長[2]。這樣的增長速度太快，在對哈密頓量進行對角化來求它的本征波函數的時候，計算量就大大增加，占用太大內存空間，使計算所需的硬件要求提高，不利于計算。

但事實上，在實際研究中發現，在這眾多的計算數據中，有很多數據對最后的結果過影響很小，完全可以忽略不計，可以只關心比較重要的幾個[3]。像基態和一些低能激發態。因此可以使用稀疏矩陣儲存，稀疏矩陣使非零矩陣元降到了10%及以下，這樣可以降低內存的使用量。但即便簡化成這樣，用Lanczo方法等能夠直接精確對角化的部分仍然還是很小的尺寸。特別是對于強關聯系統來說，推廣到熱力學極限十分困難。

后來，在1975年的時候，Wilson第一次提出了NRG算法[4]。學習了NRG方法后，我們知道用NRG方法要降低自由度，來縮小維度空間，又通過不斷地進行約化，收斂真實系統，從而完成計算。然而，這個算法也有很大缺陷。在計算一些像一維海森堡模型之類的問題時，邊界問題無法處理，在疊加模塊的時候會出現無限深勢阱的狀況，因而導致很大的誤差。

Wilson的學生White發現了NRG算法的這些問題，又進行了許多深入的研究，最終在1992年提出了密度矩陣重整化群算法，彌補了NRG算法在格點模型中的不足[5]。在使用DMRG算法的時候，我們首先將整個系統拆分為兩個子系統“系統”和“環境”。這兩個子系統構成一個超塊。操作時，將兩個子系統分別進行對角化，再篩選出一些哈密頓量的本征值較大的本征態。這樣就能夠選出對結果影響較大的部分，簡化計算。

2.2 量子蒙特卡洛方法

量子蒙特卡洛方法是強關聯系統模型中一種重要的近似求解的方法，在學習NRG和DMRG方法之前，就已經知道量子蒙特卡洛方法能應用于強關聯體系的模型中。許多強關聯系統中的問題都是用量子蒙特卡洛方法來解決的，至今仍被廣泛應用。所以，量子蒙特卡洛方法的學習也是非常必要的。

量子蒙特卡洛方法是由蒙特卡洛方法應用于量子力學中的部分。蒙特卡洛方法主要用于研究隨機的物理問題。蒙特卡洛方法主要原理是通過做大量實驗，再從其中隨機抽樣，通過概率計算近似解。但在蒙特卡洛方法應用于量子力學之后卻發現了許多問題，由于量子力學體系與經典體系差異很大，要將其處理問題十分困難。

量子蒙特卡洛方法存在許多問題，除了計算量大、誤差等小問題之外，目前最大的問題是負符號問題，這也是最困難的問題。量子蒙特卡羅是一種精確的數值模擬方法，但在有費米子負符號問題的系統，量子蒙特卡羅模擬的計算誤差，隨著溫度的降低或系統體積的增加呈指數增長，失去了這種方法的可靠性。負符號問題起源于費米子交換的反對易性。對于大多數相互作用費米子系統，負符號問題總是存在，所以有必要引入其他算法[6]。

2.3 重整化群（NRG）算法

重整化群算法可以說是密度矩陣重整化群算法的前身，它也是強關聯體系中的一種重要方法，具有十分廣泛的應用。重整化群算法的想法是用重整化群將系統中不重要的自由度去除，從而減少計算量，求出近似解。

使用重整化群方法時，我們首先構造n+1個格點為基態，由于希爾伯特空間呈指數增長的緣故，當系統尺寸呈指數增長時，希爾伯特空間會以n次方倍的速度迅速增長。這樣的增長速度太快，計算量太大。為防止在循環計算中哈密頓量過多而無法計算的狀況，以能量為參考，對希爾伯特空間進行截斷來降低空間的維度，減少計算的量。

NRG方法在Kondo模型中非常有效，成功求解了Kondo模型。但是在磁性質系統中，許多問題在計算的時候都有巨大誤差。這些誤差的原因在于NRG方法在處理子塊邊界的時候必然導致的。NRG方法是求解子塊波函數，并將其組合進行求解。實際上，對于有些波函數來說，如果我們疊加波函數求解，在兩個兩端有節點的波函數疊加的時候，中間必然有節點，實際上的波函數在這個節點處達到最大值。這時，在這個節點處就必然會有較大的偏差，因而無法求出真正的波函數。所以，NRG方法在邊界處理方法上的原因使它擁有局限性。

2.4 密度矩陣重整化群（DMRG）算法

因為NRG方法在強關聯體系中的局限性，要尋找更好的一種方法在強關聯系統中解決問題。在強關聯系統中要進行計算，最重要的是舍去過多的，對結果影響小的量子態來簡化計算，解決計算復雜的問題。經過研究，人們發現利用密度矩陣的本征值來參考取舍最為有效，于是DMRG方法在1992年由White主要為解決一維晶格模型提出。

在模型中，超塊的希爾伯特空間可以當做由“環境”和“系統”兩部分進行直乘，將空間合并得到。密度矩陣中，密度矩陣的本征值的平方代表了它對應本征態出現的概率，所以在DMRG方法中，應當尋找密度矩陣本征值大的本征態，以此最大程度上精確地表示晶格的態。然后找出誤差足以忽略不計的點進行截斷。我們在循環中，為了確保計算的精度，通常一次向系統中加入一個格點來使系統增大，并且每次循環保留前幾個最大本征態，減少計算量。

DMRG方法算法在計算時通常分為兩種：無限體系算法和有限系統算法。無限體系算法主要是在循環計算中增加鏈條的長度，而有限系統算法則是再循環計算中提高系統的計算精度。

無限系統算法主要是通過約化密度矩陣篩選出重要的幾個態，并將其他不重要的態舍棄。再通過不斷地循環增加格點到我們需要的大小再停止。在構造環境塊時，根據無限系統對稱，將系統塊進行反射變換，使系統塊與環境塊的哈密頓量相等。

無限系統算法的主要步驟如下：

（1）構造四個每個包含一個格點的初始塊，將四個格點直乘合并為整體，這個整體叫做超塊。

（2）用四個初始塊的哈密頓量矩陣直乘表示超塊的哈密頓量的矩陣。

（3）用任意對角化稀疏矩陣程序對超塊的哈密頓量的矩陣對角化，并得到相應目標態

（4）根據目標態（基態）通過公式計算左右兩邊的約化密度矩陣。

（5）進行截斷。對角化密度矩陣，保留前M個有最大本征值的本征態。

（6）用約化密度矩陣在新的態下進行重整化。（7）用上一步得出的結果構造新的塊和哈密頓量矩陣。（8）將新的系統塊進行反射變換，得到新的環境塊，用它們進行計算。

（9）重新循環。

有限系統算法與無限系統算法是系統的尺寸恒定，具體做法是一邊減少多少，另一邊就增加多少，是整個的大小不變。以上都是在邊界開放的條件下進行，在有限系統算法下精度最高。

2.5 NRG與DMRG的對比

NRG和DMRG方法的不同點主要在兩方面

（1）兩者在模塊的增加上的區別

NRG方法希爾伯特空間呈2n倍增長，增長速度很快。DMRG方法每次只加入兩個格點

（2）兩者在截斷上的區別

截斷時，NRG方法遵從玻爾茲曼分布規律：能量越小，概率越大。所以是取m個能量最小的態。DMRG方法密度矩陣的本征值的平方代表了它本征態的概率。所以是取m個最大本征值的本征態。

3 結語

通過學習和了解NRG以及DMRG等方法的算法原理和發展過程之后，經過我的整理，分析出了這些方法在發展過程中的不足，并對比出每種方法的適用條件，并且學習掌握了這幾種算法的核心思想，并用通俗易懂的語言解釋了NRG與DMRG的算法原理。

[1]李正中.近藤(Kondo)效應介紹[J].物理，1982(2).

[2]曾謹言《量子力學》卷I.

[3] Davidson E R.The iterative calculation of a few ofthe lowest eigenvalues and corresponding eigenvectors of large real-symmetric matrices[J].Journal of Computational Physics,1974,17(1):87-94.

[4] Wilson K G, Kogut J. The renormalization group and the ∈ expansion ☆[J].Physics Reports,1974,12(2):75-199.

[5]Steven.R.White,Density matrix formulation for quantum renormalization groups,出自《Physical Review Letters》1992年，第69卷：2863-2866頁.

[6]學科網，物理所等在費米子負符號問題研究中取得進展2016-07-07.

O641.121 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5624（2018）02-0134-02