在數學活動中滲透分類思想的價值與策略

數學思想是人類對數學及其研究對象，對數學知識以及數學方法的本質性的認識，是在數學的發展史上形成和發展的。它與具體的知識技能相比，具有潛隱性，如“分類”“一一對應”“轉化”“模型化”一些基本的數學思想方法貫穿于整個小學數學教學中，卻并未作為一個知識點專門教學，而是隱藏在學生的認知活動中，逐步滲透，直至學生感悟并能自覺運用。史寧中教授指出，在認識圖形的教學中，重要的是讓學生學會對圖形分類。本文以“圖形的認識”教學為例，探討如何在數學活動中深化學生的分類思想，感悟數學的理性思維。

一、數學活動中分類的價值

數學中的分類思想是指根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成不同種類的數學思想，是根據一定標準，對事物進行有序劃分和組織的過程。分類，作為一種基本的數學思想或數學思維方法，在數學活動中對促進學生思維發展、認知發展、提升數學素養有著重要的作用。同時，分類也可被看成一種基本的數學活動。

1.提供數學化的基礎。弗賴登塔爾認為，學生的學習活動，與其說是學習數學，倒不如說是學習“數學化”。數學化分為水平數學化和垂直數學化兩個層次。水平數學化是指由現實問題到數學問題的轉化，是從“生活”到“符號”的轉化。垂直數學化是從具體問題到抽象概念的轉化，是從“符號”到“概念”的轉化。分類活動中，需要學生對研究事物進行分析、比較，關注相同點與不同點，抽象出事物的一般特點與本質屬性，建立概念。分類，作為數學化的前奏，為學生順利進行數學化提供了必要的研究基礎。

2.簡化思維的可能路徑。分類具有明確的目的性，一是歸類，二是區分類別，建立清晰的序。面對復雜的事物和現象時，歸類與區分類別都可以梳理復雜的現象，有序、有層次地呈現多種可能路徑，簡化問題的解決路徑，突出關鍵要素，讓學生在可能路徑中有條理地確定思路、優化思路，逐漸推進問題的解決，接近概念的本質。

3.豐富學生的組織策略。組織策略是整合所學新知識之間、新舊知識之間的內在聯系，形成新的知識結構的策略。在學習分類的過程中，學生可以逐步清晰概念的外延與內涵，也可以應用分類整理已有的知識網絡，深度加工已有經驗，完善已有認知結構。更為重要的是，學生可以將分類的方法遷移到其他學科的學習中去，潛移默化中受分類思想的影響，運用分類學習或解決生活中其他類似的問題。分類的經歷，幫助學生豐富問題解決的組織策略，助推學生能力的增強。

二、數學活動中滲透分類思想的策略

1.分類探索新知，緊扣標準。在小學一年級會單獨安排課時教學分類，要求學生掌握分類時做到不重復不遺漏，理解不同的分類標準分得的結果會不相同。在后續的學習中，分類依然存在于各種活動中，但分類標準逐漸淡化。如《三角形的分類》教學中，教師會出示多種三角形（如圖1）讓學生分類，并填入設計好的表格中，然后觀察角的特點，形成共識：①和⑥一類，②和④一類，③和⑤一類，因為①和⑥都有一個直角，②和④都有三個銳角，③和⑤都有一個鈍角。在此基礎上，教師進行總結，像①和⑥這樣的三角形叫作直角三角形，像②和④這樣的三角形叫作銳角三角形，像③和⑤這樣的三角形叫作鈍角三角形。再觀察所填表格中銳角的個數，確定每個三角形至少有兩個銳角。

圖1

這是《三角形的分類》教學中常見的設計，學生對三角形內角的情況進行記錄再分類，過程中學生并不清晰分類標準是什么。教師需要引導學生觀察表格，在都有銳角的情況下還有什么不同，確定最大角為分類的標準。當清晰分類的標準與最大角有關時，三角形中至少有兩個銳角就容易理解了，無需記憶和分辨。緊扣標準進行分類，不僅可以全面地考慮問題，也可深入理解概念的本質。分類是活動中的一部分，緊扣分類標準，可以幫助學生逐漸學會制定分類標準，并遵循標準分類，聚焦關鍵問題，做到不重復、不遺漏，形成清晰的認知結構。

2.分類解決問題，遷移經驗。遷移是指一種學習對另一種學習的影響，或習得的經驗對完成其他活動的影響。數學學習具有螺旋上升的特點，其中蘊含著如何發揮分類經驗的遷移。首先，關注分類經驗的積累。教學中，學生的分類訓練可以從質性分類逐步走向量性分類、從局部找不同到整體分類，不同層次要求的分類可以幫助學生拓展分類的角度，獲取分類的經驗。如在一年級圖形的認識中，可以讓學生找出圖2中哪個圖形與其他三種不一樣，找的過程就是訓練學生分析圖形特征的過程。其次，關注橫向遷移和縱向遷移。橫向遷移指先行學習內容與后繼學習內容在難度、復雜程度和概括層次上屬于同一水平的學習活動之間產生的影響。縱向遷移指先行學習內容與后續學習內容是不同水平的學習活動之間產生的影響。在圖形的認識中，有些分類的教學是相通的。如在研究長方形和正方形的特征后，引導學生分析正方形具有長方形所有的特征，所以正方形是特殊的長方形。在學習長方體和正方體時，可以將已有的分類經驗進行遷移，正方體具有長方體所有的特征，正方體是特殊的長方體。

圖2

分類思想的滲透，分類經驗的遷移可以幫助學生理清數學問題，概括并總結有規律性的數學問題，尋求解題的策略，提高學生數學思維的條理性。

3.分類表達關系，重視多元。數學是研究關系的一門學科，分類表達關系，可以幫助學生形成良好的認知結構，接近數學的本質。表達關系有多種形式，一般有表格式（圖3）、樹狀式（圖4）、韋恩圖（圖5）；表格式一般將圖形特征進行對比，描述具體，對比鮮明；樹狀式一般表示圖形之間的層次關系；韋恩圖一般表示集合和圖形關系。在實際運用中，只需根據學生理解的需要進行選擇。

圖3 線的分類

圖4 位置關系的分類

圖5 三角形的分類

在分類表達關系時，教師要保持開放的心態，鼓勵學生用多種方式自主表達，展現其對圖形本質的理解。

4.分類整理知識，優化思路。在“圖形的認識”教學中，學生需根據圖形的特征或相互間的關系進行分類整理，借助比較、對比、舉例等方法來突出圖形間的聯系與區別。如立體圖形可以按面是否是曲面進行分類，長方體與正方體為一類，圓柱與圓錐為一類；也可以按是否是直柱體分類，長方體、正方體和圓柱為一類，圓錐為一類。兩種分類都可以開展研究，但從知識的化歸角度分析，按是否是直柱體分類，研究圖形體積的計算公式時，可以發現側面積的計算公式是相通的，也可以歸納出直柱體的體積計算公式，底面積乘高等于體積，從而利于呈現數學內部的和諧。

數學知識是一個有機整體，各個知識點之間存在包含、并列等關系，復習時可以將平時所學的孤立的、分散的知識作橫向、縱向或不同角度的分類，進行有序的整理，使其系統化，連成片，結成網，以便學生理解、記憶和應用。教師應引導學生按一定的標準把有關知識進行整理、分類、綜合，并針對學生的整理情況，幫助學生優化分類的思路，完善知識結構，形成知識網絡。

分類作為數學思想方法，其在教學中的運用還需遵循滲透性、反復性、明確性和實踐性的教學原理。分類的價值需在學生親歷的活動中體悟，讓學生進行實踐、探索，積累分類的經驗，感悟分類的需要，形成對分類的個體感悟，領悟分類思想的價值所在，逐漸形成面對問題時能自覺分類的意識。