基于數軸折疊問題談學生數學思維提升

數學核心素養是在數學學習過程中逐漸形成的具有綜合性、整體性和持久性的學科素養，反映了數學本質與數學思想。在數學教學中，如果能以常態數學習題，加以變式、挖掘、拓展和延伸，學生就能更加快速、深刻地理解、內化和建構知識，提升思考、解決問題的能力。本文以一道七年級數軸折疊問題為例，在“變”中求“實”，啟發學生數學思維。

一、一道常態習題引發的思考

題目：操作探究已知在紙面上有一數軸（如圖1）

圖1

操作一：

（1）折疊紙面，使數字1表示的點與-1表示的點重合，此時中心點為0，則-3表示的點與_____表示的點重合；

操作二：

（2）折疊紙面，使-1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：

①此時的中心點是______，則10表示的點與數_____表示的點重合；

②若數軸上A、B兩點之間距離為15，(A在B的左側)，且A、B兩點經折疊后重合，求A、B兩點表示的數是多少?

這是七年級第一學期期中測試中的一道解答題，看似不難，但學生的得分率并不理想。具體得分率統計如表1。

表1

注：兩班學生均為48人。

對于操作一，據調查統計學生的解題依據是：①題目已經給出圖形，學生可根據中心點0直觀地找到-3的重合點；②部分學生想當然認為因已知-1和1重合，所以-3就和3重合。雖然得分情況尚可，但是學生分析問題的思考層面很低，沒有為進一步解題做好思維鋪墊。

對于操作二中的問題①，因沒有理清操作一的解題思路，多數學生找不出中心點的改變，故得分率驟減；對于問題②中反向思考問題求解，學生的困難就更多了，得分人數寥寥。

面對七年級學生數軸問題探究瓶頸，如何滲透數形結合、分類討論的數學思想，有效運用核心知識與方法解題，引發了作者反思：能否用“變式”設計，打通解題困惑。

二、以變式尋求多維張力

1.鋪設問題引例，拓展思維廣度，培養問題概括能力。

引例：

（1）根據圖2中A、B、C三點的位置，請分別算出A到B，C的距離。并觀察你所計算的距離你有什么發現？

（2）再觀察數軸，求到點A的距離為4個單位長度的點表示的數是：

圖2

設計意圖：由淺入深，探究前引例梯度性鋪設，激發學生學習積極性。在學習并掌握了數軸知識后，學生能利用數軸這個工具，直觀地計算數軸上兩點間的距離。但本引例的出發點不止如此，它需要學生進一步概括出數軸上計算任意兩數之間距離的簡化公式：“大數減去小數的方法”。引例2中已知一點和相距的距離，求出滿足條件的點表示的數。這是一個逆向思維過程，需要學生結合數軸中相反數和絕對值的意義解題。若脫離數軸這個直觀工具解題，則往往會出現漏解。因此本題的設計意圖在于通過基礎題的練習，讓學生初步感受問題解決時所滲透的一些數形結合、分類討論的思想。

2.改變問題背景，挖掘思維深度，培養求同存異能力。

操作探究：已知在紙面上有一數軸（如圖3），

折疊紙面一，使數1表示的點與數-1表示的點重合，則此時數-2表示的點與數______表示的點重合；思考：a表示的點與_____表示的點重合?

圖3

設計意圖：以“折疊數軸”這一動態操作，引導學生探究已知一對數重合怎樣尋找中心點。為了讓學生對解題思維有一個規律性的總結，追加設計思考：a表示的點與_____表示的點重合。用字母表示數，從直觀到抽象啟發學生歸納出當中心點為數軸原點時折疊重合的兩數關系。此設計意為引導學生發散思考：當中心點發生改變時，重合的兩數關系是否會改變，從而提高學生思維的深度。

3.改變折疊中點，提升思維高度，培養探索發散能力。

折疊紙面二：使數3表示的點與數-1表示的點重合，回答下列問題：

（1）數5表示的點與數______表示的點重合；

（2）思考：b表示的點與數______表示的點重合；

設計意圖：更換中心點再折疊數軸，此變式解題的思維高度明顯提升。解答時，學生需要歸納出：①找中心點的一般方法；②如何計算點與中心點的距離；③用字母表示數后，啟發學生歸納出當中心點為任一點時折疊重合兩數的一般表達式。

4.互換條件結論，改變思維效度，培養逆向思維能力

折疊紙面三：使數3表示的點與數-1表示的點重合時，若數軸上有A、B兩點也重合，且A、B兩點之間的距離為10（A在B的左側），則A點表示的數為______，B點表示的數為______.

設計意圖：改變已知條件，由已知中心點和重合兩數的距離反向求解重合的兩數。訓練學生逆向思維能力，應用已知解題方法解答問題，從而提升學生思維效度。

5.由特殊到一般，改變思維密度，培養靈活概括能力。

折疊紙面四，使數3表示的點與數-1表示的點重合時，若數軸上有A、B兩點也重合，此時A、B兩點之間的距離為n（A在B的左側），則A點表示的數為______，B點表示的數為______.

設計意圖：變式四是變式三的進一步提升。改變已知條件中重合兩數的距離為任意值，反向求解重合的兩數。此題要求學生在對解法的總結反思中，將結論一般化，培養靈活概括能力。

數軸上的折疊問題涉及初步數形結合、分類討論思想。通過層層遞進的變式教學，學生從中整合了知識，落實了基礎，熟練了方法，學會了學習，培養了思維，提升了能力，完成舉一反三，大大提高數學素養。

學習是一個漸進過程，教學也是一種復雜藝術。教師需要不斷尋找知識的結合點與方法的生長點，通過多樣化的習題教學，引導學生深層次地思考數學問題，體驗豐富多彩的數學活動，感受多變的數學思維之美。