可數仿緊空間和可數中緊空間的函數刻畫

(安徽工業大學數理科學與工程學院，安徽馬鞍山243032)

Mack在文獻[1]中證明了X為可數仿緊空間[2]當且僅當對X上的每一局部有界函數f，存在局部有界上半連續函數g使得|f|≤g；在文獻[3]中，Mack證明了X為可數仿緊空間當且僅當對每一下半連續函數f＞0，存在下半連續函數g及上半連續函數h使得0＜g≤h≤f。Ohta等[4]證明了X為cb-空間當且僅當對任意遞減函數列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函數列{gn∈C(X):n∈N}使得對每一n∈N，fn≤gn且gn→0。作為對這一結論的推廣，Yang在文獻[5]中證明了關于可數仿緊空間，可數中緊空間[6]和可數亞緊空間的一些類似結果。例如，X為可數仿緊空間當且僅當對任一遞減函數列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函數列{gn∈L(X):n∈N}，使得對每一n∈N，fn≤gn且{gn:n∈N}弱局部一致收斂于0。

文中引入k-上有界函數的概念，并利用k-上有界函數給出對可數中緊空間的一個類似的等價刻畫。

1 預備知識

空間X的子集族G稱為局部有限族，若X中的任一點有一個開鄰域僅與G中有限多個元相交；稱G為緊有限族，若X的任一緊集至多與G的有限多個元相交。

定義1X稱為可數仿緊空間(可數中緊空間)，若X的每一個可數開覆蓋有局部有限(緊有限)開加細。

設X為拓撲空間，用0表示X上取值為0的常值函數。設{fn:n∈N}為空間X上的實值函數列，用fn→f表示{fn:n∈N}點態收斂于f。

空間X上的實值函數f稱為下(上)半連續的，若對任意r∈R，集合{x∈X:f(x)＞r}({x∈X:f(x)＜r})為X的開集。若對X的任一緊集K，f在K上有最小值，則稱f為k-下半連續函數。用L(X)(U(X)，KL(X))表示從X到單位閉區間[0,1]的所有下(上，k-下)半連續函數的集合，UKL(X)=U(X)∩KL(X)，C(X)為從X到單位閉區間[0,1]的所有連續函數的集合，L+(X)={h∈L(X):h＞0}。

稱空間X上的實值函數f在X上上有界，若存在n∈N使得對任意x∈X，f(x)≤n。若f在X的任一緊子集K上上有界，則稱f為k-上有界函數。若對任意x∈X，存在x的開鄰域U及n∈N，使得對任意x'∈U，有f(x')≤n，則稱f為局部上有界函數。顯然上半連續函數為局部上有界函數。

設X為拓撲空間，A?X，用IA表示A的特征函數，即對任意x∈X，

由特征函數的定義易得：若A為X的閉集，則IA上半連續；若A為X的開集，則IA下半連續。

2 可數仿緊空間

引理1[7]X為可數仿緊空間當且僅當對X中任一遞減的且交為空集的閉集列{Fn:n∈N}，存在X的遞減的開集列{Un:n∈N}，使得對每一。

Yang在文獻[5]中證明了X為可數仿緊空間當且僅當對任一遞減函數列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函數列{gn∈L(X):n∈N}，使得對每一n∈N，fn≤gn且{gn:n∈N}弱局部一致收斂于0。定理1表明函數列{gn:n∈N}可以用兩個半連續函數列代替。

定理1X為可數仿緊空間當且僅當對任一遞減的函數列{fn∈U(X):n∈N}且fn→0，存在函數列{gn∈L(X):n∈N}和{hn∈U(X):n∈N}，使得對每一n∈N，fn≤gn≤hn且hn→0。

證明設X為可數仿緊空間，{fn∈U(X):n∈N}且fn→0。對每一n,k∈N，令，則對任意k∈N，{Fnk:n∈N}為遞減閉集列且。由引理1知，對每一k∈N，存在X的遞減的開集列{Unk:n∈N}使得Fnk?Unk且。對每一n∈N，令

則gn∈L(X)，hn∈U(X)且gn≤hn。

對每一n∈N及x∈X，若fn(x)=0，則fn(x)≤gn(x)；若fn(x)＞0，則存在k∈N 使得，故，則

設x∈X，ε＞0，取k∈N 使得。由于對每一i≤k，，故存在m∈N 使得對任意n≥m，ii令m=max{mi:i≤k}，則對每一故對每一n≥m，

故hn→0。

反之，設{Fn:n∈N}為X中遞減且交為空集的閉集列。對每一n∈N，令，則{fn∈U(X):n∈N}為遞減函數列且fn→0。由條件知，存在函數列{gn∈L(X):n∈N}和{hn∈U(X):n∈N}使得對每一n∈N，fn≤gn≤hn且hn→0。對每一n∈N，令則Un為開集，Hn為閉集，且Fn?Un?Hn，因此Un?Hn。

設x∈X，由于hn(x)→0，故存在m∈N使得，由Hm的定義知，故。由引理1得X為可數仿緊空間。

利用定理1，可給出定理2的另一種證法。

定理2[8]X為可數仿緊空間當且僅當對每一h∈L+(X)，存在φ(h)∈L(X)及φ(h)∈U(X)，使0＜φ(h)≤φ(h)＜h。

證明設X為可數仿緊空間，h∈L+(X)。對每一n∈N，令則 {F(n,h):n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。對每一n∈N，令f(n,h)=IF(n,h)，則{f(n,h)∈U(X):n∈N} 遞減且f(n,h)→0。由定理1，存在函數列{g(n,h)∈L(X):n∈N}及{l(n,h)∈U(X):n∈N}使得對每一n∈N，f(n,h)≤g(n,h)≤l(n,h)且l(n,h)→0，令

則φ(h)∈L(X)，φ(h)∈U(X)且φ(h)≤φ(h)。

設x∈X，由于l(n,h)(x)→0，故存在m∈N使得l(m,h)(x)＜1，故

反之，設{Fn:n∈N}為X的遞減且交為空集的閉集列。令

則h∈L+(X)。對每一n∈N，令

則Un為開集，Gn為閉集且Un?Gn，故Un?Gn。由于φ(h)＞0，故，從而。設x∈Fn，令k=max{n∈N:x∈Fn}，則n≤k，故

故x∈Un，從而Fn?Un。由引理1知，X為可數仿緊空間。

3 可數中緊空間

引理2[9]X為可數中緊空間當且僅當對X的任意遞減且交為空集的閉集列{Fn:n∈N}，存在X的遞減開集列{Un:n∈N} 使得對每一n∈N，Fn?Un且對X的任一緊集K，存在m∈N使得K?Um=?。

定理3對空間X，下列等價：

(a)X為可數中緊空間。

(b)對X上的每一局部上有界函數f，存在下半連續且k-上有界函數φ(f)，使得f≤φ(f)。

(c)對X上的每一上半連續函數f，存在下半連續且k-上有界函數φ(f)，使得f≤φ(f)。

(d)對X上的每一上半連續函數f，存在下半連續函數φ(f)及k-上有界函數φ(f)，使得f≤φ(f)≤φ(f)。

證明(a)?(b)設X為可數中緊空間，對每一局部上有界函數f及n∈N，令則{Fn:n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。由引理2，存在遞減開集列{Un:n∈N} 使得對每一n∈N，Fn?Un且對任一緊集K，存在m∈N使得K?Um=?。設U0=X。對每一x∈X，令nx=min{n∈N:x?Un}，φ(f)(x)=nx。設x∈X，由nx的定義知x?Unx?Fnx，故f(x)≤nx=φ(f)(x)。

設x∈X，r∈R 且φ(f)(x)＞r。令Ox=Unx-1，則Ox為x的開鄰域。若x'∈Ox，則nx'＞nx-1，故φ(f)(x')=nx'≥nx=φ(f)(x)＞r，表明Ox?{x∈X:φ(f)(x)＞r}，從而φ(f)下半連續。

設K為X的緊集，則存在m∈N使得K?Um=?，則對每一x∈K，x?Um。由nx的定義得φ(f)(x)=nx≤m，因此φ(f)在K上上有界。

(b)?(c)顯然，因為上半連續函數為局部上有界函數。

(c)? (d)對每一上半連續函數f，令φ(f)=φ(f)。

(d)? (a)設{Fn:n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。對每一x∈X，令nx=min{n∈N:x?Fn}，f(x)=nx。下說明f上半連續。

設x∈X，r∈R 且f(x)＜r。令Ox=XFnx，則Ox為x的開鄰域。對任意x'∈Ox，由nx'的定義知nx'≤nx。因此f(x')=nx'≤nx=f(x)＜r，這表明Ox?{x∈X:f(x)＞r}，因此f上半連續。

設φ(f)，φ(f)為滿足條件(d)的函數。對每一n∈N，令Un={x∈X:φ(f)(x)＞n} ，則{Un:n∈N} 是X的遞減的開集列。設n∈N，若x∈Fn，則n+1≤nx=f(x)≤φ(f)(x)，故x∈Un，從而Fn?Un。設K為X的緊集，由于φ(f)在K上上有界，故存在m∈N使得對任意x∈K，φ(f)(x)≤m，故φ(f)(x)≤φ(f)(x)≤m，于是K?Um=?。由引理2知X為可數中緊空間。

定理4表明，定理3(b)(c)(d)中的k-上有界函數可換為k-上半連續函數。

定理4對空間X，下列等價：

(a)X為可數中緊空間。

(b)對每一局部上有界函數f，存在下半連續且k-上半連續函數φ(f)，得f≤φ(f)。

(c)對每一上半連續函數f，存在下半連續且k-上半連續函數φ(f)，得f≤φ(f)。

(d)對每一上半連續函數f，存在下半連續函數φ(f)且k-上半連續函數φ(f)，使得f≤φ(f)≤φ(f)。

證明(a)?(b)設X為可數中緊空間，對每一局部上有界函數f，設φ(f)為定理3的(a)?(b)證明過程中定義的函數，則只需說明φ(f)k-上半連續。設K為X的緊集，則存在n∈N使得K?Un=?。令m=min{n∈N:K?Un=? }，則。取，則且對任意x∈K，nx≤m。因此，所以φ(f)k-上半連續。

(b)?(c)及(c)?(d)顯然。

(d)?(a)設(d)成立，由于k-上半連續函數為k-上有界函數，由定理3(d)?(a)知X為可數中緊空間。

定理5對空間X，下列等價

(a)X為可數中緊空間。

(b)對任意h∈L+(X)，存在φ(h)∈UKL(X)使得 0＜φ(h)＜h[9]。

(c)對任意h∈L+(X)，存在φ(h)∈U(X)及φ(h)∈KL(X)使得 0＜φ(h)≤φ(h)＜h。

證明(a)?(b)在文獻[9]中已證，此處給出另一種證明方法。

設X為可數中緊空間，對每一h∈L+(X)及n∈N，令，則{F(n,h):n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列。由引理2，存在X的遞減開集列{U(n,h):n∈N} 使得對每一n∈N，F(n,h)?U(n,h)且對X的任一緊集K，存在m∈N使得K?U(m,h)=?。令

則φ(h)∈U(X)。對每一x∈X，存在m∈N 使得x?U(m,h)。令k=min{n∈N:x?U(n,h)}，則對任意n≥k，x?U(n,h)且對每一n＜k，x∈U(n,h)。由于x?U(k,h)?F(k,h)，故，因此

設K為X的緊集，則存在m∈N使得K?U(m,h)=?。令k=min{n∈N:K?U(n,h)=? }，則K?U(k-1,h)≠? 且對每一n≥k，K?U(n,h)=?。取x0∈K?U(k-1,h)，則對每一n≥k，x0?U(n,h)且對每一n＜k，x0∈U(n,h)，從而。對每一x∈K，

從而φ(h)∈KL(X)。

(b)?(c)顯然。

(c)?(a)設{Fn:n∈N} 為X的遞減且交為空集的閉集列，令

則h∈L+(X)。對每一n∈N，令，則Un為開集。設x∈Fn，令k=max{n∈N:x∈Fn}，則n≤k，從而

表明x∈Un故Fn?Un。設K為X的緊集，由于φ(h)∈KL(X)，故存在x0∈K使得對任意x∈K，φ(h)(x)≥φ(h)(x0)。由于φ(h)(x0)＞0，故存在m∈N，使得，故對任意x∈K，有，表明K?U(m,h)=?。由引理2知X為可數中緊空間。