部分可觀測車輛系統(tǒng)非線性隨機振動的最優(yōu)控制

張 巍，應祖光，顏光鋒

（1.浙江理工大學 經(jīng)濟管理學院實驗中心，杭州 310018；2.浙江大學 航空航天學院力學系，杭州 310027）

車輛運行過程的振動水平是評估其動力學性能的重要指標，該振動對于車載器件的正常工作具有極其重要的影響，因此必需進行車輛振動控制。由于路面不平度的隨機性，車輛振動是隨機的，需要進行隨機振動控制。通常車輛由車輪、軸等垂直支承，系統(tǒng)一般是線性的。這類車輛的被動、主動與半主動控制已有很多研究[1-6]。然而，一類特殊的重型多軸車輛受空間限制其懸架采用可轉(zhuǎn)動的斜桿支承，從而導致系統(tǒng)的幾何非線性[7]，其非線性隨機振動控制方法與效果完全不同于普通車輛。對于反饋控制，還需要考慮狀態(tài)觀測，由于觀測噪聲不可避免，故不能由測量值直接確定系統(tǒng)狀態(tài)，導致出現(xiàn)不完全觀測或部分觀測的控制問題[8]。部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制是一個極其困難的問題，研究成果非常有限，例如文獻[9]在十分特殊的條件下給出一個控制策略，先將部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為完全可觀線性系統(tǒng)的隨機最優(yōu)控制問題，再根據(jù)隨機動態(tài)規(guī)劃原理確定控制律。最近文獻[10-11]發(fā)展了基于推廣的Kalman濾波的非線性隨機最優(yōu)控制策略，可用于一般的部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制，從而為斜桿支承車輛系統(tǒng)的振動控制提供了一個基本策略。

關(guān)于可轉(zhuǎn)動斜桿支承車輛系統(tǒng)振動控制的研究非常有限，例如文獻[7]通過多體動力學分析討論了斜桿支承懸架的優(yōu)化，因此需要進一步深入研究。實際上，在懸架與車輪間安裝控制器，產(chǎn)生一對作用力是通常的措施，但受空間限制也只能類似于支承的斜向安裝?？刂破饕话悴捎么帕髯冏枘崞鱗12]，從而導致一個半主動控制問題?？刂破鞯淖饔昧κ怯邢薜?，它將成為一個控制約束[13-14]。且控制目標是車體相對于不平路基準面的絕對振動水平，不同于通常關(guān)于結(jié)構(gòu)強度的振動控制。總之，該部分可觀斜桿支承車輛系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制是一個新的有待于研究的重要問題。

本文研究上述具有觀測噪聲的斜桿支承與控制的非線性車輛系統(tǒng)，在隨機路激勵下振動的部分可觀非線性隨機最優(yōu)有界控制新問題，考慮車體與車輪的垂直耦合運動及斜支承桿的轉(zhuǎn)動，用拉格朗日方程建立車輛控制系統(tǒng)模型的運動微分方程，再轉(zhuǎn)化為非線性的耦合振動方程，同時建立包含測量噪聲的系統(tǒng)觀測方程，組成部分可觀系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制問題；根據(jù)推廣的Kalman濾波方法得到關(guān)于估計狀態(tài)的非線性隨機系統(tǒng)方程，再根據(jù)隨機動態(tài)規(guī)劃原理建立動態(tài)規(guī)劃方程，考慮控制力的有界性約束，得到基于系統(tǒng)估計狀態(tài)的最優(yōu)有界控制律；最后，比較受控與未控系統(tǒng)的響應統(tǒng)計評估控制效果，通過數(shù)值結(jié)果說明不同觀測系數(shù)下本文方法的有效控制結(jié)果。

1 隨機路激勵非線性車輛系統(tǒng)振動控制的基本方程

可轉(zhuǎn)動斜桿支承與控制的車輛系統(tǒng)簡化模型如圖1所示。

圖1 斜桿支承與控制的車輛系統(tǒng)模型簡圖

車體質(zhì)量為mc，車輪質(zhì)量為mw，車體由可轉(zhuǎn)動的斜桿支承，控制器如磁流變阻尼器也斜向裝于其間。車體主要運動為垂直方向，用絕對坐標yc描述。斜支承桿長度為lz，其轉(zhuǎn)動用轉(zhuǎn)角θz描述。車輪產(chǎn)生水平與垂直運動，可通過yc與θz表示。斜桿的扭轉(zhuǎn)剛度為kr，預設角度為θz0。車輪的支承彈簧剛度為ks，彈簧原長為rw0?？刂破魃隙说淖鴺藶?x1d，yc+y1d)，由幾何關(guān)系可確定其轉(zhuǎn)角θd與兩端距離ld。x軸表示路面基準線，路面不平度用yr(x)描述，當車輛前進速度為v時，受到的激勵為yr(vt)，它通常是隨機過程。

由第二類拉格朗日方程得到車輛系統(tǒng)的動力學方程

式中：g是重力加速度，F(xiàn)d是控制器的作用力。對于磁流變阻尼器，根據(jù)Bingham模型，控制力為

式中：C0是黏性阻尼系數(shù)，fy是屈服力，U是半主動控制力，對于確定的阻尼器其值是有界的。

由幾何關(guān)系得阻尼器兩端距離與角度

由方程式(1)至式(2)確定相應的靜平衡關(guān)系，利用此關(guān)系與式(3)至式(5)，將方程式(1)至式(2)化為振動方程

式中線位移u=yc-y0，角位移α=θz0-θ0，y0與θ0是靜平衡時的線坐標和角坐標，由靜平衡關(guān)系確定。由方程式(6)至式(7)可見，該車輛系統(tǒng)具有強幾何非線性，并受隨機路激勵。

設系統(tǒng)的觀測量為速度u˙與α˙，其中將包含測量噪聲，因此不能由測量值直接確定速度，故稱為不完全觀測或部分觀測。它可表示為

式中：φ1與φ2是觀測量，d1與d2是放大系數(shù)，Ws1與Ws2是獨立的單位強度觀測噪聲，e11與e12表示其幅值。方程式(6)至式(9)構(gòu)成一個部分可觀非線性隨機振動的控制問題。

設系統(tǒng)狀態(tài)向量Z=[u,α,˙,˙]T，觀測向量Φs=[φ1,φ2]T，則系統(tǒng)方程與觀測方程可表示成矩陣形式

式中向量A、B、F由方程式(6)至式(7)確定，矩陣D與E由方程式(8)至式(9)確定，W是單位強度白噪聲，Ws=[Ws1，Ws2]T。W由隨機路激勵yr確定，對于一般不平路面，yr可通過濾波白噪聲模擬，其方程為式中空間截止頻率n00=0.01 m-1，參考空間頻率n0=0.1 m-1，Gq是路面功率譜密度，描述路面不平度，按其不同值區(qū)分路面等級。此時，通過擴展狀態(tài)向量Z，系統(tǒng)方程仍可表示為式(10)。

2 基于推廣Kalman濾波的隨機最優(yōu)有界控制律

部分可觀非線性隨機控制問題表達式(10)至式(11)包括最優(yōu)狀態(tài)估計與基于估計狀態(tài)的最優(yōu)控制。最優(yōu)估計的性能指標為

式中：WI是高斯白噪聲向量，方差矩陣Rs=EET，估計偏差的方差矩陣R由下列方程確定

因R較快趨向于平穩(wěn)，故可取方程式(15)的平穩(wěn)解。

系統(tǒng)表達式(14)最優(yōu)有界控制的性能指標為

式中：函數(shù)fC(Z)≥0，tf是控制的終時，ψ是控制終值。根據(jù)隨機動態(tài)規(guī)劃原理可得非線性隨機系統(tǒng)表達式(14)與指標式(16)的動態(tài)規(guī)劃方程[10-11]

式中：V是值函數(shù)，tr[?]是跡算符?？紤]控制力U的有界性，通常有U∈[-Ua,，Ua]，Ua為控制力界限。由式(17)左邊第二項極小化可得最優(yōu)有界控制律

對于半主動控制，最優(yōu)控制律還需滿足式(3)。如果不滿足時，只能取為0，因此控制效果有所影響。將式(18)代入式(17)得到值函數(shù)方程，求解之得到V，通?？扇∑椒€(wěn)解，從而由式(18)確定最優(yōu)控制。再由方程式(14)計算估計系統(tǒng)響應，結(jié)合估計偏差的方差可計算原系統(tǒng)的響應統(tǒng)計。比較受控與未控系統(tǒng)的響應可評估控制效果。

3 數(shù)值結(jié)果

考慮具有觀測噪聲的受隨機路激勵的斜桿支承與控制的車輛系統(tǒng)模型，其基本參數(shù)為：mc=2 804 kg，mw=104 kg，lz=0.33 m，kr=13 kN?m/rad，ks=2×107N/m，θz0=0.96 rad，rw0=0.295 m，x1d=0.621 m，y1d=0.312 m，C0=1 640 kg/s，e11=0.03，e12=0.03，d1=1，d2=1，Ua=2.5 kN，車速v=50 km/h，B級不平路。按照上述方法確定最優(yōu)控制，用龍格-庫塔法計算系統(tǒng)響應，再作統(tǒng)計，數(shù)值結(jié)果如圖2至圖6所示。圖2為車輛在B級不平路面以50 km/h前進時路面相對基準線波動位移隨時間變化的曲線，表達了隨機路激勵。

圖2 車速50 km/h工況下的不平路面

圖3展示了半主動控制、主動控制與未控制時車體振動位移響應隨時間的變化，其中主動控制是按式(18)確定的最優(yōu)控制，半主動控制是按式(18)確定最優(yōu)控制并滿足阻尼器動力學約束式(3)。未控制時車體位移標準差為0.047 3 m，半主動控制時的車體位移標準差為0.015 4 m(相對降低67%)，主動控制時的車體位移標準差為0.013 8 m(相對降低71%)?？梢娚鲜鲎顑?yōu)控制能顯著降低車輛系統(tǒng)的非線性隨機振動，主動控制效果略好于半主動控制，因為半主動控制受到一定約束。

圖4展示了半主動控制、主動控制與未控制時車體振動速度響應隨時間的變化，同樣地主動控制與半主動控制均能顯著降低車輛系統(tǒng)的非線性隨機振動速度，因此能有效控制車體振動能量。

圖5展示了半主動控制、主動控制與未控制時車體振動位移響應標準差隨觀測噪聲幅度系數(shù)e11的變化，車體振動響應標準差隨觀測噪聲幅度系數(shù)e12變化的情況類似?？梢娫谝欢ǚ秶鷥?nèi)，不同觀測噪聲幅度系數(shù)或噪聲強度對于半主動控制與主動控制時車體振動響應標準差的影響較小。

圖3 車體振動位移響應

圖4 車體振動速度響應

圖5 車體振動位移響應標準差隨觀測噪聲幅度系數(shù)e11變化

圖6展示了半主動控制、主動控制與未控制時車體振動位移響應標準差隨觀測響應放大系數(shù)d1的變化，車體振動響應標準差隨觀測響應放大系數(shù)d2變化的情況類似。在較大范圍內(nèi)，不同觀測響應放大系數(shù)對于半主動控制與主動控制時車體振動響應標準差的影響較小。因此上述部分可觀的最優(yōu)控制對于不同觀測系數(shù)具有一定的魯棒性，改善控制器以減少控制約束可進一步提高控制效果。

總之，上述部分可觀的最優(yōu)主動與半主動有界控制能顯著降低斜桿支承車輛系統(tǒng)在隨機路激勵下的非線性隨機振動，且該控制結(jié)果對于狀態(tài)觀測噪聲強度與觀測響應放大系數(shù)具有一定的魯棒性。

圖6 車體振動位移響應標準差隨觀測響應放大系數(shù)d1變化

4 結(jié)語

本文研究了具有觀測噪聲的斜桿支承車輛系統(tǒng)受隨機路激勵的非線性隨機振動控制，發(fā)展了該部分可觀車輛系統(tǒng)的非線性隨機控制新策略。考慮車體與車輪的垂直耦合運動及斜支承桿的轉(zhuǎn)動，建立了部分可觀車輛控制系統(tǒng)模型的非線性隨機振動方程與包含測量噪聲的系統(tǒng)觀測方程，建立了該部分可觀車輛系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制模型。根據(jù)推廣的Kalman濾波方法得到了關(guān)于估計狀態(tài)的非線性隨機系統(tǒng)方程，從而將部分可觀車輛系統(tǒng)的非線性隨機最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為完全可觀的非線性隨機最優(yōu)控制問題。根據(jù)隨機動態(tài)規(guī)劃原理建立了完全可觀系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃方程，并結(jié)合控制力的有界性，得到了基于系統(tǒng)估計狀態(tài)的最優(yōu)有界控制律，實現(xiàn)了主動控制，同時對于磁流變阻尼器實現(xiàn)了相應的半主動控制。數(shù)值結(jié)果說明了該控制策略可有效地降低具有觀測噪聲的斜桿支承與控制車輛系統(tǒng)在隨機路激勵下的非線性隨機振動，并對于不同觀測系數(shù)具有一定的魯棒性。