3自由度單碰振動系統的Lyapunov指數譜和周期泡現象

王 棟，張艷龍，王 麗

（1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070； 2.蘭州城市學院 數學學院，蘭州 730070）

由于系統間隙的存在，動力機械系統中碰撞振動現象時常發生，如高速運行列車的輪軌碰撞、齒輪傳動系統的輪齒碰撞、車輛氣動控制門關閉時和車輛的碰撞、運行動車上純凈水水桶和固定裝置的碰撞等。研究這類系統的動力學行為對系統減振降噪等優化設計具有重要意義。近年來，許多學者研究了碰撞振動系統的非常規分岔和穩定性。

Luo等研究了兩自由度含間隙碰撞振動系統的碰撞運動和參數匹配[1]。伍新等研究了3自由度含間隙碰撞振動系統的Neimark-Sacher分岔，并對其進行了反控制[2]。馮進鈐等基于圖胞映射理論，論述了Duffing碰撞振動系統中擦邊誘導激變的全局動力學行為[3]。系統穩定性分析方面，Lyapunov指數譜是判定動力系統運動穩定性和混沌特性的重要工具。目前對光滑動力系統Lyapunov指數譜的研究已經比較成熟。由于非光滑動力系統在非光滑點的Jacobi矩陣不存在，使得光滑動力系統Lyapunov指數譜的計算方法在非光滑動力系統中不再適用。Stefanski等采用同步現象的特性估算了具有不連續性的兩個相同離散動力系統的最大Lyapunov指數[4-5]。Souza等通過在碰撞瞬時附加一定的轉換條件，將光滑離散動力系統的Lyapunov指數譜計算方法運用到兩個特殊碰撞振動系統的穩定性分析中[6]。金俐等利用Poincaré映射分析法得到了一類單自由度碰撞振動系統Lyapunov指數譜的計算方法[7]。Li等利用Poincaré映射分析法得到了一類2自由度雙側約束振動系統Lyapunov指數譜的計算方法[8]。魏艷輝等通過構造的Poincaré映射及其Jacobi矩陣，得到了一類2自由度單碰振動系統的Lyapunov指數譜的計算方法[9]。周期泡現象分析方面，一些學者也開展了部分研究。石建飛等研究了雙參數平面下的Duffing系統的Lyapunov指數和分岔特性[10]。Peng研究了遲滯人口模型中的多重分岔和周期泡現象，并分析了系統的穩定性[11]。Yang等分析了需求與供給相互作用的離散經濟模型中的周期泡現象和系統穩定性[12]。Gou等研究了雙參平面上直齒輪副運動時出現的周期泡現象[13]。對于3自由度碰撞振動系統，由于系統維數的增加，系統的動力學行為更加復雜豐富，Lyapunov指數譜的計算也更加繁瑣。現有文獻中對3自由度單碰振動系統中周期泡現象的發生以及Lyapunov指數譜的計算鮮有報道。

本文基于車輛氣動控制門關閉時和車輛的碰撞、運行動車上純凈水水桶和固定裝置的碰撞、運行的機床工作臺和行程限位機構的碰撞等工程振動問題抽象簡化得到一類3自由度單碰振動系統的力學模型，運用Poincaré映射分析法給出了該系統的Lyapunov指數譜的計算方法，分析了一定參數變化范圍下系統的穩定性，并通過數值仿真，結合系統的分岔圖和相圖，發現了一定參數下系統存在周期泡和混沌泡現象。本文的研究方法在理論上可以推廣到更高自由度，但實際計算會很復雜。

1 力學模型

如圖1所示。阻尼系數為C1、C2和C3的線性阻尼器和剛度為K1、K2和K3的線性彈簧分別與質量為M1、M2和M3的質塊連接，簡諧力Pisin(ΩΤ+τ)(i=1,2,3)分別作用于3個質塊，質塊只作水平方向的運動。當質塊M1的位移X1(T)等于間隙B時質塊與剛性約束A發生碰撞，碰撞過程由速度恢復系數R確定，并且不計碰撞持續時間。

圖1 3自由度單碰振動系統動力學模型

質塊M1的沖擊方程為

其中：˙1-和˙1+分別為質塊M1碰撞前后的瞬時速度。

令Ψ表示方程式(1)的正則模態矩陣，ω1、ω2和ω3分別表示在質塊位移(x1＜b)下系統的固有頻率。作坐標變換Χ=Ψξ。方程式(1)可解耦為

式中：I是一個3×3階單位矩陣；C和Λ是3×3階對角矩陣，且

通過模態疊加法可以得到方程式(1)的解為

式中：Ψij是正則模態矩陣Ψ的元素；；aj和bj是積分常數，Aj和Bj為振幅常數。令則式(1)可寫成如下 1 階狀態方程

2 Jacobi矩陣及Lyapunov指數譜

圖2 軌線在相空間穿越Poincaré截面情況

由此可得這幾類映射及其Jacobi矩陣：

此映射的切換面為Σ-，方程為h(zc)=x1-b=0，由式(8)可得到局部映射Pa的Jacobi矩陣表達式

(2)映射Pb：Σ-→Σ+

根據質塊1的碰撞關系式(2)，可得到局部映射Pb的Jacobi矩陣表達式

此映射的切換面為定相位面Φφc，切換面方程為φ=φc，由式(8)可得到Pc的Jacobi矩陣表達式

由于該映射所描述的軌線是光滑的，通過數值方法可求得其數值解。其Jacobi矩陣可由多元函數求導法則得到

由式(7)定義Poincaré映射P可由以上四種映射復合表示為

根據復合映射求導的鏈式法則，Poincaré映射P的Jacobi矩陣可寫成

3 數值模擬

事先通過選取多組系統參數對系統的動力學行為進行了大量的數值仿真，最終取系統參數m1=1.0，m2=0.4，m3=1.64，k1=1.0，k2=2.0，k3=3.0，γ=0.1，f1=1.0，f2=0，f3=0，R=0.8，b=0.25，在該系統中發現了一種非常規周期結構—周期泡（這種動力學行為在該系統中不常見也不好發現，目前鮮有報道）。為了能夠對該系統的周期泡現象作詳細分析，用符號q=p/n表示系統對應的周期碰撞運動，其中p表示碰撞次數，n表示周期數。系統隨參數ω變化時相位分岔圖如圖3(a)所示，隨ω減小，當ω=2.005 2時，系統由1/2周期運動倍化為2/4周期運動；當ω=1.935 4時，進入混沌運動；當ω=1.806 8時，系統運動變為2/2周期運動；當ω=1.804 4時，倍化為4/4周期運動，系統呈現出周期泡形態，最后由逆倍化分岔序列退化為1/1周期運動。分岔圖與最大Lyapunov指數譜的對比圖如圖3(b)所示（灰色的實線為最大Lyapunov指數譜，虛線為零刻度線），最大Lyapunov指數譜如圖3(c)所示，相應的各個Lyapunov指數譜的變化如圖3(d)所示（λ5與λ6接近）。綜合圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)可知，系統處于周期運動時最大Lyapunov指數小于零，處于穩定狀態；系統處于混沌運動時，最大Lyapunov指數大于零，處于不穩定狀態；當系統周期運動發生分岔時(ω=2.005 2，1.804 4，1.765 2，1.686)，系統的最大Lyapunov指數為零。

圖3 系統的分岔圖和Lyapunov指數譜

現在來進一歩分析圖(3)系統的動力學行為與穩定性。圖4(a)為質塊1在ω=1.776時對應的4/4周期運動相圖，圖4(b)為該頻率下的Lyapunov指數譜的收斂情況（虛線為零刻度線，λ5與λ6接近），可以得到4/4周期運動對應的最大Lyapunov指數小于零。圖4(c)為質塊1在ω=1.9對應混沌運動相圖。圖4(d)為該頻率下的Lyapunov指數譜的收斂情況（λ3與λ4接近，λ5與λ6接近），可以得到混沌運動對應的最大Lyapunov指數大于零。

通過數值仿真發現，該系統的周期泡現象對參數m3很敏感，參數m3的微小變動使得系統的周期泡數量變化甚至消失。為了更好的了解參數m3對系統動力學行為的影響，取系統參數m3=1.7，m3=1.68，m3=1.62，m3=1.61，m3=1.607，m3=1.606，m3=1.601 4，其余參數保持不變，系統隨參數ω變化時速度分岔圖如圖5所示。

隨著ω的增大，圖5(a)所示系統從1/1周期運動倍化為2/2周期運動，隨后進入混沌運動；圖5(b)所示系統從1/1周期運動倍化為2/2周期運動，再從2/2周期運動倍化為4/4周期運動，隨后由4/4周期運動退化為2/2周期運動，最后進入混沌運動，系統呈現出兩個周期泡結構；圖5(c)所示系統從1/1周期運動倍化為2/2周期運動，再從2/2周期運動倍化為4/4周期運動，然后從4/4周期運動倍化為8/8周期運動，接著經逆倍化分岔序列退化為2/2周期運動，系統呈現出四個周期泡結構；圖5(d)所示系統從1/1周期運動經倍周期分岔序列倍化為16/16周期運動，接著從16/16周期運動經逆倍化分岔序列退化為2/2周期運動，系統呈現8個周期泡結構；圖5(e)所示系統從1/1周期運動經倍周期分岔序列倍化為32/32周期運動，然后又從32/32周期運動經逆倍化分岔序列退化為2/2周期運動，系統呈現16個周期泡結構；圖5(f)所示系統從1/1周期運動經倍周期分岔序列進入混沌運動，隨后又從混沌運動經逆倍化分岔序列退化為2/2周期運動，系統呈現16個混沌泡結構；圖5(h)為圖5(g)的局部放大圖，圖5(g)所示系統從1/1周期運動經倍周期分岔序列進入混沌運動，隨后從混沌運動進入周期運動，接著再次進入混沌運動，然后又從混沌運動進入周期運動，最后進入混沌運動后經逆倍化分岔序列進入2/2周期運動。

圖4 質塊1在ω=1.776與ω=1.9的相圖及Lyapunov指數譜收斂序列

進一歩對圖5(d)所示系統出現的周期泡現象作詳細分析。圖6為圖5(d)所示系統中質塊1在不同頻率下的相圖。圖6(a)為質塊1的1/1周期運動對應的相圖；圖6(b)為質塊1的2/2周期運動對應的相圖；圖6(c)為質塊1的4/4周期運動對應的相圖；圖6(d)為質塊1的8/8周期運動對應的相圖；圖6(e)為質塊1的16/16周期運動對應的相圖。

圖5 系統隨m3變化的速度分岔圖及局部放大圖

進一歩對圖5(f)所示系統的混沌泡現象作具體分析，圖5(f)的局部分岔圖如圖7(a)所示，對應的最大Lyapunov指數譜如圖7(b)所示。由圖7(b)可知，在系統周期運動發生分岔處（ω=1.761 12，1.773 36，1.778 4，1.780 32，1.785 6，1.788 24，1.794 48）對應的最大Lyapunov指數為零。當系統進入混沌運動，即出現混沌泡現象時，對應的Lyapunov指數大于零，系統失穩。

4 結語

本文引入局部映射，得到Poincaré映射和Jacobi矩陣，通過Gram-Schmidt正交化和范數歸一化的方法得到3自由度單碰振動系統Lyapunov指數譜的計算方法。結果表明，利用系統的Lyapunov指數譜，可以有效地對系統的穩定性進行分析。通過數值仿真，結合系統的分岔圖和相圖，發現在一定參數下系統出現周期泡、混沌泡等豐富的動力學行為。在其他參數保持不變的情況下，隨著質量比的減小，系統結構發生改變，系統運動的周期泡結構數量成倍增多，即系統運動的周期數在成倍增加，接著周期泡結構消失出現混沌泡結構，最終混沌泡結構消失系統進入混沌運動。

圖6 質塊1在不同頻率下的相圖

圖7 分岔圖局部放大圖和Lyapunov指數譜