基于Simulink的傳染病模型仿真

石云鳳，楊洪明，胡宇，張洪銀，梁攀

摘 要：隨著計算機的發展，數字仿真技術發展迅速且應用領域十分廣泛。而傳染病模型作為一類發展已十分成熟的數學模型，對其進行研究的相關文獻數不勝數，傳染病模型的實際應用也十分廣泛，但很少有人將數字仿真技術應用于傳染病模型。文章利用Simulink仿真軟件對傳統的SIR模型和在SIR模型中加入政府宣傳防控效用的傳染病模型進行仿真。首先建立傳統SIR模型與在SIR模型中加入政府宣傳防控工作效用的數學模型，然后針對這兩類數學模型建立仿真系統，最后通過設置合適的參數值，得出仿真結果并與實際情況相對比，結果表明該仿真的結果與實際情況相吻合。

關鍵詞：數字仿真；Simulink；SIR模型；宣傳防控；過程仿真

中圖分類號：TP391.9 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）06-0039-03

Abstract： With the development of computer， digital simulation technology develops rapidly and is widely used in many fields. As a very mature mathematical model， infectious disease model has been studied in numerous literatures， and the practical application of infectious disease model is also very extensive. But few people apply digital simulation technology to infectious disease model. In this paper， the Simulink simulation software is used to simulate the traditional SIR model and the infectious disease model which is added to the SIR model to promote the effectiveness of prevention and control. Firstly， the traditional SIR model and the mathematical model of the effectiveness of government propaganda and control are established in the SIR model， and then the simulation system is established for these two kinds of mathematical models. Finally， the appropriate parameters are set up. The simulation results are compared with the actual situation， and the results show that the simulation results are consistent with the actual situation.

Keywords： digital simulation； Simulink； SIR model； publicity and control； process simulation

引言

現代數字仿真技術是以相似原理、信息技術、系統技術及其應用領域有關的專業技術為基礎，以計算機和各種物理效應設備為工具，利用系統模型對實際的或設想的系統進行試驗研究的一種綜合性技術[1]。與物理仿真技術相比，數字仿真不受被研究系統規模和結構復雜性的限制，以計算速度快、使用靈活、成本相對低廉等優勢，成為分析、研究電力系統必不可少的工具，是系統仿真的重要研究方向[2]。隨著計算機的發展，數字仿真技術取得突飛猛進的進步[3]。雖然數字仿真技術當前的應用領域很廣，但是在該技術領域依然存在一些尚未攻克的技術難點，作為下一世紀重要技術競爭點，數字仿真技術需要人們給予更多的重視。

MATLAB中的一種可視化仿真工具Simulink，是一種基于MATLAB的框圖設計環境，實現動態系統建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應用于線性系統、非線性系統、數字控制及數字信號處理的建模和仿真中。Simulink軟件在科學研究中應用十分廣泛，它提供一個動態系統建模、仿真和綜合分析的集成環境。在該環境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標操作，就可構造出復雜的系統。曾有人利用MATLAB中的Simulink仿真軟件對無刷直流電機控制系統建模進行仿真[4]，實現換熱器穩態傳熱計算[5]。而傳染病模型作為一類發展十分成熟的數學模型，相關的研究文獻數不勝數。文獻[6]劉玉英，肖燕妮等人研究了一類受媒體影響的傳染病模型，文獻[7]肖亞男研究了幾類媒介傳染病模型的穩定性。將傳染病模型推廣到實際應用中的文獻也并不鮮見，例如趙劍華、萬克文等人基于信息傳播模型-SIR傳染病模型研究了社交網絡輿情傳播動力學模型[8]。趙鵬飛，馬民，談依箴等作者曾基于SIR模型研究微信輿情傳播[9]。王長峰，莊文英，于長鉞等人基于改進SIR模型研究了的群體意見競爭演化[10]。雖然他們在研究過程中也有采用相關數學類軟件進行問題分析，但利用數字仿真技術對傳染病模型進行系統地仿真還較為鮮見。故本文首先建立傳統的傳染病模型——SIR模型，并建立在SIR模型中加入政府宣傳防控工作效用的傳染病模型，然后利用數字仿真技術對傳染病模型進行系統地仿真，得到傳染病傳染過程的仿真結果，方便人們進一步對傳染病的傳染過程進行研究并推廣到實際應用中。

1 傳染病模型的建立

1.1 SIR傳染病模型[9]

假設傳染病考察區域的總人數為N，由于許多患者在傳染病治愈后會對該病產生很強的免疫力，所以假設治愈者已經退出感染系統，故將人群分為健康者、病人和治愈者，則t時刻的這三類人群所占的比例分別為s（t）、i（t）、r（t），病人傳染給健康者的傳染率為？姿，日治愈率為？滋。設t=0時健康者、病人和治愈者所占比例分別為s0、i0、r0=0，于是便有微分方程的初值問題：

（1）

其中s（t）+i（t）+r（t）=1。

此傳染病模型已是當前發展較為成熟的數學模型，也是比較傳統典型的傳染病微分方程模型，對傳染病的傳染過程能起到抽象描述作用。但在實際生活中，若突發傳染病，政府為減少健康者染病的幾率，會采取相應的宣傳與防控措施。本文通過查閱相關資料[11]，對傳染病傳染過程的仿真做進一步優化，建立了加入宣傳防控工作的傳染病模型。

1.2 加入宣傳防控工作的傳染病模型

在SIR傳染病模型的基礎上，加入政府的宣傳防控工作效用，假設宣傳防控工作的開展將使病人人數減少，減少的速度與傳染病考察區域的總人數N成正比，其比例常數a取決于宣傳防控的強度，故a也被稱為宣傳防控強度系數。設從t=t0>0開始做持續的宣傳防控工作，于是便有微分方程的初值問題：

（2）

其中 稱為Heaviside函數[12]。

此傳染病模型在SIR模型的基礎上加入宣傳防控工作的效用，既考慮病人被治愈的情況，又考慮到政府的宣傳防控工作，從而建立起更加符合實際情況的傳染病模型，因而有助于本文對傳染病的傳染過程進行進一步的仿真，使得仿真結果更加真實可信。

2 仿真系統的建立

2.1 基于SIR模型的傳染過程仿真系統

利用MATLAB軟件中的Simulink仿真軟件對SIR傳染病模型進行仿真。此仿真系統通過人為設置日傳染率a_1（即？姿）和日治愈率b（即？滋）的值、病人和健康者所占比例的初值，然后進行傳染病傳染過程的仿真，得到滿足公式（1）所建立的SIR傳染病模型，最終通過運行仿真系統得到基于SIR模型的傳染病傳染過程的仿真結果。總仿真系統圖如圖1。

2.2 加入宣傳防控工作效用的SIR傳染病模型仿真系統

同理，利用Simulink軟件對加入政府宣傳防控工作效用的SIR模型進行仿真，得到滿足公式（2）所建立模型的仿真系統，通過設置日傳染率a_1（即？姿）和日治愈率b（即？滋）的值、病人和健康者所占比例的合適初值，計算t時刻病人所占的比例，再將計算所得的t時刻病人比率轉換為病人人數，最終得到加入防控宣傳效用的SIR傳染病模型的仿真結果。總仿真系統圖如圖2。

3 仿真結果

3.1 SIR傳染病模型仿真結果

設置第一組參數：？姿=0.5 ？滋=0.05 i0=0.02 S0=0.98，三類人口所占比例的仿真結果如下圖3所示。設置第二組參數：？姿=0.5 ？滋=0.2 i0=0.02 S0=0.98，三類人口所占比例的仿真結果如下圖4所示。

在此傳染病模型中，設置的兩組參數中僅有治愈率這一個參數不同，其余各參數值均相同，因此圖3、圖4起相互對照作用。故由上面的仿真結果可知，當治愈率越高，健康者所占比例下降得越慢，病人在染病后便會更快被完全治愈，成為治愈者。因此治愈者所占比例增加速率就越快，且當t→∞時，病人人數所占比例趨于0，符合現實生活中的實際情況，達到了對SIR傳染病模型傳染過程仿真的效果。

3.2 加入宣傳防控的傳染病模型仿真結果

設置參數：？姿=0.5 S0=0.98 ？滋=0.05 i0=0.02 a=0.2 t=20 N=10000，仿真結果如下圖5所示。

在Heaviside函數中，本文設置在t=20時加入宣傳和防控工作。按照Heaviside函數的定義[12]，當020時，由于已經實行宣傳與防控工作，產生了宣傳與防控工作的效用，即Heaviside函數值為1，即T=1。此模型設置的參數與SIR傳染病模型仿真的第一組參數是相同的，并且在t=20時，加入宣傳防控系數a=0.2作用于SIR傳染病模型，病人人數快速下降，以此與SIR傳染病模型形成對比，更加符合生活中的實際情況，并更有利于實際應用。

在對傳統的SIR傳染病模型進行仿真時，設置了不同的治愈率，結果表明在治愈率高時病人人數比例下降速度明顯高于治愈率低時的情況，該仿真結果符合實際，驗證了仿真系統建立的正確性。在對加入宣傳防控的傳染病模型進行仿真時，本文設置了相同的治愈率，來對比加入了宣傳防控工作效用與沒有加入宣傳防控效用時的傳染病模型的病人人數變化趨勢，從圖5來看，加入宣傳防控工作效用后病人人數明顯下降，與實際結果吻合。

4 結束語

利用數字仿真技術直觀、形象地反映傳染病傳染機制，從而對更好地理解傳染病模型起到幫助作用。現代仿真技術不僅在傳統的工程領域上應用廣泛，而且正日益廣泛地應用于如交通管理、環境治理、城市規劃等領域，尤其對于制造業利用數字仿真技術具有更為重要的意義[3]。通過利用數字仿真技術對傳染病模型進行仿真，掌握傳染病模型的數學規律，可更加有利于對傳染病的預防控制、經濟行為以及其他社會實際問題提出實際建議。

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[9]趙鵬飛，馬民，談依箴.基于SIR模型的微信輿情傳播研究[J].情報探索，2017（10）：1-6.

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