基于低秩約束的圖像去模糊算法

何黎俊

摘要 自然圖像由于其相鄰區域具有高度相關性而具有低秩特征。因此，本文設計了基于低秩約束的圖像盲去卷積算法，能夠恢復出更加尖銳和連續的邊緣，特別是在圖像含有較少邊緣信息時。采用變量分離法將難以求解的目標函數分解為數個易于求解的子問題，最終通過交替迭代更新得到最優解。

【關鍵詞】低秩約束 圖像去模糊 算法

近年來，數碼相機、手機攝像、電子監控等設備的越來越普及，獲取數字圖像越來越方便，但是這些圖像，由于抖動、散焦或者攝像頭品質等原因而導致圖像模糊。因此，去模糊算法逐漸成為圖像恢復領域的重要問題之一。根據模糊核是否己知，去模糊算法可以分為非盲去卷積和盲去卷積。其中，盲去卷積是圖像恢復領域中的一個重要問題，目前的主流算法是基于最大后驗概率（MAP， Maximum aposteriori）框架，通過在能量方程中引入不同的先驗約束，迭代求解得到恢復的圖像。

假設圖像被均勻核模糊，則模糊過程可以表示為：

y=x*k十n （1）

其中，y表示模糊圖像，x表示真實圖像，k表示模糊核，n表示噪聲。

1 低秩子空間

其中r表示目標低維子空間的維度，F表示Frobenius范數。這一問題可以通過對D做奇異值分解（Singular Value Decomposition），然后把D投影到前r個主成分張成的子空間，得到低秩成分A。

由于PCA假設噪聲是符合高斯分布的，當噪聲的幅值較小時，算法非常有效。但是當矩陣被大幅值的噪聲所污染時，比如遮擋、缺失、斑點等，這一假設并不成立，從而導致PCA算法失效。

因此，需要從被稀疏噪聲污染的數據中恢復出真實的低秩成分問題：

其中，rank （A）表示矩陣的特征值數量，下表O表示LO范數，是矩陣非零元素的個數，λ是權重系數，表示LO范數的重要程度。

魯棒主成分分析（RPCA，Robust PrincipalComponent Analysis）方法，對稀疏噪聲進行建模和約束，利用Ll范數來近似求解LO范數，使矩陣的秩得到較大的降低，從而恢復出真實的低維子空間：

其中，*表示核范數，即矩陣奇異值之和，是rank（A）的近似值，下標l表示Ll范數，即各項絕對值之和，是LO范數的近似值。

增廣拉格朗日乘子法，通過在目標方程中添加增廣拉格朗日懲罰因子，使函數滿足約束條件，從而將有約束的優化問題轉化為無約束的優化問題，然后通過交替更新迭代求得優化值。根據增廣拉格朗日乘子法，目標函數轉換為：

交替更新變量A和E，最終得到數據的低秩結構和稀疏噪聲部分。

2 基于低秩約束的圖像去模糊算法

基于最大后驗概率的框架下，通過對待求變量加入合理的正則化項，使得恢復的數據不僅與觀測圖像滿足一定的關系，而且盡可能與真實圖像一致：

其中，y是觀測的模糊圖像，x是待恢復的真實圖像，k是模糊核，P（x）和P（k）表示x、y應該滿足的先驗特征。

為了恢復X的低秩結構，利用圖像的低秩特征，引入核范數進行約束。同時為了保證圖像邊緣的稀疏性，采用LO范數對梯度進行約束：

由于LO范數的存在，優化上式不是一個容易的問題。對于LO范數的優化，采用變量分離的快速優化方法。對于核范數，采用變量分離方法。通過交替迭代更新，最終得到優化值。

采用變量分離法將LO范數和核范數分離出來，即引入輔助變量u和g，分別等于x和∨x，并且引入增廣拉格朗日懲罰因子，從而將優化方程重寫為：

因此，在保證最優值近似不變的情況下，對問題進行了合理轉化，變成了較容易求解的優化方程。采用交替更新迭代算法，即固定一些變量，求其他變量的最優值，然后交替反復，可以最終得到優化值。

3 結語

夜景圖像由于光線不足，拍攝時曝光時間更長，更容易受到抖動的影響而得到模糊的圖像。本文設計了一種基于低秩約束的圖像去模糊方法，能夠克服了這一困難。

參考文獻

[l]lhsani A，Farncombe T H.A KernelDensity Estimator-Based MaximumA Posteriori Image ReconstructionMethod for Dynamic EmissionTomography Imaging [J]. IEEETransactions on Image Processing， 2016， 25 （05）： 2233-2248.

[2] Bro R，Smilde A K.Principalcomponent analysis [J]. AnalyticalMethods， 2014，6 （09）： 2812-2831.

[3]Cand e s E J，Li X， Ma Y， etal. Robust principal componentanalysis？ [Jl. Journal of the ACM（JACM），2011，58（03）：11.

[4] Shen Y，Wen Z，Zhang Y.AugmentedLagrangian alternat ing directionmethod for matrix separation basedon low-rank factorization[J].Optimization Methods andSoftware， 2014， 29 （02）： 239-263.