數形結合思想在函數中的應用

崔麗華

（甘肅省臨夏回民中學，甘肅 臨夏）

在函數問題的解題過程中，通過數解形以及形助數的數形結合思想方法的運用，達到了最佳的解題效果。數形結合不僅是一種重要的思想，同時也是解決函數數學問題的重要方法。通過數形結合思想的有效運用，實現了形象圖形與數學語言的充分融合，在解題過程中形象圖形發揮了重要的輔助作用，能夠將抽象的知識形象化、具體化，降低了解題的難度。對于學生數形結合思想意識的形成，以及其認知結構中根扎數形結合思想觀念，將其當成一種運用自如的思維工具，對函數問題的空間想象能力不斷提升與完善有著重要的促進作用，使學生真正達到了數學語言、數學表達式和圖形之間的互譯，形成了良好的解題習慣。因此，在數學教學過程中必須要對數形結合給予足夠的重視，并讓學生巧妙地運用數形結合的思想對函數問題進行有效解答。

一、以形示數

二次函數中的概念是對某種數量關系的反映，通常采用符號或者文字的形式來表示這種數量關系。而圖形作為重要的語言，具有文字表述所不具有的直觀展現特點，其精練性更加突出，利用圖形的這一特點就可充分解釋文字語言，讓學生形成良好的數形結合思想，更促進了學生對函數概念的理解。例如：頂點以及最值這些二次函數中的重要概念，在教學二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）性質時，通過圖象的形式對其進行描述：當a＞0時，圖像有最低點，則函數有最小值，即當 a＜0時，圖象有最高點，則函數有最大值，即通過圖象的描述，學生對圖象頂點坐標知識有了更深的了解，并且將函數的最值情況進行充分的反映，加深了學生對此類知識的理解，明白了二者之間存在的聯系。

又如例題：函數f（x）=sinx+2sinx，x∈［0，2π］的圖象與直線y=k有且僅有2個不同的交點，則k的取值范圍是（ ）。

分析：本題根據函數解析式，畫出圖象，可以直觀而簡明地得出答案，大大地節約了時間，提高了解題的效率。

二、以數助形

在對函數問題進行解答的過程中，讓學生利用各種解析式對應地將圖形示意圖畫出，并將其性質表示出來，存在很大難度。教學實施過程中應當遵循循序漸進的原則，利用示意圖來對其相關性質進行表示，并在教學過程中反復讓學生對以前學過的二次函數的關系式、圖象和性質等進行有效的復習。這樣遵循循序漸進的原則，學生在對二次函數的解析式、圖象和性質進行學習時，已經具備全面與完善的知識脈絡，解題將更加順利。

如求方程lgx-sinx=0的解的個數。

分析：此方程解的個數為y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點個數。

因為sinx≤1，lgx≤1，所以0在平面直角坐標系中作出兩個函數的圖像，在圖形中覓數，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

三、加強作圖訓練

在對函數圖進行制作的過程中通過描點法進行作圖訓練，提高制圖的準確性與熟練性，對于函數的學習將起到巨大的促進作用，通過有效的作圖訓練更能讓學生對函數的性質進行把握。具體教學實施階段，讓學生依照函數的性質反復地進行函數圖的制作，避免了死記硬背對知識掌握的不牢固與不能靈活的運用。如此一來，學生的函數作圖能力得到了進一步加強，同時學生的知識記憶也越深刻。并且，學生在作圖的過程中能夠更加充分掌握函數的性質，變枯燥繁瑣為具體形象，在函數知識的學習過程中，頭腦中時刻顯現著鮮活的圖形，使得數形結合的思想在學生認知結構中逐漸根深蒂固。

四、加強識圖訓練

1.“讀懂圖”是函數學習的前提，也是建構問題時數形結合思想運用的具體體現，在數學教學過程中，二次函數與圖象性質是其中的重要內容，同時也是其中的教學難點。必須要不斷地提升學生表述符號語言、圖像語言和文字語言的能力，通過訓練促進學生理解力的不斷提升，能夠很好地識別圖形、認識圖形，利用圖形對數學問題進行解答，建構數學問題時能夠很好地運用圖形及其關系式，實現數與形的全面融合，促進函數教學效益的不斷提升。

2.“選擇載體”在利用數形結合思想對問題進行分析與解答中起著非常關鍵的作用。通過數、形二者間橋梁關系的建立，更加充分體現數形結合的思想。必須要在一定的條件下對相關的載體進行有效的選擇，靈活地運用數形結合思想，這對全面地認識和理解函數概念具有非常重要的意義，能夠極大地提升函數解題效果。

通過數形結合的思想對函數問題進行分析與解答，使學生在解題過程中形成數形結合的良好學習習慣，促進數學教學效益的不斷提升。