解題教學(xué)要注重滲透數(shù)學(xué)思想

戴彭晴 張 楠

（合肥市第七中學(xué)，安徽 合肥）

一、提出問題

設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-2.

（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間（解題過程略去）；

（2）若f（x）+2＞0在（0，e］上恒成立，求a的取值范圍.

二、分析問題

可將不等式f（x）+2＞0具體化為ex-ax＞0，問題就變成“若exax＞0 在（0，e］上恒成立，求 a的取值范圍.”

三、解決問題

方法一：分離參數(shù)法（轉(zhuǎn)化思想）——將a單獨放在不等號左邊，其他項挪到不等號右邊并令之為新函數(shù) g（x），x∈（0，e］，則題意轉(zhuǎn)化成 a＜g（x）在區(qū)間（0，e］上的最小值問題，我們只需求出 g（x），x∈（0，e］的最小值即可.

【解】∵ex-ax＞0 在（0，e］上恒成立

令g′（x）＞0得x＞1，即g（x）在（0，1）上遞減，在［1，e］上遞增

∴g（x）min=g（1）=e，因此 a＜e

方法二：構(gòu)造法（分類討論思想）——將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最小值大于零的問題，還是去求函數(shù)最小值即可.

【解】令g（x）=ex-ax，x∈（0，e］，則g′（x）=ex-a，x∈（0，e］

令g′（x）=ex-a＞0

當(dāng)a≤0時，g′（x）＞0在（0，e］上恒成立，即g（x）在（0，e］上遞增，g（x）min＞g（0）=1＞0 成立；

當(dāng) a＞0 時，g（x）在（0，lna）上遞減，在［lna，e］上遞增，g（x）min=g（lna）=a-alna

要使 g（x）=ex-ax＞0 在（0，e］上恒成立，必 g（x）min=a-alna＞0，解得 0＜a＜e

綜上所述a＜e.

方法三：圖象法（數(shù)形結(jié)合思想）——利用函數(shù)圖象之間的關(guān)系做決策.

【解】∵ex-ax＞0 在（0，e］上恒成立

∴ex＞ax 在（0，e］上恒成立

如圖所示，要保證在區(qū)間（0，e］上

g（x）=ex的圖象始終在 y=ax 的上方

必有 a＜a1

設(shè)y=a1x與f（x）=ex相切于點P（x0，ex0）

則a1=g′（x0）=ex0

∵切線方程為y-ex0=ex0（x-x0）

∵ 切線過 O（0，0）

∴0-ex0=ex0（0-x0），得x0=1

∴a1=e

從而 a＜e

本題還有其他解法，介紹的三種比較有代表性，用來解題相對容易，可以幫助學(xué)生舉一反三。教師在進(jìn)行解題教學(xué)時應(yīng)該多向?qū)W生介紹不同方法，教會學(xué)生從不同角度審視問題，拓寬思維，滲透思想。

作者簡介：戴彭晴，女，1987，漢，安徽合肥人，本科，中二，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。張楠，男，1987-07，漢，安徽蚌埠人，本科，中二，研究方向高中數(shù)學(xué)教學(xué)。